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Fastring Ein ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes in der die Addition nic

Fastring

Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.

Definitionen Bearbeiten

Fastring Bearbeiten

Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition und Multiplikation für die gilt:

  1. ist eine Gruppe.
  2. ist eine Halbgruppe.
  3. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gültig: für alle

wird hingegen ein Linksfastring genannt, wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes

Erfüllt ein Fastring beide Distributivgesetze, so heißt er distributiver Fastring, ist also Rechts- und Linksfastring.

Man nennt einen Fastring , bei dem die additive Gruppe kommutativ ist, abelsch. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen als kommutativ. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.

Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen für alle geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im Folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.

Definiert man auf einem Fastring eine zweistellige Verknüpfung Subtraktion gemäß

so gilt auch für diese wegen

Analog gilt für einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion.

Nullelement Bearbeiten

Jeder Fastring besitzt gemäß der Definition ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition, d. h.

Dieses heißt das Nullelement oder kurz die Null des Rechts- bzw. Linksfastringes. Es ist bei einem (Rechts-)Fastring bezüglich der Multiplikation linksabsorbierend:

und bei einem Linksfastring rechtsabsorbierend, jedoch ist die Null im Allgemeinen nicht beidseitig absorbierend.

Einselement Bearbeiten

Hat ein Fastring auch ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation,

so nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Fastringes.

Fastkörper Bearbeiten

Bildet außerdem eine Gruppe, dann heißt der Fastring Fastkörper. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann abelsch ist.

Halbfastring Bearbeiten

Die Definition eines Fastrings lässt sich noch zu einem Halbfastring verallgemeinern, in dem an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:

      1.′    ist eine Halbgruppe.

Beispiele Bearbeiten

  • Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa eine Gruppe und bezeichne die Menge aller Funktionen , dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf durch
  • Ist eine Gruppe und eine Untergruppe der Automorphismengruppe von , die scharf-transitiv auf operiert, d. h. für zwei Elemente gibt es genau ein mit , dann kann man wie folgt eine Operation auf definieren: Man wählt ein festes Element . Sind , so gibt es eindeutig bestimmte Elemente mit und . Man definiert dann , ferner setzt man für alle . Dann ist ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu ist. Das rechtsseitige Distributivitätsgesetz ist wegen für alle erfüllt. Ist , so enthält die Automorphismengruppe von eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf . So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.
  • Die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen bildet mit der Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation einen Links-Halb-Fastring, d. h. die Addition bildet keine Gruppe, sondern nur ein (nicht kommutatives) Monoid und es gilt nur das linke Distributivgesetz.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jeder Fastring hat einen 0-symmetrischen Teil und einen konstanten Teil so dass gilt.

Siehe auch Bearbeiten

Anmerkungen Bearbeiten

  1. muss nicht kommutativ sein!

