Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan der sie 1870 fur endliche Korper und 1871 im Zusammenhang mit der Losung komplexer Differentialgleichungssysteme fur komplexe Matrizen herleitete die aber auch schon 1868 Karl Weierstrass in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war 1 Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Aquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ahnlichen Matrizen Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit dass das charakteristische Polynom der Matrix vollstandig in Linearfaktoren zerfallt Matrizen uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper sind immer trigonalisierbar und daher immer ahnlich einer jordanschen Normalform Fur jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums deren charakteristisches Polynom vollstandig in Linearfaktoren zerfallt kann eine Vektorraumbasis gewahlt werden so dass die Abbildungsmatrix die die Abbildung bezuglich dieser Basis beschreibt jordansche Normalform hat Dies gilt insbesondere fur jede nilpotente Matrix Fur jede beliebige auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius Normalform einen standardisierten Reprasentanten der Ahnlichkeitsklasse dieser Matrix Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Form der Transformationsmatrix 2 Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform 2 1 Bestimmung der Eigenwerte 2 2 Bestimmung der Grosse der Jordanblocke 2 3 Komplexe jordansche Normalform 2 4 Beispiel 3 Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform 3 1 Ein Standard Verfahren 3 1 1 Beispiel 4 Jordansche Normalform nilpotenter Matrizen 5 Reelle jordansche Normalform 5 1 Beispiel 6 Jordansche Normalform in allgemeinen Korpern 7 Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 Einzelnachweise 11 LiteraturDefinition BearbeitenDie jordansche Normalform zu einer quadratischen n n displaystyle n times n nbsp Matrix A displaystyle A nbsp uber den komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp ist eine Matrix J displaystyle J nbsp in der folgenden Blockdiagonalform J J 1 0 0 J k Q 1 A Q displaystyle J begin pmatrix J 1 amp amp 0 amp ddots amp 0 amp amp J k end pmatrix Q 1 AQ nbsp Die Matrix Q displaystyle Q nbsp ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren aus denen sie spaltenweise besteht Q 1 displaystyle Q 1 nbsp bezeichnet dabei die inverse Matrix von Q displaystyle Q nbsp Die Darstellung von A displaystyle A nbsp als A Q J Q 1 displaystyle A QJQ 1 nbsp wird als Jordanzerlegung engl jordan decomposition von A displaystyle A nbsp bezeichnet Die Matrizen J j displaystyle J j nbsp heissen Jordanblocke oder Jordankastchen sie sind Bidiagonalmatrizen der folgenden Form J j l j 1 0 l j 1 l j 1 0 l j C s j s j displaystyle J j begin pmatrix lambda j amp 1 amp amp amp 0 amp lambda j amp 1 amp amp amp amp ddots amp ddots amp amp amp lambda j amp 1 0 amp amp amp amp lambda j end pmatrix in mathbb C s j times s j nbsp Die l j displaystyle lambda j nbsp sind dabei die Eigenwerte von A displaystyle A nbsp Zu jedem Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblocke Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp Die Gesamtdimension aller Jordanblocke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit d h seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten gespeichert siehe Hauptvektor Bestehe A displaystyle A nbsp z B nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert l displaystyle lambda nbsp und bezeichne v l displaystyle v l nbsp einen Hauptvektor l displaystyle l nbsp ter Stufe das heisst v 1 displaystyle v 1 nbsp ist ein Eigenvektor zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp und es gilt A l E v 1 0 displaystyle A lambda E v 1 0 nbsp und A l E v l v l 1 displaystyle A lambda E v l v l 1 nbsp fur l 2 n displaystyle l 2 dots n nbsp dann gelten A v 1 l v 1 displaystyle Av 1 lambda v 1 nbsp und A v l v l 1 l v l displaystyle Av l v l 1 lambda v l nbsp fur l 2 n displaystyle l 2 dots n nbsp das heisst die Abbildungsmatrix bezuglich der Basis v 1 v n displaystyle v 1 dotsc v n nbsp ist tatsachlich ein Jordanblock Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblocke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix