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Matrizenring Der Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Größ

Matrizenring

Der Matrizenring, Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem weiteren, zugrunde liegenden Ring. Die additive und die multiplikative Verknüpfung im Matrizenring sind die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation. Das neutrale Element im Matrizenring ist die Nullmatrix und das Einselement die Einheitsmatrix. Der Matrizenring ist Morita-äquivalent zu seinem zugrunde liegenden Ring und erbt daher viele seiner Eigenschaften. Allerdings ist der Matrizenring im Allgemeinen nicht kommutativ, selbst wenn der zugrunde liegende Ring kommutativ sein sollte.

Der Matrizenring besitzt in der Ringtheorie eine besondere Bedeutung, da jeder Endomorphismenring eines freien Moduls mit endlicher Basis isomorph zu einem Matrizenring ist. Viele Ringe lassen sich somit als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings.

Definition Bearbeiten

Ist ein unitärer Ring, dann bildet die Menge der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus diesem Ring

zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation als zweistelligen Verknüpfungen wiederum einen unitären Ring

der Ring der Matrizen über oder kurz Matrizenring genannt wird. Die Addition und die Multiplikation im Matrizenring und im zugrunde liegenden Ring werden dabei üblicherweise durch die gleichen Symbole dargestellt. Der Matrizenring wird auch als , oder notiert.

Beispiel Bearbeiten

Ein einfaches Beispiel für einen Matrizenring ist die Menge der -Matrizen mit der Matrizenaddition

und der Matrizenmultiplikation

Als Ergebnis erhält man jeweils wieder eine -Matrix.

Eigenschaften Bearbeiten

Ringaxiome Bearbeiten

Die Menge der quadratischen Matrizen erfüllt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome:

wobei das neutrale Element von ist.
wobei das Einselement von ist. Um Trivialfälle auszuschließen, wird im Weiteren angenommen.

Nullteiler Bearbeiten

Die Nullmatrix ist im Matrizenring ein absorbierendes Element, das heißt für alle Matrizen gilt

Der Matrizenring ist für nicht nullteilerfrei, denn aus folgt nicht notwendigerweise oder . So gilt beispielsweise

Der Matrizenring ist demnach für kein Integritätsring. Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus folgt nicht notwendigerweise .

Nichtkommutativität Bearbeiten

Der Matrizenring ist für nicht kommutativ, selbst wenn kommutativ sein sollte, denn es gilt beispielsweise

Der Matrizenring ist genau dann kommutativ, wenn ist und kommutativ ist.

Das Zentrum des Matrizenrings, also die Menge der Elemente, die mit allen anderen kommutieren, ist

wobei das Zentrum von ist.

Isomorphien Bearbeiten

Der Matrizenring ist isomorph zum Ring der Endomorphismen (Selbstabbildungen) des freien Moduls , also

Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausführung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation. Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung.

Ein unitärer Ring ist genau dann isomorph zum Matrizenring , wenn es eine Menge von Elementen , , gibt, sodass

sowie

gelten und wenn der Zentralisator dieser Elemente in isomorph zu ist.

Kenngrößen Bearbeiten

Determinante Bearbeiten

Ist kommutativ, dann wird die Determinante einer Matrix als normierte alternierende Multilinearform definiert. Die Determinante einer Matrix kann dann über die Leibniz-Formel

ermittelt werden, wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe vom Grad läuft und das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet. Für die Determinante des Produkts zweier Matrizen gilt der Determinantenproduktsatz

Rang Bearbeiten

Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in dem freien Modul definiert. Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilenvektoren. Ist kommutativ, dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang überein und man spricht von dem Rang der Matrix, wobei

gilt. Für den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann

Unterstrukturen Bearbeiten

Unterringe Bearbeiten

Die quadratischen Matrizen mit Einträgen aus einem Untering von bilden ebenfalls einen Unterring im Matrizenring . Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf. Beispielsweise werden strukturelle Unterringe gebildet durch:

  • die Menge der Diagonalmatrizen; dieser Unterring ist kommutativ, falls kommutativ ist
  • die Menge der (strikt) oberen oder (strikt) unteren Dreiecksmatrizen
  • die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen
  • die Menge der Matrizen, bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleinträge besitzen

Viele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren. Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings. Diese Unterringe werden gelegentlich auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt.

Einheiten Bearbeiten

Die Einheitengruppe im Matrizenring ist die allgemeine lineare Gruppe bestehend aus den regulären Matrizen. Für die Inverse des Produkts zweier regulärer Matrizen gilt

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls bilden. Ist kommutativ, dann existiert zu jeder Matrix eine Adjunkte , sodass

gilt. In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix äquivalent zur Invertierbarkeit ihrer Determinante in .

Ideale Bearbeiten

Die Ideale im Matrizenring sind gerade durch gegeben, wobei ein Ideal von ist. Die Faktorringe des Matrizenrings werden damit durch

charakterisiert.

