Die Jordan-Chevalley-Zerlegung (gelegentlich auch Dunford-Zerlegung) ist wichtig für das Studium von Lie-Algebren und algebraischen Gruppen. Benannt ist sie nach Marie Ennemond Camille Jordan und Claude Chevalley.
Unter der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem algebraisch abgeschlossenen Körper versteht man die Summe , worin ein halbeinfacher (also diagonalisierbarer) und ein nilpotenter Endomorphismus sind, die miteinander kommutieren, das heißt .
Ist allgemeiner eine halbeinfache Lie-Algebra (mit Lie-Klammer ) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 und , so bezeichnet man als (additive abstrakte) Jordan-Chevalley-Zerlegung, falls gilt: Der Endomorphismus ist halbeinfach, der Endomorphismus ist nilpotent, und es gilt . Darin wird für jedes die Abbildung folgendermaßen definiert:
welches ein Endomorphismus von ist.
Die Jordan-Chevalley-Zerlegung existiert in den oben angegebenen Fällen und ist eindeutig. Zudem stimmen beide Definitionen im Fall , versehen mit der Lie-Klammer , überein.
Die multiplikative Zerlegung stellt einen invertierbaren Operator als Produkt seiner kommutierenden halbeinfachen und unipotenten Anteile dar. Diese erhält man leicht aus der oben angegebenen additiven Zerlegung:
Man beachte, dass invertierbar ist, denn kann als invertierbarer Endomorphismus nicht den Eigenwert 0 haben, und dass wegen der Vertauschbarkeit der Faktoren ebenfalls nilpotent und damit unipotent ist.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Serge Lang, Algebra (3 ed), Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-55540-9. Chap.XIV.2, p.559.
Weblinks Bearbeiten
- (PDF-Datei; 178 kB), Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022