Form der Transformationsmatrix Bearbeiten Seien v j 1 v j l v j s j displaystyle v j 1 ldots v j l ldots v j s j nbsp Hauptvektoren der jeweils l displaystyle l nbsp ten Stufe wobei s j displaystyle s j nbsp die Dimension des j displaystyle j nbsp ten Jordanblocks sei j 1 k displaystyle j 1 dotsc k nbsp Dann ist Q displaystyle Q nbsp definiert durch Q v 1 1 v 1 s 1 v k 1 v k s k displaystyle Q v 1 1 ldots v 1 s 1 ldots v k 1 ldots v k s k nbsp eine Transformationsmatrix die mittels Q 1 A Q J displaystyle Q 1 AQ J nbsp die Jordan Normalform J displaystyle J nbsp von A displaystyle A nbsp herstellt In Worten Die Spalten von Q displaystyle Q nbsp sind die Eigenvektoren mit den dazugehorigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehorigen Jordanblocke Allerdings ist Q displaystyle Q nbsp nicht eindeutig bestimmt Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform BearbeitenFur die jordansche Normalform eines Endomorphismus u V V displaystyle u colon V to V nbsp eines n displaystyle n nbsp dimensionalen C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraums V displaystyle V nbsp wahlt man eine Basis B b 1 b n displaystyle B b 1 ldots b n nbsp des Vektorraums V displaystyle V nbsp und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix A M B u displaystyle A M B u nbsp von u displaystyle u nbsp bezuglich der Basis B displaystyle B nbsp Im Folgenden wird daher V C n displaystyle V mathbb C n nbsp gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp bestimmt Die Einheitsmatrix wird mit E n displaystyle E n nbsp bezeichnet Bestimmung der Eigenwerte Bearbeiten Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms x A det l E n A displaystyle chi A det left lambda E n A right nbsp errechnet man aus seinen Nullstellen die paarweise verschiedenen Eigenwerte l 1 l k C displaystyle lambda 1 ldots lambda k in mathbb C nbsp Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgefuhrt Bestimmung der Grosse der Jordanblocke Bearbeiten Hierfur mussen zunachst die Dimensionen der verallgemeinerten Eigenraume bestimmt werden Das heisst man berechnet fur alle 1 j k displaystyle 1 leq j leq k nbsp die Zahlen a j s dim Kern A l j E n s s N 0 displaystyle a j s dim operatorname Kern A lambda j E n s quad s in mathbb N 0 nbsp Insbesondere ist stets a j 0 0 displaystyle a j 0 0 nbsp und a j 1 displaystyle a j 1 nbsp ist gerade die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts l j displaystyle lambda j nbsp Die Dimension des Kerns kann mit Hilfe des Dimensionssatzes aus dem Rang berechnet werden der beispielsweise mit dem gaussschen Algorithmus bestimmt werden kann Die Folge der a j s displaystyle a j s nbsp ist monoton wachsend und wird ab einem bestimmten Wert fur s displaystyle s nbsp stationar spatestens bei der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom Die Anzahl der Jordanblocke der Grosse s displaystyle s nbsp zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp lasst sich dann mit Hilfe der Formel a j s a j s 1 a j s 1 a j s displaystyle a j s a j s 1 a j s 1 a j s nbsp berechnen Ausserdem gibt a j 1 displaystyle a j 1 nbsp die Gesamtzahl der zu diesem Eigenwert gehorigen Jordanblocke an Komplexe jordansche Normalform Bearbeiten Die erhaltenen Jordanblocke schreibt man in eine Matrix und erhalt die komplexe jordansche Normalform einer Matrix Haben alle Blocke die Grosse 1 liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor und A displaystyle A nbsp ist somit diagonalisierbar Das Minimalpolynom g C X displaystyle g in mathbb C X nbsp von A displaystyle A nbsp erhalt man aus g j 1 k X l j m j displaystyle g prod j 1 k X lambda j m j nbsp worin m j displaystyle m j nbsp die Grosse des grossten Jordanblocks zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp bezeichnet Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblocke eindeutig bestimmt Sofern alle Eigenwerte in K displaystyle mathbb K nbsp liegen sind zwei Matrizen welche dieselbe jordansche Normalform haben zueinander ahnlich Beispiel Bearbeiten Man betrachte die Matrix A C 5 5 displaystyle A in mathbb C 5 times 5 nbsp die definiert sei als A 25 16 30 44 12 13 7 18 26 6 18 12 21 36 12 9 6 12 21 6 11 8 15 22 3 displaystyle