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Padé Approximation Die bezeichnet in der Mathematik die beste Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen Di

Padé-Approximation

Die Padé-Approximation bezeichnet in der Mathematik die beste Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen.

Die Padé-Approximation ist benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Padé, der sie 1892 bekannt machte, wobei allerdings der deutsche Mathematiker Georg Frobenius bereits 1881 seine diesbezüglichen Untersuchungen über die rationale Approximation von Potenzreihen veröffentlichte.

Die Padé-Approximation führt oft zu besseren Ergebnissen als die Approximation mittels Taylorreihen. Manchmal erhält man auch dann Approximationen, wenn die Taylorreihe nicht konvergiert. Daher wird sie häufig in Computerberechnungen verwendet. Auch im Gebiet der Diophantischen Approximation ist sie nützlich.

Definition Bearbeiten

Sei eine Funktion und , natürliche Zahlen, dann ist die Padé-Approximation der Ordnung die rationale Funktion

welche mit in der höchstmöglichen Ordnung übereinstimmt, woraus folgt:

Eine äquivalente Definition lautet: Entwickelt man in eine Maclaurinsche Reihe, d. h. in eine Taylorreihe um den Punkt 0, dann stimmen die ersten Terme von und überein. Daraus folgt für den Approximationsfehler

Für jedes vorgegebene und ist die Padé-Approximation eindeutig, d. h. die Koeffizienten sind eindeutig aus den Koeffizienten der taylorartigen Reihe bestimmbar.

Im Nenner von wurde der Anfangsterm ohne Beschränkung der Allgemeinheit gewählt. Andernfalls erhält man durch geeignetes Kürzen die genannte Form.

Die Padé-Approximation wird auch dargestellt als

Berechnung Bearbeiten

Zu einem gegebenen kann man die Padé-Approximation nach dem sogenannten „Epsilon-Verfahren“ des belgischen Mathematikers Peter Wynn, oder auch anderer Folgentransformationen berechnen. Dabei verwendet man die Teilsummen

der Taylorreihe von ; die sind also gemäß

durch bestimmt.

Bei der Funktion kann es sich auch um eine formale Potenzreihe handeln, so dass Padé-Approximationen auch auf die Summierung divergenter Reihen angewandt werden können.

Zur Berechnung der Padé-Approximation kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus für den größten gemeinsamen Polynomteiler anwenden. Die Beziehung

ist äquivalent zur Existenz eines Faktors derart, dass

Dies lässt sich als die Bézout-Gleichung eines Schrittes der Berechnung des größten gemeinsamen Polynomteilers interpretieren:

und .

Für die -Approximation wendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus an für

und stoppt, wenn vom Grade kleiner gleich ist. Dann stellt der Quotient der Polynome die -Padé-Approximation dar.

Riemann–Padé Zeta-Funktion Bearbeiten

Zur Untersuchung von divergenten Reihen, etwa

kann es hilfreich sein, die Padé- oder rationale Zeta-Funktion einzuführen:

wobei

die Padé-Approximation der Ordnung der Funktion ist. Der Wert für ist die Summe der divergenten Reihen. Die Funktionsgleichung für diese Zeta-Funktion lautet:

wobei und die Koeffizienten der Padé-Approximation sind. Der Index 0 steht für die Padé-Approximation der Ordnung [0/0] und ergibt so die Riemannsche ζ-Funktion.

DLog-Padé Methode Bearbeiten

Mit Padé-Approximationen können kritische Punkte und Exponenten einer Funktion ermittelt werden. In der Thermodynamik heißt kritischer Punkt und der zugehörige kritische Exponent von , wenn sich die Funktion in der Nähe eines Punktes wie nicht-analytisch verhält. Sind hinreichend viele Terme der Reihenentwicklung von bekannt, dann ergeben sich näherungsweise die kritischen Punkte und die kritischen Exponenten aus den Polen und Residuen der Padé-Approximationen mit .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Padé-Approximation approximiert eine Funktion in einer Variablen. Eine Approximation in zwei Variablen heißt Chisholm-Approximation, in mehr als zwei Variablen Canterbury-Approximation (benannt nach Graves-Morris an der University of Kent).

