Eine Standardmatrix Standard Einheitsmatrix oder Matrixeinheit ist in der Mathematik eine Matrix bei der genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Eintrage null sind Jede Standardmatrix lasst sich als dyadisches Produkt von kanonischen Einheitsvektoren darstellen Die Menge der Standardmatrizen bildet die Standardbasis fur den Matrizenraum Sie werden unter anderem zur Definition von Elementarmatrizen verwendet die beim gaussschen Eliminationsverfahren zum Einsatz kommen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Darstellungen 3 2 Symmetrie 3 3 Produkt 3 4 Kenngrossen 4 Verwendung 4 1 Matrixeintrage 4 2 Standardbasis 4 3 Elementarmatrizen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein Ring mit Nullelement 0 displaystyle 0 nbsp und Einselement 1 displaystyle 1 nbsp dann ist die Standardmatrix E i j e k l R m n displaystyle E ij e kl in R m times n nbsp die Matrix mit den Eintragen e k l 1 fur i k und j l 0 sonst displaystyle e kl begin cases 1 amp text fur i k text und j l 0 amp text sonst end cases nbsp fur k 1 m displaystyle k 1 ldots m nbsp und l 1 n displaystyle l 1 ldots n nbsp 1 Bei der Standardmatrix E i j displaystyle E ij nbsp ist demnach der Eintrag an der Stelle i j displaystyle i j nbsp gleich eins und alle anderen Eintrage gleich null Eine Standardmatrix wird auch als Standard Einheitsmatrix 2 oder Matrixeinheit 3 bezeichnet und gelegentlich durch e i j displaystyle e ij nbsp statt E i j displaystyle E ij nbsp notiert Beispiele BearbeitenIst R displaystyle R nbsp der Korper der reellen Zahlen und bezeichnen 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp die Zahlen Null und Eins so sind Beispiele fur Standardmatrizen der Grosse 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp E 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 E 12 0 1 0 0 0 0 0 0 0 E 23 0 0 0 0 0 1 0 0 0 displaystyle E 11 begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix E 12 begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 end pmatrix E 23 begin pmatrix 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 end pmatrix nbsp Eigenschaften BearbeitenDarstellungen Bearbeiten Jede Standardmatrix E i j R m n displaystyle E ij in R m times n nbsp lasst sich als dyadisches Produkt der beiden kanonischen Einheitsvektoren e i R m displaystyle e i in R m nbsp und e j R n displaystyle e j in R n nbsp darstellen das heisst E i j e i e j e i e j T displaystyle E ij e i otimes e j e i cdot e j T nbsp wobei e T displaystyle e T nbsp der transponierte Vektor zu e displaystyle e nbsp ist Mit Hilfe des Kronecker Deltas lasst sich eine Standardmatrix auch durch E i j d i k d j l k 1 m l 1 n d i j k l k 1 m l 1 n displaystyle E ij delta ik delta jl k 1 ldots m atop l 1 ldots n delta i j k l k 1 ldots m atop l 1 ldots n nbsp notieren Symmetrie Bearbeiten Fur die Transponierte einer Standardmatrix E i j R m n displaystyle E ij in R m times n nbsp gilt E i j T E j i displaystyle E ij T E ji nbsp Damit sind nur die Standardmatrizen E i i R n n displaystyle E ii in R n times n nbsp symmetrisch Produkt Bearbeiten Fur das Produkt zweier Standardmatrizen E i j R m n displaystyle E ij in R m times n nbsp und E k l R n p displaystyle E kl in R n times p nbsp gilt E i j E k l E i l falls j k 0 sonst displaystyle E ij cdot E kl begin cases E il amp text falls j k 0 amp text sonst end cases nbsp wobei 0 displaystyle 0 nbsp die Nullmatrix der Grosse m p displaystyle m times p nbsp ist Kenngrossen Bearbeiten Fur den Rang einer Standardmatrix gilt rang E i j 1 displaystyle operatorname rang E ij 1 nbsp Fur die Determinante und die Spur einer quadratischen m m displaystyle m times m nbsp Standardmatrix gilt entsprechend det E i j 1 falls m 1 0 sonst displaystyle operatorname det E