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Idempotenz ist eine Bezeichnung aus der Mathematik und Informatik In der Mathematik bezeichnet man ein Objekt a displays

Idempotenz

Idempotenz ist eine Bezeichnung aus der Mathematik und Informatik. In der Mathematik bezeichnet man ein Objekt , das mit einer Verknüpfung die Eigenschaft hat, als idempotent bezüglich dieser Verknüpfung. Ein wichtiger Spezialfall sind idempotente Funktionen bezüglich der Hintereinanderausführung. Analog dazu wird in der Informatik ein Stück Programmcode, das mehrfach hintereinander ausgeführt das gleiche Ergebnis wie bei einer einzigen Ausführung liefert, als idempotent bezeichnet.

Etymologie Bearbeiten

Neologismus (sprachliche Neubildung) aus lateinisch idem → la für „derselbe“ oder „dasselbe“ und dem Substantiv Potenz („in der Mathematik: Produkt mehrerer gleicher Faktoren“), abgeleitet von lateinisch potentia → la für „Vermögen“, „Kraft“ oder „Wirksamkeit“.

Definitionen Bearbeiten

Idempotente Elemente Bearbeiten

Ein Element einer Menge heißt idempotent bezüglich einer -stelligen Verknüpfung und falls gilt:

Falls ist und die Verknüpfung (wie etwa bei der Multiplikation in Ringen üblich) in Potenzschreibweise notiert wird, schreibt sich die Bedingung als

woraus unmittelbar

folgt, was die Bezeichnung Idempotenz (lat. für gleiche Potenz) erklärt.

Erfüllt dagegen für eine einstellige Verknüpfung die Gleichung

dann ist ein Fixpunkt von

Idempotente Funktionen Bearbeiten

Man nennt eine einstellige Verknüpfung oder Funktion idempotent, wenn sie bezüglich der Komposition idempotent ist:

d. h., für alle ergibt eine zweimalige Anwendung von den gleichen Wert wie die einmalige: .

Idempotente algebraische Strukturen Bearbeiten

Sind alle Elemente einer Halbgruppe (oder allgemeiner eines Magmas) idempotent bezüglich , dann wird auch selbst idempotent genannt. Alternativ wird eine idempotente Halbgruppe auch oft als ein Band bezeichnet. Jedes kommutative Band heißt Halbverband. Man nennt eine Halbgruppe global idempotent, falls gilt:

Einen Halbring einen Fastring sowie einen Ring bezeichnet man als idempotent, falls jeweils bzw. idempotent ist. Im Gegensatz dazu ist ein Dioid ein Hemiring mit Einselement und idempotenter Addition.

Beispiele Bearbeiten

Idempotente Verknüpfungen:

  • In einem Verband sind alle Elemente idempotent bezüglich der Verknüpfungen und . D.h. es gilt stets und . Entsprechendes gilt für die Halbverbände und .
  • Absorbierende Elemente sind immer idempotent.

Idempotente Abbildungen:

Eigenschaften Bearbeiten

idempotent ist. Insbesondere ist diagonalisierbar und alle Eigenwerte von sind oder . Geometrisch können idempotente lineare Abbildungen als Projektion des Vektorraums auf einen Untervektorraum interpretiert werden.
  • Jeder idempotente Ring ist kommutativ, denn es gilt für alle
(zweite und fünfte Gleichung wegen der Idempotenz, dritte und vierte Gleichung wegen der Distributivität), also
Damit gilt auch, indem man und setzt und wiederum die Idempotenz nutzt,
Folglich ist
Insbesondere gilt auch (wegen der Idempotenz und wegen (1) mit )
Ist hingegen distributiv, so folgt daraus genau so wie bei einem idempotenten Ring die Kommutativität.

Informatik Bearbeiten

In der Informatik werden mit dem Begriff Idempotenz – je nach Kontext – zwei voneinander abweichende Definitionen verbunden:

  1. Bei imperativer Programmierung gilt ein Unterprogramm (Funktion) mit Auswirkungen als idempotent, wenn dessen mehrfache Ausführung denselben Zustand des Gesamtsystems bewirkt wie die einmalige Ausführung, oder in anderen Worten, wenn das Unterprogramm als Abbildung des Gesamtsystems auf sich selbst verstanden im mathematischen Sinne idempotent ist.
  2. Bei funktionaler Programmierung ist eine reine Funktion (Funktion ohne Nebeneffekte mit gleichen Ein- und Ausgabeparametern) idempotent, wenn sie dies im mathematischen Sinne ist.