Literatur Bearbeiten

  • G. A. Baker, Jr., P. Graves-Morris: Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996, ISBN 0-521-45007-1.
  • C. Brezinski, M. Redivo Zaglia: Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991, ISBN 0-444-88814-4.
  • W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. 3. Auflage. Cambridge University Press, New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 5.12 Padé Approximants. (apps.nrbook.com)
  • W. B. Gragg: The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis. In: SIAM Review. Vol. 14, No. 1, 1972, S. 1–62.
  • P. Wynn: Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Padé table. In: Numerische Mathematik. 8 (3), 1966, S. 264–269.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Henri Padé: Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationalles. In: Annales Scientifiques de l'Êcole Normale Supérieure. Volume 9 supplement, 1892, S. 1–93.
  2. Georg Frobenius: Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 90, 1881, S. 1–17. (online, abgerufen am 3. Juni 2014)
  3. Elliot Ward Cheney: Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book Company, 1966, ISBN 0-07-010757-2, S. 231.
  4. Peter Wynn: On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm. In: SIAM Journal on Numerical Analysis. Volume 3 (1), März 1966, S. 91–122 Theorem 1.
  5. C. Brezenski: Extrapolation algorithms and Padé approximations. In: Applied Numerical Mathematics. Volume 20 (3), 1996, S. 299–318.
  6. Dario Bini, Victor Pan: Polynomial and Matrix computations. Volume 1: Fundamental Algorithms. (= Progress in theoretical computer science. 12). Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3786-9, S. 46, Problem 5.2b und Algorithmus 5.2.
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Die Pade Approximation bezeichnet in der Mathematik die beste Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen Die Pade Approximation ist benannt nach dem franzosischen Mathematiker Henri Pade der sie 1892 bekannt machte 1 wobei allerdings der deutsche Mathematiker Georg Frobenius bereits 1881 seine diesbezuglichen Untersuchungen uber die rationale Approximation von Potenzreihen veroffentlichte 2 3 Die Pade Approximation fuhrt oft zu besseren Ergebnissen als die Approximation mittels Taylorreihen Manchmal erhalt man auch dann Approximationen wenn die Taylorreihe nicht konvergiert Daher wird sie haufig in Computerberechnungen verwendet Auch im Gebiet der Diophantischen Approximation ist sie nutzlich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Berechnung 3 Riemann Pade Zeta Funktion 4 DLog Pade Methode 5 Verallgemeinerungen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei f displaystyle f nbsp eine Funktion und m 0 displaystyle m geq 0 nbsp n 1 displaystyle n geq 1 nbsp naturliche Zahlen dann ist die Pade Approximation der Ordnung m n displaystyle m n nbsp die rationale Funktion R x j 0 m a j x j 1 k 1 n b k x k a 0 a 1 x a 2 x 2 a m x m 1 b 1 x b 2 x 2 b n x n displaystyle R x frac sum j 0 m a j x j 1 sum k 1 n b k x k frac a 0 a 1 x a 2 x 2 cdots a m x m 1 b 1 x b 2 x 2 cdots b n x n nbsp welche mit f x displaystyle f x nbsp in der hochstmoglichen Ordnung ubereinstimmt woraus folgt f 0 R 0 f 0 R 0 f 0 R 0 f m n 0 R m n 0 displaystyle begin array rcl f 0 amp amp R 0 f 0 amp amp R 0 f 0 amp amp R 0 amp vdots amp f m n 0 amp amp R m n 0 end array nbsp Eine