Literatur Bearbeiten

  • Gerhard Betsch (Hrsg.): Near-rings and near-fields. North-Holland, Amsterdam 1987, ISBN 0-444-70191-5.
  • James R. Clay: Nearrings. Geneses and applications. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-853398-5.
  • John D. P. Meldrum: Near-rings and their links with groups. Pitman, Boston 1985, ISBN 0-273-08701-0.
  • Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977, ISBN 0-7204-0566-1 (Rev. ed. 1983).
  • Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.
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Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Fastring 1 2 Nullelement 1 3 Einselement 1 4 Fastkorper 1 5 Halbfastring 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Anmerkungen 6 LiteraturDefinitionen BearbeitenFastring Bearbeiten Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur F displaystyle F cdot nbsp mit zwei zweistelligen Verknupfungen Addition displaystyle nbsp und Multiplikation displaystyle cdot nbsp fur die gilt F displaystyle F nbsp ist eine Gruppe 1 F displaystyle F cdot nbsp ist eine Halbgruppe Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gultig a b c a c b c displaystyle a b cdot c a cdot c b cdot c nbsp fur alle a b c F displaystyle a b c in F nbsp F displaystyle F cdot nbsp wird hingegen ein Linksfastring genannt wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes 3 das linksseitige Distributivgesetz gultig ist c a b c a c b displaystyle c cdot a b c cdot a c cdot b nbsp fur alle a b c F displaystyle a b c in F nbsp Erfullt ein Fastring beide Distributivgesetze so heisst er distributiver Fastring ist also Rechts und Linksfastring Man nennt einen Fastring F displaystyle F cdot nbsp bei dem die additive Gruppe F displaystyle F nbsp kommutativ ist abelsch Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe F displaystyle F cdot nbsp kommutativ ist dann bezeichnet man dagegen F displaystyle F cdot nbsp als kommutativ Kommutative Fastringe sind stets distributiv Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen a b a b displaystyle ab a cdot b nbsp fur alle a b F displaystyle a b in F nbsp geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie ublich im Folgenden die Multiplikation stets starker als die Addition Definiert man auf einem Fastring F displaystyle F cdot nbsp eine zweistellige Verknupfung Subtraktion displaystyle nbsp gemass a b a b displaystyle a b a b nbsp fur alle a b F displaystyle a b in F nbsp so gilt auch fur diese wegen a b c b c a b b c a 0 c 0 a c b c b c displaystyle a b c bc a b b c a 0 c 0 ac bc bc nbsp das rechtsseitige Distributivgesetz a b c a c b c displaystyle a b cdot c a cdot c b cdot c nbsp fur alle a b c F displaystyle a b c in F nbsp Analog gilt fur einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion Nullelement Bearbeiten Jeder Fastring F displaystyle F cdot nbsp besitzt gemass der Definition ein neutrales Element 0 bezuglich der Addition d h 0 a a 0 a displaystyle 0 a a 0 a nbsp fur alle a F displaystyle a in F nbsp Dieses heisst das Nullelement oder kurz die Null des Rechts bzw Linksfastringes Es ist bei einem Rechts Fastring bezuglich der Multiplikation linksabsorbierend 0 a a a a a a a a 0 displaystyle 0 cdot a a a a aa aa 0 nbsp fur alle a F displaystyle a in F nbsp und bei einem Linksfastring rechtsabsorbierend jedoch ist die Null im Allgemeinen nicht beidseitig absorbierend Einselement Bearbeiten Hat ein Fastring F displaystyle F cdot nbsp auch ein neutrales Element 1 bezuglich der Multiplikation 1 a a 1 a displaystyle 1 cdot a a cdot 1 a nbsp fur alle a F displaystyle a in F nbsp so nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Fastringes Fastkorper Bearbeiten Hauptartikel Fastkorper Bildet ausserdem F 0 displaystyle F setminus 0 cdot nbsp eine Gruppe dann heisst der Fastring F displaystyle F cdot nbsp Fastkorper Es lasst sich zeigen dass die additive Gruppe dann abelsch ist Halbfastring Bearbeiten Die Definition eines Fastrings lasst sich noch zu einem Halbfastring F displaystyle F cdot nbsp verallgemeinern in dem an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird 1 F displaystyle F nbsp ist eine Halbgruppe Beispiele BearbeitenTypische Beispiele fur Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen Sei etwa G displaystyle G nbsp eine Gruppe und G G displaystyle G G nbsp bezeichne die Menge aller Funktionen f G G displaystyle f colon G to G nbsp dann ubertragt sich die Gruppenstruktur auf G G displaystyle G G nbsp durch f g x f x g x displaystyle f g x f x g x nbsp fur alle x G displaystyle x in G nbsp Ausserdem bildet G G displaystyle G G nbsp mittels der Komposition displaystyle circ nbsp ein Monoid so dass dann G G displaystyle left G G circ right nbsp ein Fastring mit Eins id G displaystyle operatorname id G nbsp ist da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfullt ist f g h x f g h x f h x g h x f h x g h x f h g h x displaystyle f g circ h x f g left h x right f left h x right g left h x right f circ h x g circ h x f circ h g circ h x nbsp fur alle x G displaystyle x in G nbsp Ist F 0 displaystyle F 0 nbsp eine Gruppe und A displaystyle A nbsp eine Untergruppe der Automorphismengruppe von F displaystyle F nbsp die scharf transitiv auf F 0 displaystyle F setminus 0 nbsp operiert d h fur zwei Elemente x y F 0 displaystyle x y in F setminus 0 nbsp gibt es genau ein g A displaystyle g in A nbsp mit g x y displaystyle g x y nbsp dann kann man wie folgt eine Operation displaystyle circ nbsp auf F displaystyle F nbsp definieren Man wahlt ein festes Element e F 0 displaystyle e in F setminus 0 nbsp Sind a b F 0 displaystyle a b in F setminus 0 nbsp so gibt es eindeutig bestimmte Elemente g h A displaystyle g h in A nbsp mit g e a displaystyle g e a nbsp und h e b displaystyle h e b nbsp Man definiert dann a b g h e displaystyle a circ b g h e nbsp ferner setzt man 0 a a 0 0 displaystyle 0 circ a a circ 0 0 nbsp fur alle a F displaystyle a in F nbsp Dann ist F 0 e displaystyle F circ 0 e nbsp ein Fastkorper dessen multiplikative Gruppe isomorph zu A displaystyle A nbsp ist Das rechtsseitige Distributivitatsgesetz ist wegen g h e k e g h e g k e displaystyle g h e k e g h e g k e nbsp fur alle g h k A displaystyle g h k in A nbsp erfullt Ist F Z 3 2 displaystyle F Z 3 2 nbsp so enthalt die Automorphismengruppe von F displaystyle F nbsp eine Untergruppe die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist Diese Gruppe operiert scharf transitiv auf F 0 displaystyle F setminus 0 nbsp So erhalt man ein minimales Beispiel fur einen Fastkorper der kein Korper ist Die Menge aller abzahlbaren Ordinalzahlen bildet mit der Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation einen Links Halb Fastring d h die Addition bildet keine Gruppe sondern nur ein nicht kommutatives Monoid und es gilt nur das linke Distributivgesetz Eigenschaften BearbeitenJeder Fastring F displaystyle F cdot nbsp hat einen 0 symmetrischen Teil F 0 a F a 0 0 displaystyle F 0 a in F mid a cdot 0 0 nbsp und einen konstanten Teil F c a F a 0 a displaystyle F c a in F mid a cdot 0 a nbsp so dass F 0 F c 0 displaystyle F 0 cap F c 0 nbsp gilt Siehe auch BearbeitenKorper Algebra Schiefkorper Halbring Algebraische Struktur Anmerkungen Bearbeiten F displaystyle F nbsp muss nicht kommutativ sein Literatur BearbeitenGerhard Betsch Hrsg Near rings and near fields North Holland Amsterdam 1987 ISBN 0 444 70191 5 James R Clay Nearrings Geneses and applications Oxford University Press Oxford 1992 ISBN 0 19 853398 5 John D P Meldrum Near rings and their links with groups Pitman Boston 1985 ISBN 0 273 08701 0 Gunter Pilz Near Rings North Holland Amsterdam New York Oxford 1977 ISBN 0 7204 0566 1 Rev ed 1983 Heinz Wahling Theorie der Fastkorper Thales Verlag 1987 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fastring amp oldid 234984691