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Dirac Spinor Ein ist ein Begriff aus der Mathematik der nach Paul Dirac benannt ist en sind ein Elemente der fundamental

Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung der komplexifizierten Clifford-Algebra und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren. Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, das heißt jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion Bearbeiten

Sei . Die komplexifizierte Clifford-Algebra ist isomorph zur Matrizenalgebra falls gerade ist, oder isomorph zu falls ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische -dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen mit existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In ungeraden Dimensionen ist diese Darstellung, als Darstellung von betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension zerlegt werden: .

Anwendung in der Elementarteilchenphysik Bearbeiten

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu , dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung.

Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren. In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Literatur Bearbeiten

  • Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
  • Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch).
  • Pierre Ramond: Field Theory. A Modern Primer. Addison-Wesley, 1990, ISBN 978-0-201-54611-8 (englisch).
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Ein Dirac Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik der nach Paul Dirac benannt ist Dirac Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung D displaystyle Delta der komplexifizierten Clifford Algebra C l i f f p q displaystyle mathrm Cliff p q und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren Sie sind ein nutzliches Konzept der Quantenphysik Haufig als Dirac Spinoren bezeichnet werden auch Losungen der Dirac Gleichung Diese sind Dirac Spinorfelder das heisst jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac Spinor zugeordnet Mathematische Konstruktion BearbeitenSei n p q displaystyle n p q nbsp Die komplexifizierte Clifford Algebra C l i f f p q displaystyle mathrm Cliff p q nbsp ist isomorph zur Matrizenalgebra M a t 2 k C displaystyle Mat 2 k mathbb C nbsp falls n 2 k displaystyle n 2k nbsp gerade ist oder isomorph zu M a t 2 k 1 C M a t 2 k 1 C displaystyle Mat 2 k 1 mathbb C oplus Mat 2 k 1 mathbb C nbsp falls n 2 k 1 displaystyle n 2k 1 nbsp ungerade ist In jedem Fall hat sie eine kanonische 2 k displaystyle 2 k nbsp dimensionale Darstellung die also fur alle Signaturen p q displaystyle p q nbsp mit n p q displaystyle n p q nbsp existiert und auch eine Darstellung der Spin Gruppe S p i n p q displaystyle mathrm Spin p q nbsp ist Diese Darstellung heisst Spinor Darstellung die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac Spinoren bezeichnet In ungeraden Dimensionen n displaystyle n nbsp ist diese Darstellung als Darstellung von S p i n p q displaystyle mathrm Spin p q nbsp betrachtet reduzibel Sie kann in zwei sogenannte Weyl Spinoren der Dimension 2 k 1 displaystyle 2 k 1 nbsp zerlegt werden D D D displaystyle Delta Delta oplus Delta nbsp Anwendung in der Elementarteilchenphysik BearbeitenDirac Spinoren in 3 1 Raum Zeit Dimensionen also zu C l i f f 3 1 displaystyle mathrm Cliff 3 1 nbsp dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1 2 Zu diesen Dirac Fermionen gehoren im Standardmodell der Teilchenphysik samtliche fundamentalen Fermionen In diesem Fall sind die Dirac Spinoren vierdimensional gehoren zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Losungen der Dirac Gleichung Majorana Fermionen wurden dagegen bisher nicht gefunden aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren In Stringtheorien und Branentheorien werden auch Dirac Spinoren in hoheren Dimensionen betrachtet Literatur BearbeitenThomas Friedrich Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie Vieweg Verlag ISBN 978 3 528 06926 1 Michael E Peskin Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Addison Wesley 1995 ISBN 978 0 201 50397 5 englisch Pierre Ramond Field Theory A Modern Primer Addison Wesley 1990 ISBN 978 0 201 54611 8 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirac Spinor amp oldid 190566725