aquivalente Definition lautet Entwickelt man R x displaystyle R x nbsp in eine Maclaurinsche Reihe d h in eine Taylorreihe um den Punkt 0 dann stimmen die ersten m n displaystyle m n nbsp Terme von R x displaystyle R x nbsp und f x displaystyle f x nbsp uberein Daraus folgt fur den Approximationsfehler f x R x c m n 1 x m n 1 c m n 2 x m n 2 displaystyle f x R x c m n 1 x m n 1 c m n 2 x m n 2 cdots nbsp Fur jedes vorgegebene m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp ist die Pade Approximation eindeutig d h die Koeffizienten a 0 a 1 a m b 1 b n displaystyle a 0 a 1 dots a m b 1 dots b n nbsp sind eindeutig aus den Koeffizienten c 0 c m n displaystyle c 0 dots c m n nbsp der taylorartigen Reihe bestimmbar Im Nenner von R x displaystyle R x nbsp wurde der Anfangsterm ohne Beschrankung der Allgemeinheit b 0 1 displaystyle b 0 1 nbsp gewahlt Andernfalls erhalt man durch geeignetes Kurzen die genannte Form Die Pade Approximation wird auch dargestellt als m n f x displaystyle m n f x nbsp Berechnung BearbeitenZu einem gegebenen x displaystyle x nbsp kann man die Pade Approximation nach dem sogenannten Epsilon Verfahren des belgischen Mathematikers Peter Wynn 4 oder auch anderer Folgentransformationen 5 berechnen Dabei verwendet man die Teilsummen T N x c 0 c 1 x c 2 x 2 c N x N displaystyle T N x c 0 c 1 x c 2 x 2 cdots c N x N nbsp der Taylorreihe von f displaystyle f nbsp die c k displaystyle c k nbsp sind also gemass c k f k 0 k displaystyle c k frac f k 0 k nbsp durch f displaystyle f nbsp bestimmt Bei der Funktion f displaystyle f nbsp kann es sich auch um eine formale Potenzreihe handeln so dass Pade Approximationen auch auf die Summierung divergenter Reihen angewandt werden konnen Zur Berechnung der Pade Approximation kann man den erweiterten euklidischen Algorithmus fur den grossten gemeinsamen Polynomteiler anwenden 6 Die Beziehung R x P x Q x T m n x mod x m n 1 displaystyle R x P x Q x T m n x text mod x m n 1 nbsp ist aquivalent zur Existenz eines Faktors K x displaystyle K x nbsp derart dass P x Q x T m n x K x x m n 1 displaystyle P x Q x T m n x K x x m n 1 nbsp Dies lasst sich als die Bezout Gleichung eines Schrittes der Berechnung des grossten gemeinsamen Polynomteilers interpretieren T m n x displaystyle T m n x nbsp und x m n 1 displaystyle x m n 1 nbsp Fur die m n displaystyle m n nbsp Approximation wendet man den erweiterten euklidischen Algorithmus an fur r 0 x m n 1 r 1 T m n x displaystyle r 0 x m n 1 r 1 T m n x nbsp und stoppt wenn v k displaystyle v k nbsp vom Grade kleiner gleich n displaystyle n nbsp ist Dann stellt der Quotient der Polynome P r k Q v k displaystyle P r k Q v k nbsp die m n displaystyle m n nbsp Pade Approximation R P Q displaystyle R P Q nbsp dar Riemann Pade Zeta Funktion BearbeitenZur Untersuchung von divergenten Reihen etwa z 1 f z displaystyle sum z 1 infty f z nbsp kann es hilfreich sein die Pade oder rationale Zeta Funktion einzufuhren z R s z 1 R z z s displaystyle zeta R s sum z 1 infty frac R z z s nbsp wobei R x m n f x displaystyle R x m n f x nbsp die Pade Approximation der Ordnung m n displaystyle m n nbsp der Funktion f displaystyle f nbsp ist Der Wert fur s 0 displaystyle s 0 nbsp ist die Summe der divergenten Reihen Die Funktionsgleichung fur diese Zeta Funktion lautet j 0 n a j z R s j j 0 m b j z 0 s j displaystyle sum j 0 n a j zeta R s j sum