A left begin array r 25 amp 16 amp 30 amp 44 amp 12 13 amp 7 amp 18 amp 26 amp 6 18 amp 12 amp 21 amp 36 amp 12 9 amp 6 amp 12 amp 21 amp 6 11 amp 8 amp 15 amp 22 amp 3 end array right nbsp Ihr charakteristisches Polynom lautet x A X 3 5 displaystyle chi A X 3 5 nbsp Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert namlich 3 Mit der Abkurzung B A 3 E 5 displaystyle B A 3E 5 nbsp werden nun die a s displaystyle a s nbsp bestimmt Es gilt rg B 2 displaystyle operatorname rg B 2 nbsp Somit ist a 1 dim V rg B 5 2 3 displaystyle a 1 dim V operatorname rg B 5 2 3 nbsp Weiterhin ist B 2 displaystyle B 2 nbsp die Nullmatrix also gilt rg B 2 0 displaystyle operatorname rg B 2 0 nbsp und somit a 2 5 0 5 displaystyle a 2 5 0 5 nbsp und die Folge a s displaystyle a s nbsp wird ab dieser Stelle stationar Damit folgt Es gibt a 1 3 displaystyle a 1 3 nbsp Jordanblocke davon a 1 a 0 a 2 a 1 3 2 1 displaystyle a 1 a 0 a 2 a 1 3 2 1 nbsp Jordanblock der Grosse 1 und a 2 a 1 a 3 a 2 2 0 2 displaystyle a 2 a 1 a 3 a 2 2 0 2 nbsp Jordanblocke der Grosse 2 Somit ist 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 displaystyle begin pmatrix 3 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 3 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 3 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 3 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 3 end pmatrix nbsp die jordansche Normalform von A displaystyle A nbsp Das Minimalpolynom von A displaystyle A nbsp ist X 3 2 displaystyle X 3 2 nbsp Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform BearbeitenNun soll eine Basistransformationsmatrix P G L n C displaystyle P in rm GL n mathbb C nbsp bestimmt werden die J P 1 A P displaystyle J P 1 AP nbsp erfullt Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt Das Standard Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform J displaystyle J nbsp Ein Standard Verfahren Bearbeiten Ein gangiges Verfahren um eine Basistransformation zu erhalten ist das folgende Man bestimme wie auch bei obigem naiven Ansatz zunachst die Jordannormalform J displaystyle J nbsp Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte l displaystyle lambda nbsp berechnet sowie die Kerne Kern A l I k displaystyle operatorname Kern A lambda I k nbsp fur alle 1 k m l displaystyle 1 leq k leq m lambda nbsp worin m l N displaystyle m lambda in mathbb N nbsp die Dimension des grossten Jordanblocks zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp bezeichnet Anschliessend arbeite man zur Bestimmung einer regularen Matrix P displaystyle P nbsp mit J P 1 A P displaystyle J P 1 AP nbsp die Blocke nacheinander ab Dabei ist zu beachten dass man bei Jordanblocken zum selben Eigenwert stets vom grossten Block zum kleinsten Block vorgeht Zu jedem Block der Grosse s displaystyle s nbsp und Eigenwert l displaystyle lambda nbsp werden s displaystyle s nbsp Spalten der Basistransformationsmatrix v 1 v s displaystyle v 1 ldots v s nbsp nach einem bestimmten Schema bestimmt Wenn der Block in J displaystyle J nbsp die Spalten m m s 1 displaystyle m ldots m s 1 nbsp belegt so werden die Vektoren v 1 v s displaystyle v 1 ldots v s nbsp in P displaystyle P nbsp ebenso von links nach rechts in die Spalten m m s 1 displaystyle m ldots m s 1 nbsp eingefugt Die Vektoren v 1 v s displaystyle v 1 ldots v s nbsp werden nun wie folgt bestimmt Man wahle v s Kern A l I s Span Kern A l I s 1 M displaystyle v s in operatorname Kern A lambda I s setminus operatorname Span operatorname Kern A lambda I s 1 cup M nbsp beliebig worin M displaystyle M nbsp die Menge der zuvor berechneten Spalten d h Basisvektoren der Stufe s displaystyle s nbsp aus zuvor abgearbeiteten Jordanblocken zum selben Eigenwert l displaystyle lambda nbsp sofern vorhanden bezeichnet Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann Wenn s 1 displaystyle s 1 nbsp ist v 1 displaystyle v 1 nbsp einfach ein Eigenvektor zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp Nach der Wahl obigen Vektors besteht nun fur die weiteren Basisvektoren keine Wahlfreiheit mehr Man muss sukzessiv v j A l I v j 1 displaystyle v j A lambda I v j 1 nbsp fur alle j s 1 1 displaystyle j s 1 ldots 1 nbsp