Dies ist eine nützliche Eigenschaft, da sie bedeutet, dass eine Operation so häufig wiederholt oder erneut versucht werden kann wie notwendig, ohne unbeabsichtigte Auswirkungen zu verursachen. Bei nicht-idempotenten Operationen muss ein Algorithmus mitverfolgen, ob sie bereits ausgeführt wurden oder noch nicht.

Idempotenz wird beispielsweise von Recovery-Maßnahmen bei Datenbanken und Diensten gefordert, um Fehlertoleranz bei einem Absturz während einer Wiederanlaufphase zu gewährleisten. Undo- und Redo-Operationen müssen hier auch bei mehrfacher Hintereinanderausführung dasselbe Resultat zur Folge haben.

Rein lesende Services sind von Natur aus idempotent, da der Zustand der Daten nicht geändert wird. Jeder nicht idempotente schreibende Service kann zu einem idempotenten Service gemacht werden.

Beispiele Bearbeiten

  • Bei einem Service zum Verbuchen von Geldbeträgen ist der Aufruf einzahlen(100) nicht idempotent, da bei mehrmaligem Service-Aufruf der Betrag 100 mehrmals eingezahlt wird. Würde man hingegen neuerKontostand(600) aufrufen, so würde bei mehrmaligem Service-Aufruf der Kontostand gleich bleiben. Dieser Aufruf wäre idempotent.
  • (stabile) Sortierfunktionen sind idempotent, da einmal sortierte Daten bei erneuter Sortierung ihre Reihenfolge im Ergebnis nicht mehr verändern.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jeremy Gunawardena: An introduction to idempotency in J. Gunawardena (Hrsg.): Idempotency, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-55344-X, S. 1–49 (englisch; Vorabveröffentlichung online, PDF-Datei, 414 kB)
  • Munindar Paul Singh, Michael N. Huhns: Service-oriented Computing: Semantics, Processes, Agents. Wiley 2005, ISBN 0-470-09148-7, S. 54 (Auszug in der Google-Buchsuche)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Idempotenz. In: Wiktionary. 20. Mai 2019 (wiktionary.org [abgerufen am 21. Oktober 2022]).
  2. L. N. Shevrin: Semi-group of Idempotents. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  3. Günther Eisenreich, Ralf Sube: Langenscheidts Fachwörterbuch Mathematik. Langenscheidt 1996, ISBN 3-86117-074-4, S. 381 (Auszug in der Google-Buchsuche)
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Veröffentlichungsdatum:
Idempotenz ist eine Bezeichnung aus der Mathematik und Informatik In der Mathematik bezeichnet man ein Objekt a displaystyle a das mit einer Verknupfung displaystyle circ die Eigenschaft a a a displaystyle a circ a a hat als idempotent bezuglich dieser Verknupfung Ein wichtiger Spezialfall sind idempotente Funktionen bezuglich der Hintereinanderausfuhrung Analog dazu wird in der Informatik ein Stuck Programmcode das mehrfach hintereinander ausgefuhrt das gleiche Ergebnis wie bei einer einzigen Ausfuhrung liefert als idempotent bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Etymologie 2 Definitionen 2 1 Idempotente Elemente 2 2 Idempotente Funktionen 2 3 Idempotente algebraische Strukturen 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 Informatik 5 1 Beispiele 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseEtymologie BearbeitenNeologismus sprachliche Neubildung aus lateinisch idem la fur derselbe oder dasselbe und dem Substantiv Potenz in der Mathematik Produkt mehrerer gleicher Faktoren abgeleitet von lateinisch potentia la fur Vermogen Kraft oder Wirksamkeit 1 Definitionen BearbeitenIdempotente Elemente Bearbeiten Ein Element a displaystyle a nbsp einer Menge X displaystyle X nbsp heisst idempotent bezuglich einer n displaystyle n nbsp stelligen Verknupfung v X n X n N displaystyle v colon X n rightarrow X n in mathbb N nbsp und n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp falls gilt v a a a displaystyle v a dotsc a a nbsp Falls n 2 displaystyle n 2 nbsp ist und die Verknupfung wie etwa bei der Multiplikation in Ringen ublich in Potenzschreibweise notiert wird schreibt sich die Bedingung als a 2 a displaystyle a 2 a nbsp woraus unmittelbar a n a displaystyle a n a nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp folgt was die Bezeichnung Idempotenz lat fur gleiche Potenz erklart Erfullt