Als Schur Zerlegung oder Schursche Normalform nach Issai Schur bezeichnet man in der Linearen Algebra einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Matrix Zerlegung genauer ein Trigonalisierungsverfahren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Konstruktion einer Schur Zerlegung 4 Beispiel 5 WeblinksDefinition BearbeitenA displaystyle A nbsp sei eine quadratische Matrix mit Eintragen aus K displaystyle mathbb K nbsp also A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp wobei K displaystyle mathbb K nbsp entweder fur R displaystyle mathbb R nbsp oder fur C displaystyle mathbb C nbsp steht Zerfallt das charakteristische Polynom von A displaystyle A nbsp uber K displaystyle mathbb K nbsp in Linearfaktoren so existiert eine unitare Matrix U K n n displaystyle U in mathbb K n times n nbsp sodass R U A U displaystyle R U AU quad nbsp U displaystyle U nbsp ist die zu U displaystyle U nbsp adjungierte Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist Da U displaystyle U nbsp unitar ist folgt A U R U displaystyle A URU nbsp eine solche Darstellung heisst Schur Zerlegung von A displaystyle A nbsp Bemerkungen BearbeitenDa R displaystyle R nbsp eine obere Dreiecksmatrix ist kann sie als Summe einer Diagonalmatrix D displaystyle D nbsp und einer strikten oberen Dreiecksmatrix N displaystyle N nbsp dargestellt werden D N K n n displaystyle D N in mathbb K n times n nbsp R D N displaystyle R D N nbsp Es gilt dann D displaystyle D nbsp ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur Zerlegung bezeichnet N displaystyle N nbsp ist nilpotent im Allgemeinen nur bezuglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur Zerlegung genannt Die Frobeniusnorm von N displaystyle N nbsp ist genau dann 0 wenn A displaystyle A nbsp normal ist Wegen der Ahnlichkeit der Ausgangsmatrix A displaystyle A nbsp und der oberen Dreiecksmatrix R displaystyle R nbsp stehen auf der Hauptdiagonale von R displaystyle R nbsp die Eigenwerte von A displaystyle A nbsp Ist A displaystyle A nbsp eine normale Matrix dann ist R displaystyle R nbsp sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von U displaystyle U nbsp sind Eigenvektoren von A displaystyle A nbsp Die Schur Zerlegung von A displaystyle A nbsp wird dann als Spektralzerlegung von A displaystyle A nbsp bezeichnet Wenn A displaystyle A nbsp positiv definit ist dann ist die Schur Zerlegung von A displaystyle A nbsp dasselbe wie die Singularwertzerlegung von A displaystyle A nbsp Konstruktion einer Schur Zerlegung BearbeitenSei A K n n displaystyle A in mathbb K n times n nbsp Zunachst muss ein Eigenwert l 1 displaystyle lambda 1 nbsp und ein entsprechender Eigenvektor v 1 displaystyle v 1 nbsp zu A displaystyle A nbsp gefunden werden Nun werden n 1 displaystyle n 1 nbsp Vektoren w 2 w n displaystyle w 2 ldots w n nbsp gewahlt so dass v 1 w 2 w n displaystyle v 1 w 2 ldots w n nbsp eine orthonormale Basis in K n displaystyle mathbb K n nbsp bilden Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix V 1 displaystyle V 1 nbsp mit V 1 A V 1 l 1 0 A 1 displaystyle V 1 AV 1 begin bmatrix lambda 1 amp 0 amp A 1 end bmatrix nbsp wobei A 1 displaystyle A 1 nbsp eine n 1 n 1 displaystyle n 1 times n 1 nbsp Matrix ist Nun wird dieser Vorgang fur A 1 displaystyle A 1 nbsp wiederholt Es entsteht eine unitare Matrix V 2 displaystyle V 2 nbsp mit V 2 A 1 V 2 l 2 0 A 2 displaystyle V 2 A 1 V 2 begin bmatrix lambda 2 amp 0 amp A 2 end bmatrix nbsp wobei A 2 displaystyle A 2 nbsp eine n 2 n 2 displaystyle n 2 times n 2 nbsp Matrix ist Dann giltQ 2 A Q 2 l 1 0 l 2 0 0 A 2 displaystyle Q 2 AQ 2 begin bmatrix lambda 1 amp amp 0 amp lambda 2 amp 0 amp 0 amp A 2 end bmatrix nbsp wobei Q 2 V 1 V 2 displaystyle Q 2 V 1 hat V 2 nbsp mit V 2 1 0 0 V 2 displaystyle hat V 2 begin bmatrix 1 amp 0 0 amp V 2 end bmatrix nbsp gilt Die gesamte Prozedur wird n 1 displaystyle n 1 nbsp mal wiederholt bis die Matrizen V 1 V n 1 displaystyle V 1 ldots hat V n 1 nbsp vorliegen Dann ist Q V 1 V 2 V 3 V n 1 displaystyle Q V 1 hat V 2 hat V 3 cdots hat V n 1 nbsp eine unitare Matrix und R Q A Q displaystyle R Q AQ nbsp eine