setzen Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblocke abgearbeitet hat wurden am Ende alle Spalten von P displaystyle P nbsp aufgefullt Es gilt Die Matrix P displaystyle P nbsp ist regular und erfullt P 1 A P J displaystyle P 1 AP J nbsp und ihre Spalten bilden eine Basis bezuglich deren A displaystyle A nbsp die Darstellung J displaystyle J nbsp besitzt Wird die alternative Darstellung der Jordanblocke gewahlt d h mit 1 in der unteren Nebendiagonalen muss lediglich die Reihenfolge der Basisvektoren pro Jordanblock umgekehrt werden Beispiel Bearbeiten Als erlauterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix A 25 16 30 44 12 13 7 18 26 6 18 12 21 36 12 9 6 12 21 6 11 8 15 22 3 displaystyle A begin pmatrix 25 amp 16 amp 30 amp 44 amp 12 13 amp 7 amp 18 amp 26 amp 6 18 amp 12 amp 21 amp 36 amp 12 9 amp 6 amp 12 amp 21 amp 6 11 amp 8 amp 15 amp 22 amp 3 end pmatrix nbsp wie oben Es gilt Kern A 3 I Span 2 1 2 0 0 2 0 0 1 0 2 2 0 0 1 displaystyle operatorname Kern A 3I operatorname Span left left begin pmatrix 2 1 2 0 0 end pmatrix begin pmatrix 2 0 0 1 0 end pmatrix begin pmatrix 2 2 0 0 1 end pmatrix right right nbsp und Kern A 3 I 2 C 5 displaystyle operatorname Kern A 3I 2 mathbb C 5 nbsp Ihre Jordannormalform lautet J 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 displaystyle J begin pmatrix 3 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 3 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 3 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 3 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 3 end pmatrix nbsp Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2 Dazu wahle man v 2 Kern A 3 I 2 Kern A 3 I 1 displaystyle v 2 in operatorname Kern A 3I 2 setminus operatorname Kern A 3I 1 nbsp beliebig beispielsweise v 2 1 0 0 0 0 displaystyle v 2 begin pmatrix 1 0 0 0 0 end pmatrix nbsp Dann ist v 1 A 3 I v 2 22 13 18 9 11 displaystyle v 1 A 3I v 2 begin pmatrix 22 13 18 9 11 end pmatrix nbsp zu wahlen Daraus erhalt man P 22 1 13 0 18 0 9 0 11 0 displaystyle P begin pmatrix 22 amp 1 amp amp amp 13 amp 0 amp amp amp 18 amp 0 amp amp amp 9 amp 0 amp amp amp 11 amp 0 amp amp amp end pmatrix nbsp Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Grosse 2 uber Man wahle nun w 2 Kern A 3 I 2 Span Kern A 3 I 1 v 2 displaystyle w 2 in operatorname Kern A 3I 2 setminus operatorname Span operatorname Kern A 3I 1 cup v 2 nbsp beliebig beispielsweise w 2 0 1 0 0 0 displaystyle w 2 begin pmatrix 0 1 0 0 0 end pmatrix nbsp Dann ist w 1 A 3 I w 2 16 10 12 6 8 displaystyle w 1 A 3I w 2 begin pmatrix 16 10 12 6 8 end pmatrix nbsp und man landet bei P 22 1 16 0 13 0 10 1 18 0 12 0 9 0 6 0 11 0 8 0 displaystyle P begin pmatrix 22 amp 1 amp 16 amp 0 amp 13 amp 0 amp 10 amp 1 amp 18 amp 0 amp 12 amp 0 amp 9 amp 0 amp 6 amp 0 amp 11 amp 0 amp 8 amp 0 amp end pmatrix nbsp Schliesslich ist der letzte Jordanblock der Grosse 1 an der Reihe Man wahle hierzu x 1 Kern A 3 I 1 Span v 1 w 1 displaystyle x 1 in operatorname Kern A 3I 1 setminus operatorname Span v 1 w 1 nbsp beliebig beispielsweise x 1 2 0 0 1 0 displaystyle x 1 begin pmatrix 2 0 0 1 0 end pmatrix nbsp Dann ist P 22 1 16 0 2 13 0 10 1 0 18 0 12 0 0 9 0 6 0 1 11 0 8 0 0 displaystyle P begin pmatrix 22 amp 1 amp 16 amp 0 amp 2 13 amp 0 amp 10 amp 1 amp 0 18 amp 0 amp 12 amp 0 amp 0 9 amp 0 amp 6 amp 0 amp 1 11 amp 0 amp 8 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp eine regulare Matrix mit J P 1 A P displaystyle J P 1 AP nbsp Jordansche Normalform nilpotenter Matrizen BearbeitenEine nilpotente Matrix hat ausschliesslich den Eigenwert null weswegen die Hauptdiagonale ihrer jordanschen Normalform aus Nullen besteht Sei N p displaystyle N p nbsp der Jordanblock der Grosse p displaystyle p nbsp zum Eigenwert null Dann ist jede nilpotente n n Matrix ahnlich zu einer eindeutig bestimmten Blockdiagonalmatrix 2 J N p 1 N p 2 N p k displaystyle J begin pmatrix N p 1 amp N p 2 amp amp ddots amp amp amp N p k end pmatrix nbsp mit p 1 p 2 p k n displaystyle p 1 p 2 dots p k n nbsp und p 1 p 2 p k displaystyle p 1 geq p 2 geq dots geq p k nbsp Die Partitionsfunktion P n displaystyle P n nbsp gibt die Anzahl der Aquivalenzklassen fur nilpotente n n Matrizen an