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Halbring algebraische Struktur Halbringberührt die SpezialgebieteMathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheor

Halbring (algebraische Struktur)

Halbring

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

  • Links-Halbring

umfasst als Spezialfälle

Ein Halbring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr eine kommutative Gruppe, sondern nur noch eine kommutative Halbgruppe sein muss.

Halbringe werden ebenso mit nicht kommutativer Addition sowie mit (absorbierender) und/oder definiert, die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich.

Definitionen Bearbeiten

Halbring Bearbeiten

Ein Halbring (engl.: Semiring) ist eine algebraische Struktur mit einer (nichtleeren) Menge und mit zwei zweistelligen Verknüpfungen (Addition) und (Multiplikation), für die gilt:

  1. ist eine kommutative Halbgruppe.
  2. ist eine Halbgruppe.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle gilt

Ist auch kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Halbring.

Nullelement Bearbeiten

Besitzt ein Halbring ein neutrales Element bezüglich der Addition, d. h.

so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes.

Die Null eines Halbringes heißt absorbierend (bezüglich der Multiplikation), falls

Ein Halbring mit einer absorbierenden Null heißt auch Hemiring.

Einselement Bearbeiten

Wenn ein Halbring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation enthält, also

dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes.

Ein Hemiring mit einer Eins heißt auch Bewertungshalbring.

Dioid Bearbeiten

Ein Hemiring mit Eins und idempotenter Addition wird als Dioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind und u. a. Monoide.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • François Baccelli, Guy Cohen, Geert J. Olsder, Jean-Pierre Quadrat: Synchronization and Linearity (online version). Wiley, New York 1992, ISBN 0-471-93609-X.
  • Jonathan S. Golan: Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science. Longman Sci. Tech., Harlow 1992 [3]. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1999. ISBN 0-7923-5786-8 [4].
  • Udo Hebisch, Hanns J. Weinert: Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.

Anmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Man sagt auch: distribuiert über .
  2. D. R. La Torre: On h-ideals and k-ideals in hemirings. Publ. Math. Debrecen 12, 219–226 (1965) [1] [2].
  3. Hebisch, Weinert; S. 257

Weblinks Bearbeiten

  • (PDF; 252 kB)
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Veröffentlichungsdatum:
Halbringberuhrt die SpezialgebieteMathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheorieist Spezialfall vonLinks Halbringumfasst als SpezialfalleBoolesche Algebra Dioid m E siehe links Halbkorper displaystyle naturliche Zahlen displaystyle cdot RingEin Halbring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes in der die Addition nicht mehr eine kommutative Gruppe sondern nur noch eine kommutative Halbgruppe sein muss Halbringe werden ebenso mit nicht kommutativer Addition sowie mit absorbierender 0 displaystyle 0 und oder 1 displaystyle 1 definiert die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Halbring 1 2 Nullelement 1 3 Einselement 1 4 Dioid 2 Beispiele 3 Literatur 4 Anmerkungen und Einzelnachweise 5 WeblinksDefinitionen BearbeitenHalbring Bearbeiten Ein Halbring engl Semiring ist eine algebraische Struktur H displaystyle H cdot nbsp mit einer nichtleeren Menge H displaystyle H nbsp und mit zwei zweistelligen Verknupfungen H H H displaystyle colon H times H to H nbsp Addition und H H H displaystyle cdot colon H times H to H nbsp Multiplikation fur die gilt H displaystyle H nbsp ist eine kommutative Halbgruppe H displaystyle H cdot nbsp ist eine Halbgruppe Es gelten die Distributivgesetze d h fur alle a b c H displaystyle a b c in H nbsp gilt a b c a c b c displaystyle a b cdot c a cdot c b cdot c nbsp sowie c a b c a c b displaystyle c cdot a b c cdot a c cdot b nbsp 1 dd Ist auch H displaystyle H cdot nbsp kommutativ so spricht man von einem kommutativen Halbring Nullelement Bearbeiten Besitzt ein Halbring H displaystyle H cdot nbsp ein neutrales Element 0 H displaystyle 0 in H nbsp bezuglich der Addition d h 0 a a 0 a displaystyle 0 a a 0 a nbsp fur alle a H displaystyle a in H nbsp so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes Die Null 0 displaystyle 0 nbsp eines Halbringes heisst absorbierend bezuglich der Multiplikation falls 0 a a 0 0 displaystyle 0 cdot a a cdot 0 0 nbsp fur alle a H displaystyle a in H nbsp Ein Halbring H 0 displaystyle H 0 cdot nbsp mit einer absorbierenden Null heisst auch Hemiring 2 Einselement Bearbeiten Wenn ein Halbring ein neutrales Element 1 H displaystyle 1 in H nbsp bezuglich der Multiplikation enthalt also 1 a a 1 a displaystyle 1 cdot a a cdot 1 a nbsp fur alle a H displaystyle a in H nbsp dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes Ein Hemiring H 0 1 displaystyle H 0 cdot 1 nbsp mit einer Eins 1 0 displaystyle 1 neq 0 nbsp heisst auch Bewertungshalbring 3 Dioid Bearbeiten Ein Hemiring D 0 1 displaystyle D 0 cdot 1 nbsp mit Eins und idempotenter Addition wird als Dioid bezeichnet d h bei einem Dioid sind D 0 displaystyle D 0 nbsp und D 1 displaystyle D cdot 1 nbsp u a Monoide Beispiele Bearbeiten N 0 1 displaystyle mathbb N 0 cdot 1 nbsp Q 0 1 displaystyle mathbb Q 0 cdot 1 nbsp ist sogar ein Halbkorper R min 0 displaystyle mathbb R cup infty operatorname min infty 0 nbsp die sogenannte Min Plus Algebra Fur jede Menge X displaystyle X nbsp ist die Potenzmenge P X X displaystyle mathcal P X cup emptyset cap X nbsp ein Halbring Allgemeiner ist jede Boolesche Algebra ein Halbring Literatur BearbeitenFrancois Baccelli Guy Cohen Geert J Olsder Jean Pierre Quadrat Synchronization and Linearity online version Wiley New York 1992 ISBN 0 471 93609 X Jonathan S Golan Semirings and their applications Updated and expanded version of The theory of semirings with applications to mathematics and theoretical computer science Longman Sci Tech Harlow 1992 3 Kluwer Academic Publishers Dordrecht 1999 ISBN 0 7923 5786 8 4 Udo Hebisch Hanns J Weinert Halbringe Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik Teubner Stuttgart 1993 ISBN 3 519 02091 2 Anmerkungen und Einzelnachweise Bearbeiten Man sagt auch displaystyle cdot nbsp distribuiert uber displaystyle nbsp D R La Torre On h ideals and k ideals in hemirings Publ Math Debrecen 12 219 226 1965 1 2 Hebisch Weinert S 257Weblinks BearbeitenFun with Semirings PDF 252 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Halbring algebraische Struktur amp oldid 223698783