j 0 m b j zeta 0 s j nbsp wobei a j displaystyle a j nbsp und b j displaystyle b j nbsp die Koeffizienten der Pade Approximation sind Der Index 0 steht fur die Pade Approximation der Ordnung 0 0 und ergibt so die Riemannsche z Funktion DLog Pade Methode BearbeitenMit Pade Approximationen konnen kritische Punkte und Exponenten einer Funktion ermittelt werden In der Thermodynamik heisst x r displaystyle x r nbsp kritischer Punkt und p displaystyle p nbsp der zugehorige kritische Exponent von f displaystyle f nbsp wenn sich die Funktion f displaystyle f nbsp in der Nahe eines Punktes x r displaystyle x r nbsp wie f x x r p displaystyle f x sim left x r right p nbsp nicht analytisch verhalt Sind hinreichend viele Terme der Reihenentwicklung von f displaystyle f nbsp bekannt dann ergeben sich naherungsweise die kritischen Punkte und die kritischen Exponenten aus den Polen und Residuen der Pade Approximationen n n 1 g x displaystyle left n n 1 right g left x right nbsp mit g f f displaystyle g frac f f nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine Pade Approximation approximiert eine Funktion in einer Variablen Eine Approximation in zwei Variablen heisst Chisholm Approximation in mehr als zwei Variablen Canterbury Approximation benannt nach Graves Morris an der University of Kent Literatur BearbeitenG A Baker Jr P Graves Morris Pade Approximants Cambridge U P 1996 ISBN 0 521 45007 1 C Brezinski M Redivo Zaglia Extrapolation Methods Theory and Practice North Holland 1991 ISBN 0 444 88814 4 W H Press S A Teukolsky W T Vetterling B P Flannery Numerical Recipes The Art of Scientific Computing 3 Auflage Cambridge University Press New York 2007 ISBN 978 0 521 88068 8 Section 5 12 Pade Approximants apps nrbook com W B Gragg The Pade Table and Its Relation to Certain Algorithms of Numerical Analysis In SIAM Review Vol 14 No 1 1972 S 1 62 P Wynn Upon systems of recursions which obtain among the quotients of the Pade table In Numerische Mathematik 8 3 1966 S 264 269 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Pade Approximant von MathWorld abgerufen am 3 Juni 2014 Kapitel 3 5 abgerufen am 4 Juni 2014 Beispiele von Pade Approximationen engl abgerufen am 14 Februar 2016 Pade Approximation fur sin x engl Memento vom 1 Marz 2014 im Internet Archive abgerufen am 14 Februar 2016 Einzelnachweise Bearbeiten Henri Pade Sur la representation approchee d une fonction par des fractions rationalles In Annales Scientifiques de l Ecole Normale Superieure Volume 9 supplement 1892 S 1 93 Georg Frobenius Ueber Relationen zwischen den Naherungsbruchen von Potenzreihen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Volume 90 1881 S 1 17 online abgerufen am 3 Juni 2014 Elliot Ward Cheney Introduction to Approximation Theory McGraw Hill Book Company 1966 ISBN 0 07 010757 2 S 231 Peter Wynn On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm In SIAM Journal on Numerical Analysis Volume 3 1 Marz 1966 S 91 122 Theorem 1 C Brezenski Extrapolation algorithms and Pade approximations In Applied Numerical Mathematics Volume 20 3 1996 S 299 318 Dario Bini Victor Pan Polynomial and Matrix computations Volume 1 Fundamental Algorithms Progress in theoretical computer science 12 Birkhauser 1994 ISBN 0 8176 3786 9 S 46 Problem 5 2b und Algorithmus 5 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pade Approximation amp oldid 237552044