Mit jeder Potenz von J displaystyle J nbsp entfernen sich die Einsen um einen Schritt von der Hauptdiagonalen In J J 1 displaystyle J J 1 nbsp ist der Abstand per definitionem eins in J 2 displaystyle J 2 nbsp zwei in J k displaystyle J k nbsp ist der Abstand k displaystyle k nbsp Das heisst J displaystyle J nbsp ist nilpotent mit einem Nilpotenzgrad kleiner oder gleich n displaystyle n nbsp Sei D displaystyle D nbsp die Diagonalmatrix deren Hauptdiagonale dieselbe ist wie die der jordanschen Normalform J displaystyle J nbsp einer trigonalisierbaren Matrix und N displaystyle N nbsp sei die Matrix die aus J displaystyle J nbsp entsteht indem die Hauptdiagonale mit Nullen belegt wird Dann liegt die Summenzerlegung J D N displaystyle J D N nbsp mit D N N D displaystyle DN ND nbsp vor Somit lasst sich jede trigonalisierbare Matrix in eine diagonalisierbare und eine nilpotente Matrix additiv zerlegen Siehe auch Schursche Normalform und Jordan Chevalley Zerlegung eines Endomorphismus Reelle jordansche Normalform BearbeitenBetrachtet man reelle Matrizen so zerfallt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollstandig in Linearfaktoren sondern nur noch in irreduzible Faktoren die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform wenn man ausschliesslich reelle Basistransformationen zulasst Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor l a j 2 b j 2 displaystyle lambda a j 2 b j 2 nbsp mit b j gt 0 displaystyle b j gt 0 nbsp definiert man als Jordanblock J j a j b j 1 0 0 b j a j 0 1 a j b j 1 0 b j a j 0 1 1 0 0 1 a j b j 0 b j a j displaystyle J j begin pmatrix a j amp b j amp 1 amp 0 amp amp amp amp 0 b j amp a j amp 0 amp 1 amp amp amp amp amp amp a j amp b j amp 1 amp 0 amp amp amp amp b j amp a j amp 0 amp 1 amp amp amp amp amp ddots amp ddots amp ddots amp 1 amp 0 amp amp amp amp ddots amp ddots amp 0 amp 1 amp amp amp amp amp ddots amp a j amp b j 0 amp amp amp amp amp amp b j amp a j end pmatrix nbsp Wir nennen die Anzahl der Zeilen bzw Spalten die Grosse dieses Blocks Dann bezeichnet man J J 1 0 0 J k P 1 A P displaystyle J begin pmatrix J 1 amp amp 0 amp ddots amp 0 amp amp J k end pmatrix P 1 AP nbsp als reelle jordansche Normalform Um sie und eine geeignete reelle Matrix P R n n displaystyle P in mathbb R n times n nbsp zu bestimmen kann man folgendermassen vorgehen Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren Es ergibt sichx l j 1 k l l j m j j 1 l l a j 2 b j 2 n j displaystyle chi lambda prod j 1 k left lambda lambda j right mu j cdot prod j 1 l left left lambda a j right 2 b j 2 right nu j nbsp dd wobei l 1 l k R displaystyle lambda 1 ldots lambda k in mathbb R nbsp paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit m j N displaystyle mu j in mathbb N nbsp bezeichnen Weiter seien darin a 1 a l R displaystyle a 1 ldots a l in mathbb R nbsp b 1 b l gt 0 displaystyle b 1 ldots b l gt 0 nbsp n 1 n l N displaystyle nu 1 ldots nu l in mathbb N nbsp und a 1 b 1 a l b l displaystyle a 1 b 1 ldots a l b l nbsp paarweise verschieden Fur jedes j 1 k displaystyle j in 1 ldots k nbsp bestimme manK j m Kern R A l j E m displaystyle K j m operatorname Kern mathbb R A lambda j E m nbsp fur m 1 2 m j displaystyle m 1 2 ldots m j nbsp worin m j m j displaystyle m j leq mu j nbsp die kleinste naturliche Zahl m displaystyle m nbsp ist mit dim R K j m dim R K j m 1 displaystyle dim mathbb R K j m dim mathbb R K j m 1 nbsp Analog bestimme man fur jedes j 1 l displaystyle j in 1 ldots l nbsp K j m Kern R A a j E 2 b j 2 E m displaystyle K j m operatorname Kern mathbb R left left A a j E right 2 b j 2 E right m nbsp fur m 1 2 n j displaystyle m 1 2 ldots n j nbsp worin n j n j displaystyle n j leq nu j nbsp die kleinste naturliche Zahl m displaystyle m nbsp ist mit dim R K j m dim R K j m 1 displaystyle dim mathbb R K j m dim mathbb R K j m 1 nbsp Zudem setzen wir K j 0 K j 0 0 displaystyle K j 0 K j 0 0 nbsp Nun stelle man die jordansche Normalform auf Es gilt hierbei dim R K j m dim R K j m 1 displaystyle dim mathbb R K j m dim mathbb R K j m 1 nbsp ist die Anzahl der Jordanblocke zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp deren Grosse grosser oder gleich m displaystyle m nbsp ist 1 2 