obere Dreiecksmatrix Damit ist die Schur Zerlegung der Matrix A displaystyle A nbsp bestimmt Beispiel BearbeitenBetrachte beispielsweise die Matrix A 2 1 3 2 1 1 7 2 7 displaystyle A begin bmatrix 2 amp 1 amp 3 2 amp 1 amp 1 7 amp 2 amp 7 end bmatrix nbsp mit den Eigenwerten l 1 l 2 l 3 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 2 nbsp die Matrix ist nicht diagonalisierbar weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 1 betragt Wir wahlen als Basis fur den Anfang die Standard Basis e 1 e 2 e 3 displaystyle langle e 1 e 2 e 3 rangle nbsp wobei e j displaystyle e j nbsp den j displaystyle j nbsp ten Einheitsvektor bezeichnet Fur A 1 A displaystyle A 1 A nbsp bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2 zum Beispiel 1 1 1 displaystyle begin bmatrix 1 1 1 end bmatrix nbsp mit Darstellung v 1 1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 1 1 displaystyle v 1 1e 1 1e 2 1e 3 begin bmatrix 1 1 1 end bmatrix nbsp und erganzen ihn zu einer linear unabhangigen Basis z B v 1 e 1 e 3 displaystyle langle v 1 e 1 e 3 rangle nbsp Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V 1 v 1 e 1 e 3 displaystyle V 1 v 1 e 1 e 3 nbsp und berechnen V 1 1 A V 1 2 2 1 0 4 4 0 9 8 displaystyle V 1 1 AV 1 begin bmatrix 2 amp 2 amp 1 0 amp 4 amp 4 0 amp 9 amp 8 end bmatrix nbsp daraus lasst sich ablesen dass A 2 4 4 9 8 displaystyle A 2 begin bmatrix 4 amp 4 9 amp 8 end bmatrix nbsp Fur A 2 displaystyle A 2 nbsp bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2 z B 2 3 displaystyle begin bmatrix 2 3 end bmatrix nbsp mit Darstellung v 2 0 v 1 2 e 1 3 e 3 2 0 3 displaystyle v 2 0v 1 2e 1 3e 3 begin bmatrix 2 0 3 end bmatrix nbsp und erganzen ihn zu einer linear unabhangigen Basis z B v 1 v 2 e 3 displaystyle langle v 1 v 2 e 3 rangle nbsp Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V 2 v 1 v 2 e 3 displaystyle V 2 v 1 v 2 e 3 nbsp und berechnen V 2 1 A V 2 2 1 1 0 2 2 0 0 2 displaystyle V 2 1 AV 2 begin bmatrix 2 amp 1 amp 1 0 amp 2 amp 2 0 amp 0 amp 2 end bmatrix nbsp Wie oben gezeigt kann die Basis beliebig gewahlt werden allerdings wird die Sache sehr einfach und interessant wenn die Wahl der Standardbasis durchgezogen wird sofern moglich Dadurch andern sich die vorherigen Schritte wie folgt Fur A 1 A displaystyle A 1 A nbsp bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2 z B 1 1 1 displaystyle begin bmatrix 1 1 1 end bmatrix nbsp mit Darstellung v 1 1 1 1 displaystyle v 1 begin bmatrix 1 1 1 end bmatrix nbsp und erganzen ihn zu einer linear unabhangigen Basis z B v 1 e 2 e 3 displaystyle langle v 1 e 2 e 3 rangle nbsp Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V 1 v 1 e 2 e 3 displaystyle V 1 v 1 e 2 e 3 nbsp und berechnen V 1 1 A V 1 2 1 3 0 0 4 0 1 4 displaystyle V 1 1 AV 1 begin bmatrix 2 amp 1 amp 3 0 amp 0 amp 4 0 amp 1 amp 4 end bmatrix nbsp daraus lasst sich ablesen dass A 2 0 4 1 4 displaystyle A 2 begin bmatrix 0 amp 4 1 amp 4 end bmatrix nbsp Fur A 2 displaystyle A 2 nbsp bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2 z B 2 1 displaystyle begin bmatrix 2 1 end bmatrix nbsp mit Darstellung v 2 0 2 1 displaystyle v 2 begin bmatrix 0 2 1 end bmatrix nbsp und erganzen ihn zu einer linear unabhangigen Basis z B v 1 v 2 e 3 displaystyle langle v 1 v 2 e 3 rangle nbsp Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V 2 v 1 v 2 e 3 displaystyle V 2 v 1 v 2 e 3 nbsp und berechnen V 2 1 A V 2 2 1 3 0 2 2 0 0 2 displaystyle V 2 1 AV 2 begin bmatrix 2 amp 1 amp 3 0 amp 2 amp 2 0 amp 0 amp 2 end bmatrix nbsp Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfallig zudem ist die finale Basistransformation hier V 2 displaystyle V 2 nbsp auch eine Dreiecksmatrix Mit dem Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann die erhaltene Basistransformationsmatrix zu einer unitaren Matrix gemacht werden wie verlangt Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Schur Decomposition In MathWorld englisch LP Lemma von Schur u a Beweis des Lemmas in Numerische Mathematik I Funktionalanalytische Grundlagen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schur Zerlegung amp oldid 217558415