dagegen a displaystyle a nbsp fur eine einstellige Verknupfung f X X displaystyle f colon X rightarrow X nbsp die Gleichung f a a displaystyle f a a nbsp dann ist a displaystyle a nbsp ein Fixpunkt von f displaystyle f nbsp Idempotente Funktionen Bearbeiten Man nennt eine einstellige Verknupfung oder Funktion f X X displaystyle f colon X rightarrow X nbsp idempotent wenn sie bezuglich der Komposition idempotent ist f f f displaystyle f circ f f nbsp d h fur alle x X displaystyle x in X nbsp ergibt eine zweimalige Anwendung von f displaystyle f nbsp den gleichen Wert wie die einmalige f f x f x displaystyle f f x f x nbsp Idempotente algebraische Strukturen Bearbeiten Sind alle Elemente einer Halbgruppe oder allgemeiner eines Magmas S displaystyle S nbsp idempotent bezuglich displaystyle nbsp dann wird auch S displaystyle S nbsp selbst idempotent genannt Alternativ wird eine idempotente Halbgruppe auch oft als ein Band bezeichnet 2 3 Jedes kommutative Band heisst Halbverband Man nennt eine Halbgruppe S displaystyle S nbsp global idempotent falls gilt S S S displaystyle S S S nbsp mit S S a b a b S displaystyle S S a b mid a b in S nbsp Einen Halbring H displaystyle H cdot nbsp einen Fastring F displaystyle F cdot nbsp sowie einen Ring R displaystyle R cdot nbsp bezeichnet man als idempotent falls jeweils H F displaystyle H cdot F cdot nbsp bzw R displaystyle R cdot nbsp idempotent ist Im Gegensatz dazu ist ein Dioid D 0 1 displaystyle D 0 cdot 1 nbsp ein Hemiring mit Einselement und idempotenter Addition Beispiele BearbeitenIdempotente Verknupfungen Bezuglich der Multiplikation sind die Losungen 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp der Gleichung x 2 x displaystyle x 2 x nbsp die einzigen idempotenten reellen Zahlen Bezuglich einer zweistelligen Verknupfung displaystyle nbsp ist ein links oder rechts neutrales Element e displaystyle e nbsp stets idempotent e e e displaystyle e e e nbsp In einer Gruppe ist das neutrale Element das einzige idempotente Element In einem Ring mit Eins sind 0 displaystyle 0 nbsp und 1 displaystyle 1 nbsp stets idempotente Elemente bezuglich der Multiplikation Falls der Ring nicht nullteilerfrei ist konnen auch noch weitere idempotente Elemente existieren Beispielsweise gilt im Restklassenring Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp 3 3 3 displaystyle bar 3 cdot bar 3 bar 3 nbsp und 4 4 4 displaystyle bar 4 cdot bar 4 bar 4 nbsp dd In einem Verband V displaystyle V vee wedge nbsp sind alle Elemente idempotent bezuglich der Verknupfungen displaystyle vee nbsp und displaystyle wedge nbsp D h es gilt stets u u u displaystyle u u vee u nbsp und u u u displaystyle u u wedge u nbsp Entsprechendes gilt fur die Halbverbande V displaystyle V vee nbsp und V displaystyle V wedge nbsp Absorbierende Elemente sind immer idempotent Idempotente Abbildungen Konstante Funktionen f x c displaystyle f colon x mapsto c nbsp Identische Abbildung id x x displaystyle operatorname id colon x mapsto x nbsp g f displaystyle g circ f nbsp wenn f g id displaystyle f circ g operatorname id nbsp Projektionen z B p x y x 0 displaystyle p colon x y mapsto x 0 nbsp Betragsfunktionen x x displaystyle cdot colon x mapsto x nbsp Hullenoperatoren Kernoperatoren Eigenschaften BearbeitenEine n n displaystyle n times n nbsp Matrix A n N displaystyle A n in mathbb N nbsp uber einem beliebigen Korper K displaystyle K nbsp ist genau dann idempotent bezuglich der ublichen Matrizenmultiplikation wenn die durch sie induzierte lineare Abbildungf A K n K n x A x displaystyle f A colon K n to K n x mapsto Ax nbsp dd idempotent ist Insbesondere ist A displaystyle A nbsp diagonalisierbar und alle Eigenwerte von A displaystyle A nbsp sind 0 displaystyle 0 nbsp oder 1 displaystyle 1 nbsp Geometrisch konnen idempotente lineare Abbildungen als Projektion des Vektorraums auf einen Untervektorraum interpretiert werden Jeder idempotente Ring R displaystyle R cdot nbsp ist kommutativ denn es gilt fur alle a b R displaystyle a b in R colon nbsp a 0 b a b a b a b a a b b a b a a a b b a b b a a b b a b displaystyle a 0 b a