dim R K j m dim R K j m 1 displaystyle frac 1 2 dim mathbb R K j m dim mathbb R K j m 1 nbsp ist die Anzahl der Jordanblocke zum Faktor l a j 2 b j 2 displaystyle lambda a j 2 b j 2 nbsp deren Grosse grosser oder gleich 2 m displaystyle 2m nbsp ist Ausserdem ist m j displaystyle mu j nbsp die Summe der Jordanblockgrossen zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp und 2 n j displaystyle 2 nu j nbsp die Summe der Jordanblockgrossen zum Faktor l a j 2 b j 2 displaystyle lambda a j 2 b j 2 nbsp Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform J displaystyle J nbsp bestimmen Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix P displaystyle P nbsp das heisst man sucht eine reelle invertierbare Matrix P R n n displaystyle P in mathbb R n times n nbsp so dass J P 1 A P displaystyle J P 1 AP nbsp Ein Verfahren um eine Basistransformation zu erhalten ist das folgende Man arbeite die Blocke nacheinander ab Dabei ist zu beachten dass man bei Jordanblocken zum selben irreduziblen Faktor stets vom grossten Block zum kleinsten Block vorgeht Zu jedem Block der Grosse t displaystyle t nbsp werden t displaystyle t nbsp Spalten der Basistransformationsmatrix v 1 v t displaystyle v 1 ldots v t nbsp nach einem bestimmten Schema bestimmt Wenn der Block in J displaystyle J nbsp die Spalten m m t 1 displaystyle m ldots m t 1 nbsp belegt so werden die Vektoren v 1 v t displaystyle v 1 ldots v t nbsp in P displaystyle P nbsp ebenso von links nach rechts in die Spalten m m t 1 displaystyle m ldots m t 1 nbsp eingefugt Die Vektoren v 1 v t displaystyle v 1 ldots v t nbsp werden nun wie folgt bestimmt Zu einem Jordanblock der Grosse m displaystyle m nbsp zum Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp wahle man v m K j m Span R K j m 1 M displaystyle v m in K j m setminus operatorname Span mathbb R K j m 1 cup M nbsp beliebig worin M displaystyle M nbsp die Menge der zuvor berechneten Spalten das heisst Basisvektoren der Stufe m displaystyle m nbsp aus zuvor abgearbeiteten Jordanblocken zum selben Eigenwert l j displaystyle lambda j nbsp sofern vorhanden bezeichnet Anschliessend setze man sukzessiv v t 1 A l j E v t displaystyle v t 1 A lambda j E v t nbsp fur alle t m 2 displaystyle t m ldots 2 nbsp Zu einem Jordanblock der Grosse 2 m displaystyle 2m nbsp zum irreduziblen Faktor l a j 2 b j 2 displaystyle lambda a j 2 b j 2 nbsp wahle man einen Vektor v 2 m K j m Span R K j m 1 M displaystyle v 2m in K j m setminus operatorname Span mathbb R K j m 1 cup M nbsp wobei M displaystyle M nbsp aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen 2 m 2 m 1 displaystyle 2m 2m 1 nbsp zum selben irreduziblen Faktor l a j 2 b j 2 displaystyle lambda a j 2 b j 2 nbsp besteht Dann setze man fur t 2 m 2 displaystyle t 2m ldots 2 nbsp sukzessiv v t 1 1 b j A a j E v t falls t gerade A a j E v t b j v t 1 falls t ungerade displaystyle v t 1 begin cases frac 1 b j A a j E v t amp text falls t text gerade A a j E v t b j v t 1 amp text falls t text ungerade end cases nbsp Schliesslich setzt man P displaystyle P nbsp wie gehabt aus den Vektoren v 1 v 2 m displaystyle v 1 ldots v 2m nbsp zusammen dd Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblocke abgearbeitet hat werden am Ende alle Spalten von P displaystyle P nbsp aufgefullt Es gilt Die Matrix P displaystyle P nbsp ist regular und erfullt P 1 A P J displaystyle P 1 AP J nbsp und ihre Spalten bilden eine Basis bezuglich deren A displaystyle A nbsp die Darstellung J displaystyle J nbsp besitzt Beispiel Bearbeiten Man betrachte die Matrix B M 5 R displaystyle B in M 5 mathbb R nbsp die wie folgt definiert ist B 6 2 6 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 0 1 1 0 2 2 1 4 4 6 2 3 displaystyle B begin pmatrix 6 amp 2 amp 6 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 2 amp 1 amp 2 2 amp 0 amp 1 amp 0 amp 1 1 amp 0 amp 2 amp 2 amp 1 4 amp 4 amp 6 amp 2 amp 3 end pmatrix nbsp Ihr charakteristisches Polynom lautet x l l 2 2 1 2 l 1 displaystyle chi lambda lambda 2 2 1 2 lambda 1 nbsp wobei l 2 2 1 displaystyle lambda 2 2 1 nbsp irreduzibel uber R displaystyle mathbb R nbsp ist Nun berechnen wir die jordansche Normalform Kern R B 1 E Span R 1 1 1 1 0 displaystyle