ij begin cases 1 amp text falls m 1 0 amp text sonst end cases nbsp und spur E i j d i j displaystyle operatorname spur E ij delta ij nbsp Das charakteristische Polynom einer quadratischen Standardmatrix E i j K n n displaystyle E ij in K n times n nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp ergibt sich zu x l l n 1 l 1 falls i j l n sonst displaystyle chi lambda begin cases lambda n 1 lambda 1 amp text falls i j lambda n amp text sonst end cases nbsp Im Fall i j displaystyle i neq j nbsp ist demnach der einzige Eigenwert 0 displaystyle 0 nbsp Fur i j displaystyle i j nbsp existiert zusatzlich noch der Eigenwert 1 displaystyle 1 nbsp mit einfacher Vielfachheit und zugehorigem Eigenvektor e i displaystyle e i nbsp Verwendung BearbeitenMatrixeintrage Bearbeiten Mit Hilfe von Standardmatrizen E j i R n m displaystyle E ji in R n times m nbsp konnen auch einzelne Matrixeintrage als Spur dargestellt werden Ist A R m n displaystyle A in R m times n nbsp dann gilt A i j spur A E j i spur E j i A displaystyle A ij operatorname spur AE ji operatorname spur E ji A nbsp Fur das Produkt zweier Matrizen A R m p displaystyle A in R m times p nbsp und B R p n displaystyle B in R p times n nbsp gilt entsprechend A B i j spur B E j i A displaystyle AB ij operatorname spur BE ji A nbsp Standardbasis Bearbeiten Die Menge der Standardmatrizen uber einem gegebenen Korper E i j K m n i 1 m j 1 n displaystyle E ij in K m times n mid i 1 ldots m j 1 ldots n nbsp bildet die Standardbasis fur den Vektorraum der Matrizen Jede Matrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp lasst sich somit als Linearkombination von Standardmatrizen durch A i 1 m j 1 n a i j E i j displaystyle A sum i 1 m sum j 1 n a ij E ij nbsp mit a i j K displaystyle a ij in K nbsp darstellen So bilden die vier Standardmatrizen E 11 displaystyle E 11 nbsp E 12 displaystyle E 12 nbsp E 21 displaystyle E 21 nbsp und E 22 displaystyle E 22 nbsp die Standardbasis des Raums der 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen und man erhalt beispielsweise 2 4 3 1 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 2 E 11 4 E 12 3 E 21 1 E 22 displaystyle begin pmatrix 2 amp 4 3 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 2 amp 0 0 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 4 0 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 0 3 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 1 end pmatrix 2E 11 4E 12 3E 21 1E 22 nbsp Elementarmatrizen Bearbeiten Standardmatrizen werden auch zur Darstellung der drei Typen von Elementarmatrizen der Form R i j a I a E i j S i g I g 1 E i i T i j I E i i E j j E i j E j i displaystyle begin aligned R ij alpha amp I alpha E ij S i gamma amp I gamma 1 E ii T i j amp I E ii E jj E ij E ji end aligned nbsp mit I displaystyle I nbsp als der Einheitsmatrix und a g K displaystyle alpha gamma in K nbsp verwendet Durch Multiplikation von links mit einer solchen Elementarmatrix werden Reihenoperationen Skalierungen und Transpositionen an einer gegebenen Matrix durchgefuhrt Diese Elementarmatrizen kommen bei der Beschreibung des gaussschen Eliminationsverfahrens zur Losung linearer Gleichungssysteme zum Einsatz Literatur BearbeitenTilo Arens Frank Hettlich Christian Karpfinger Ulrich Kockelkorn Klaus Lichtenegger Hellmuth Stachel Mathematik 2 Auflage Spektrum Akademischer Verlag 2011 ISBN 3 8274 2347 3 Michael Artin Algebra Springer 1998 ISBN 3 7643 5938 2 Christian Voigt Jurgen Adamy Formelsammlung der Matrizenrechnung Oldenbourg 2007 ISBN 3 486 58350 6 Einzelnachweise Bearbeiten Voigt Adamy Formelsammlung der Matrizenrechnung S 8 Arens et al Mathematik S 508 Artin Algebra S 11 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Standardmatrix amp oldid 150521030