b a b cdot a b a cdot a b b cdot a b a cdot a a cdot b b cdot a b cdot b a a cdot b b cdot a b nbsp dd zweite und funfte Gleichung wegen der Idempotenz dritte und vierte Gleichung wegen der Distributivitat also0 a b b a 1 displaystyle 0 a cdot b b cdot a quad 1 nbsp dd Damit gilt auch indem man a a b displaystyle a leftarrow a cdot b nbsp und b a b displaystyle b leftarrow a cdot b nbsp setzt und wiederum die Idempotenz nutzt 0 a b a b a b a b a b a b displaystyle 0 a cdot b cdot a cdot b a cdot b cdot a cdot b a cdot b a cdot b nbsp dd Folglich ista b a b 0 a b a b b a 0 b a b a displaystyle a cdot b a cdot b 0 a cdot b a cdot b b cdot a 0 b cdot a b cdot a nbsp dd Insbesondere gilt auch wegen der Idempotenz und wegen 1 mit b a displaystyle b a nbsp a a a a a a 0 displaystyle a a a cdot a a cdot a 0 nbsp bzw a a displaystyle a a nbsp dd Ein idempotenter Fastring F displaystyle F cdot nbsp ist genau dann kommutativ wenn er distributiv ist denn Falls F displaystyle F cdot nbsp kommutativ ist gilt fur alle a b c F displaystyle a b c in F colon nbsp c a b a b c a c b c c a c b displaystyle c cdot a b a b cdot c a cdot c b cdot c c cdot a c cdot b nbsp dd Ist hingegen F displaystyle F cdot nbsp distributiv so folgt daraus genau so wie bei einem idempotenten Ring die Kommutativitat Informatik BearbeitenIn der Informatik werden mit dem Begriff Idempotenz je nach Kontext zwei voneinander abweichende Definitionen verbunden Bei imperativer Programmierung gilt ein Unterprogramm Funktion mit Auswirkungen als idempotent wenn dessen mehrfache Ausfuhrung denselben Zustand des Gesamtsystems bewirkt wie die einmalige Ausfuhrung oder in anderen Worten wenn das Unterprogramm als Abbildung des Gesamtsystems auf sich selbst verstanden im mathematischen Sinne idempotent ist Bei funktionaler Programmierung ist eine reine Funktion Funktion ohne Nebeneffekte mit gleichen Ein und Ausgabeparametern idempotent wenn sie dies im mathematischen Sinne ist Dies ist eine nutzliche Eigenschaft da sie bedeutet dass eine Operation so haufig wiederholt oder erneut versucht werden kann wie notwendig ohne unbeabsichtigte Auswirkungen zu verursachen Bei nicht idempotenten Operationen muss ein Algorithmus mitverfolgen ob sie bereits ausgefuhrt wurden oder noch nicht Idempotenz wird beispielsweise von Recovery Massnahmen bei Datenbanken und Diensten gefordert um Fehlertoleranz bei einem Absturz wahrend einer Wiederanlaufphase zu gewahrleisten Undo und Redo Operationen mussen hier auch bei mehrfacher Hintereinanderausfuhrung dasselbe Resultat zur Folge haben Rein lesende Services sind von Natur aus idempotent da der Zustand der Daten nicht geandert wird Jeder nicht idempotente schreibende Service kann zu einem idempotenten Service gemacht werden Beispiele Bearbeiten Bei einem Service zum Verbuchen von Geldbetragen ist der Aufruf einzahlen 100 nicht idempotent da bei mehrmaligem Service Aufruf der Betrag 100 mehrmals eingezahlt wird Wurde man hingegen neuerKontostand 600 aufrufen so wurde bei mehrmaligem Service Aufruf der Kontostand gleich bleiben Dieser Aufruf ware idempotent stabile Sortierfunktionen sind idempotent da einmal sortierte Daten bei erneuter Sortierung ihre Reihenfolge im Ergebnis nicht mehr verandern Siehe auch BearbeitenNilpotenz Involution Mathematik Literatur BearbeitenJeremy Gunawardena An introduction to idempotency in J Gunawardena Hrsg Idempotency Cambridge University Press 1998 ISBN 0 521 55344 X S 1 49 englisch Vorabveroffentlichung online PDF Datei 414 kB Munindar Paul Singh Michael N Huhns Service oriented Computing Semantics Processes Agents Wiley 2005 ISBN 0 470 09148 7 S 54 Auszug in der Google Buchsuche Einzelnachweise Bearbeiten Idempotenz In Wiktionary 20 Mai 2019 wiktionary org abgerufen am 21 Oktober 2022 L N Shevrin Semi group of Idempotents In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Gunther Eisenreich Ralf Sube Langenscheidts Fachworterbuch Mathematik Langenscheidt 1996 ISBN 3 86117 074 4 S 381 Auszug in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w 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