operatorname Kern mathbb R B 1E operatorname Span mathbb R left left begin pmatrix 1 1 1 1 0 end pmatrix right right nbsp Dieser Kern hat die Dimension 1 Also gibt es nur einen Jordanblock der Grosse mindestens 1 Andererseits muss die Summe der Jordanblockgrossen 1 sein die Potenz von l 1 displaystyle lambda 1 nbsp so dass es genau einen Jordanblock zum Eigenwert 1 gibt und er hat die Grosse 1 Weiter hat Kern R B 2 E 2 1 2 E Span R 2 0 1 1 1 0 1 0 1 1 displaystyle operatorname Kern mathbb R left left B 2E right 2 1 2 E right operatorname Span mathbb R left left begin pmatrix 2 0 1 1 1 end pmatrix begin pmatrix 0 1 0 1 1 end pmatrix right right nbsp die Dimension 2 so dass es demzufolge nur 1 2 2 1 displaystyle tfrac 1 2 cdot 2 1 nbsp Jordanblock der Grosse mindestens 2 gibt Da die Summe der Jordanblockgrossen 4 sein muss das Doppelte der Potenz von l 2 2 1 displaystyle lambda 2 2 1 nbsp ergibt sich dass dieser eine Jordanblock die Grosse 4 besitzt Ausserdem errechnen wir Kern R B 2 E 2 1 2 E 2 Span R 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 displaystyle operatorname Kern mathbb R left left B 2E right 2 1 2 E right 2 operatorname Span mathbb R left left begin pmatrix 1 0 0 0 1 end pmatrix begin pmatrix 0 1 0 0 1 end pmatrix begin pmatrix 0 0 1 0 1 end pmatrix begin pmatrix 0 0 0 1 0 end pmatrix right right nbsp Somit ist J 1 2 1 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 displaystyle J begin pmatrix 1 amp amp amp amp amp 2 amp 1 amp 1 amp 0 amp 1 amp 2 amp 0 amp 1 amp amp amp 2 amp 1 amp amp amp 1 amp 2 end pmatrix nbsp die reelle jordansche Normalform von B displaystyle B nbsp Zum Vergleich lautet die komplexe jordansche Normalform J C 1 2 i 1 2 i 2 i 1 2 i displaystyle J mathbb C begin pmatrix 1 amp amp amp amp amp 2 i amp 1 amp amp amp amp 2 i amp amp amp amp amp 2 i amp 1 amp amp amp amp 2 i end pmatrix nbsp Zum Berechnen einer Basistransformationsmatrix beginne man mit dem ersten reellen Eigenwert und dann mit dem ersten Jordanblock der Dimension 1 Man wahle u 1 Kern R B 1 E 1 Kern R B 1 E 0 displaystyle u 1 in operatorname Kern mathbb R B 1E 1 setminus operatorname Kern mathbb R B 1E 0 nbsp beliebig also beispielsweise u 1 1 1 1 1 0 displaystyle u 1 begin pmatrix 1 1 1 1 0 end pmatrix nbsp Daraus erhalt man P 1 1 1 1 0 displaystyle P begin pmatrix 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 1 amp amp amp amp 0 amp amp amp amp end pmatrix nbsp Nun gehe man zum ersten irreduziblen Faktor komplexen Eigenwert und dann zum Jordanblock der Grosse 4 uber Dazu wahle man v 4 Kern R B 2 E 2 1 2 E 2 Kern R B 2 E 2 1 2 E 1 displaystyle v 4 in operatorname Kern mathbb R B 2E 2 1 2 E 2 setminus operatorname Kern mathbb R B 2E 2 1 2 E 1 nbsp beliebig beispielsweise v 4 0 0 0 1 0 displaystyle v 4 begin pmatrix 0 0 0 1 0 end pmatrix nbsp Dann ist v 3 1 1 B 2 E v 4 1 1 0 0 2 displaystyle v 3 frac 1 1 B 2E v 4 begin pmatrix 1 1 0 0 2 end pmatrix nbsp v 2 B 2 E v 3 b v 4 0 2 0 2 2 displaystyle v 2 B 2E v 3 bv 4 begin pmatrix 0 2 0 2 2 end pmatrix nbsp und v 1 1 1 B 2 E v 2 4 0 2 2 2 displaystyle v 1 frac 1 1 B 2E v 2 begin pmatrix 4 0 2 2 2 end pmatrix nbsp zu wahlen Daraus erhalt man P 1 4 0 1 0 1 0 2 1 0 1 2 0 0 0 1 2 2 0 1 0 2 2 2 0 displaystyle P begin pmatrix 1 amp 4 amp 0 amp 1 amp 0 1 amp 0 amp 2 amp 1 amp 0 1 amp 2 amp 0 amp 0 amp 0 1 amp 2 amp 2 amp 0 amp 1 0 amp 2 amp 2 amp 2 amp 0 end pmatrix nbsp P displaystyle P nbsp ist eine regulare Matrix mit J P 1 B P displaystyle J P 1 BP nbsp Jordansche Normalform in allgemeinen Korpern BearbeitenDie jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Korper In diesem Zusammenhang wird sie haufig auch als Weierstrass Normalform bzw Frobenius Normalform bezeichnet Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorraumen bei der sich alle ahnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen So konnen ahnliche lineare Abbildungen identifiziert werden Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ahnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings Durch die Darstellung in der Weierstrass Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten BearbeitenGegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem von n displaystyle n nbsp Gleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten y A y g x displaystyle y A cdot y g x nbsp durch eine Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp und eine stetige Funktion g R C n displaystyle g colon mathbb R rightarrow mathbb C n nbsp Es ist bekannt dass die eindeutige Losung des Anfangswertproblems y x 0 y 0 C n displaystyle y x 0 y 0 in mathbb C n nbsp gegeben ist durch y x e x x 0 A y 0 x 0 x e x t A g t d t displaystyle y x e x x 0 A cdot y 0 int x 0 x e x t A g t rm d t nbsp worin exp B e B k 0 1 k B k displaystyle exp B e B sum k 0 infty frac 1 k B k nbsp fur B C n n displaystyle B in mathbb C n times n nbsp die Matrixexponentialfunktion bezeichnet Man beachte Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden exp t l 1 0 0 0 l 1 0 0 0 l 1 0 0 l e t l 1 t 1 1 t 2 2 t n 1 n 1 0 1 t 1 1 t n 2 n 2 0 0 1 t 1 1 0 0 1 displaystyle exp left t cdot begin pmatrix lambda amp 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp lambda amp 1 amp ddots amp 0 vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp lambda amp 1 0 amp cdots amp cdots amp 0 amp lambda end pmatrix right e t lambda cdot begin pmatrix 1 amp frac t 1 1 amp frac t 2 2 amp cdots amp frac t n 1 n 1 0 amp 1 amp frac t 1 1 amp cdots amp frac t n 2 n 2 vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp 1 amp frac t 1 1 0 amp cdots amp cdots amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp dd Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform J d i a g J 1 J m displaystyle J rm diag J 1 ldots J m nbsp kann explizit berechnet werden mittels exp t d i a g J 1 J m d i a g exp t J 1 exp t J m displaystyle exp t cdot rm diag J 1 ldots J m rm diag exp tJ 1 ldots exp tJ m nbsp dd Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix A displaystyle A nbsp deren komplexe Jordannormalform J displaystyle J nbsp zusammen mit einer Basistransformationsmatrix P C n n displaystyle P in mathbb C n times n nbsp bekannt ist das heisst A P J P 1 displaystyle A PJP 1 nbsp kann explizit berechnet werden mittels exp t A exp t P J P 1 P exp t J P 1 displaystyle exp tA exp t cdot PJP 1 P cdot exp tJ cdot P 1 nbsp dd Mit anderen Worten Kennt man eine Darstellung A P J P 1 displaystyle A PJP 1 nbsp mit der komplexen jordanschen Normalform J displaystyle J nbsp so kann man exp t A displaystyle exp tA nbsp fur jedes t R displaystyle t in mathbb R nbsp explizit ausrechnen so dass zum Bestimmen von y x e x x 0 A y 0 x 0 x e x t A g t d t displaystyle y x e x x 0 A cdot y 0 int x 0 x e x t A g t rm d t nbsp nur noch das Integrationsproblem zu losen ist welches im homogenen Fall g 0 displaystyle g 0 nbsp vollig entfallt Siehe auch BearbeitenDiagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstrass Normalform Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der additiven Jordan Chevalley Zerlegung eines Endomorphismus Da fur die Existenz einer jordanschen Normalform die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausschlaggebend ist kann die reelle Normalform wie hier beschrieben allgemeiner fur affine Selbstabbildungen des zweidimensionalen affinen Raumes uber einem euklidischen und eines affinen Raumes mit beliebiger endlicher Dimension uber einem reell abgeschlossenen Korper bestimmt werden Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Vorlesung zu jordanscher Normalform Kursmaterialien Daniel Winkler Kochen mit Jordan PDF Datei 264 kB Jordan matrix In Encyclopaedia of Mathematics englisch Jordan canonical form theorem In PlanetMath englisch The Real Jordan Form In Number Theory Web englisch PDF Datei 110 kB Das Gelbe Rechenbuch Zusatze Jordanform von Matrizen PDF Datei 81 kB Einzelnachweise Bearbeiten Wilhelm von Alten u a 4000 Jahre Algebra Springer 2008 S 409 E Brieskorn Lineare Algebra und analytische Geometrie Band II Vieweg 1985 ISBN 3 528 08562 2 S 20 Literatur BearbeitenHerbert Amann Gewohnliche Differentialgleichungen 2 Auflage De Gruyter Berlin 1995 ISBN 3 11 014582 0 Gilbert Strang Lineare Algebra 1 Auflage Springer Verlag Berlin 2003 ISBN 3 540 43949 8 Literatur zu Eigenwerten und Eigenvektoren sowie Matrizen Rechnung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jordansche Normalform amp oldid 236911897
