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Weyl Gleichung Die der Teilchenphysik benannt nach Hermann Weyl ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1

Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung Bearbeiten

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

Die 2er-Spinoren und sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse gekoppelt:

Hierbei ist und , wobei die drei Pauli-Matrizen sind und die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse (), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

Bei physikalischen Experimenten, bei denen die schwache Kernkraft beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall das Neutrino und das rechtshändige Antineutrino.

Chirale Kopplung Bearbeiten

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt wird:

Dabei bezeichnen

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

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Die Weyl Gleichung der Teilchenphysik benannt nach Hermann Weyl ist die Diracgleichung fur masselose Teilchen mit Spin 1 2 Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet Entsprechend heissen Fermionen die diese Gleichung erfullen Weyl Fermionen Herleitung BearbeitenDie Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac Spinoren ist reduzibel In einer geeigneten Darstellung der Dirac Matrizen der Weyl Darstellung transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er Spinoren getrennt weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden PS PS L PS R displaystyle Psi begin pmatrix Psi L Psi R end pmatrix nbsp Die 2er Spinoren PS L displaystyle Psi L nbsp und PS R displaystyle Psi R nbsp sind die links und rechtshandigen Weyl Spinoren Sie sind die Eigenzustande des Chiralitatsoperators g 5 displaystyle gamma 5 nbsp wenn man ihn in der Weyl Darstellung schreibt g 5 PS L 0 PS L 0 g 5 0 PS R 0 PS R displaystyle begin aligned gamma 5 begin pmatrix Psi L 0 end pmatrix amp begin pmatrix Psi L 0 end pmatrix gamma 5 begin pmatrix 0 Psi R end pmatrix amp begin pmatrix 0 Psi R end pmatrix end aligned nbsp Sie werden in der Diracgleichung fur ein freies Spin 1 2 Teilchen durch die Masse m displaystyle m nbsp gekoppelt i g m m m PS m i s m m i s m m m PS L PS R 0 displaystyle left mathrm i gamma mu partial mu m right Psi begin pmatrix m amp mathrm i sigma mu partial mu mathrm i bar sigma mu partial mu amp m end pmatrix begin pmatrix Psi L Psi R end pmatrix 0 nbsp Hierbei ist s m s 0 s displaystyle sigma mu begin pmatrix sigma 0 amp vec sigma end pmatrix nbsp und s m s 0 s displaystyle bar sigma mu begin pmatrix sigma 0 amp vec sigma end pmatrix nbsp wobei s displaystyle vec sigma nbsp die drei Pauli Matrizen sind und s 0 displaystyle sigma 0 nbsp die zweidimensionale Einheitsmatrix Verschwindet die Masse m 0 displaystyle m 0 nbsp entkoppelt die vierdimensionale Dirac Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen fur den links und den rechtshandigen Spinor i s m m PS R 0 i s m m PS L 0 displaystyle begin aligned mathrm i sigma mu partial mu Psi R amp 0 mathrm i bar sigma mu partial mu Psi L amp 0 end aligned nbsp Bei physikalischen Experimenten bei denen die schwache Kernkraft beteiligt ist kann man Neutrinos oft in sehr guter Naherung als Weyl Fermionen beschreiben Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshandige Teilchen mit negativer Helizitat beobachtet werden beschreibt in diesem Fall PS L displaystyle Psi L nbsp das Neutrino und PS R displaystyle Psi R nbsp das rechtshandige Antineutrino Chirale Kopplung BearbeitenBei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links und rechtshandige Spinoren unterschiedlich aber Lorentz kovariant an Vektorfelder gekoppelt Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet Sie entsteht indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt wird D m m i g T a W m a displaystyle D mu partial mu mathrm i gT a W mu a nbsp Dabei bezeichnen g displaystyle g nbsp die Kopplungskonstante T a displaystyle T a nbsp die Generatoren der Lie Algebra der Eichgruppe und W m a displaystyle W mu a nbsp die Komponenten der Eichfelder Die Eichgruppe kann fur links und rechtshandige Teilchen verschieden gewahlt werden ohne dass die Lorenz Kovarianz dadurch beeintrachtigt wird Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weyl Gleichung amp oldid 225527089