Matrizenalgebra Bearbeiten

Ist speziell ein Körper oder Schiefkörper, dann ist der Matrizenring einfach, das heißt, er besitzt nur den Nullring und den ganzen Ring als triviale Ideale. Nach dem Satz von Artin-Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Mit der komponentenweisen Skalarmultiplikation bildet der Matrizenring eine assoziative Algebra.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Michael Artin: Algebra. Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2.
  • Paul Cohn: An Introduction to Ring Theory. Springer, 2000, ISBN 1-85233-206-9.
  • Serge Lang: Algebra. 3. Auflage. Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ D.A. Suprunenko: Matrix ring. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. O.A. Ivanova: Rank. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Matrizenring Matrixring oder Ring der Matrizen ist in der Mathematik der Ring der quadratischen Matrizen fester Grosse mit Eintragen aus einem weiteren zugrunde liegenden Ring Die additive und die multiplikative Verknupfung im Matrizenring sind die Matrizenaddition und die Matrizenmultiplikation Das neutrale Element im Matrizenring ist die Nullmatrix und das Einselement die Einheitsmatrix Der Matrizenring ist Morita aquivalent zu seinem zugrunde liegenden Ring und erbt daher viele seiner Eigenschaften Allerdings ist der Matrizenring im Allgemeinen nicht kommutativ selbst wenn der zugrunde liegende Ring kommutativ sein sollte Der Matrizenring besitzt in der Ringtheorie eine besondere Bedeutung da jeder Endomorphismenring eines freien Moduls mit endlicher Basis isomorph zu einem Matrizenring ist Viele Ringe lassen sich somit als Unterring eines Matrizenrings realisieren Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 3 1 Ringaxiome 3 2 Nullteiler 3 3 Nichtkommutativitat 3 4 Isomorphien 4 Kenngrossen 4 1 Determinante 4 2 Rang 5 Unterstrukturen 5 1 Unterringe 5 2 Einheiten 5 3 Ideale 6 Matrizenalgebra 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Einzelnachweise 10 WeblinksDefinition BearbeitenIst R displaystyle R cdot nbsp ein unitarer Ring dann bildet die Menge der quadratischen Matrizen mit Eintragen aus diesem Ring R n n r i j r i j R f u r i j 1 n displaystyle R n times n r ij mid r ij in R mathrm f ddot u r i j 1 dotsc n nbsp zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation als zweistelligen Verknupfungen wiederum einen unitaren Ring R n n displaystyle R n times n cdot nbsp der Ring der Matrizen uber R displaystyle R nbsp oder kurz Matrizenring genannt wird Die Addition und die Multiplikation im Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp und im zugrunde liegenden Ring R displaystyle R nbsp werden dabei ublicherweise durch die gleichen Symbole dargestellt Der Matrizenring wird auch als M n R displaystyle M n R nbsp Mat n R displaystyle operatorname Mat n R nbsp oder R n displaystyle R n nbsp notiert 1 Beispiel BearbeitenEin einfaches Beispiel fur einen Matrizenring ist die Menge der 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen mit der Matrizenaddition a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 a 11 b 11 a 12 b 12 a 21 b 21 a 22 b 22 displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 a 21 amp a 22 end pmatrix begin pmatrix b 11 amp b 12 b 21 amp b 22 end pmatrix begin pmatrix a 11 b 11 amp a 12 b 12 a 21 b 21 amp a 22 b 22 end pmatrix nbsp und der Matrizenmultiplikation a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 a 11 b 11 a 12 b 21 a 11 b 12 a 12 b 22 a 21 b 11 a 22 b 21 a 21 b 12 a 22 b 22 displaystyle begin pmatrix a 11 amp a 12 a 21 amp a 22 end pmatrix cdot begin pmatrix b 11 amp b 12 b 21 amp b 22 end pmatrix begin pmatrix a 11 cdot b 11 a 12 cdot b 21 amp a 11 cdot b 12 a 12 cdot b 22 a 21 cdot b 11 a 22 cdot b 21 amp a 21 cdot b 12 a 22 cdot b 22 end pmatrix nbsp Als Ergebnis erhalt man jeweils wieder eine 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix Eigenschaften BearbeitenRingaxiome Bearbeiten Die Menge der quadratischen Matrizen erfullt mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation die Ringaxiome Sie bildet mit der Matrizenaddition eine kommutative Gruppe nachdem R displaystyle R nbsp eine kommutative Gruppe ist Sie bildet mit der Matrizenmultiplikation eine Halbgruppe aufgrund der Assoziativitat der Matrizenmultiplikation Die Distributivgesetze gelten aufgrund der Distributivitat der Matrizenmultiplikation mit der Matrizenaddition Das neutrale Element bezuglich der Addition im Matrizenring ist die Nullmatrix0 0 0 0 0 displaystyle 0 begin pmatrix 0 amp cdots amp 0 vdots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 0 end pmatrix nbsp dd wobei 0 displaystyle 0 nbsp das neutrale Element von R displaystyle R nbsp ist Das Einselement im Matrizenring ist die EinheitsmatrixI 1 0 0 0 0 0 0 1 displaystyle I begin pmatrix 1 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp ddots amp ddots amp 0 0 amp cdots amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp dd wobei 1 displaystyle 1 nbsp das Einselement von R displaystyle R nbsp ist Um Trivialfalle auszuschliessen wird im Weiteren 1 0 displaystyle 1 neq 0 nbsp angenommen Nullteiler Bearbeiten Die Nullmatrix ist im Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp ein absorbierendes Element das heisst fur alle Matrizen A R n n displaystyle A in R n times n nbsp gilt A 0 0 A 0 displaystyle A cdot 0 0 cdot A 0 nbsp Der Matrizenring ist fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp nicht nullteilerfrei denn aus A B 0 displaystyle A cdot B 0 nbsp folgt nicht notwendigerweise A 0 displaystyle A 0 nbsp oder B 0 displaystyle B 0 nbsp So gilt beispielsweise 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix cdot begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 0 end pmatrix nbsp Der Matrizenring ist demnach fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp kein Integritatsring Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekurzt werden denn aus A B A C displaystyle A cdot B A cdot C nbsp folgt nicht notwendigerweise B C displaystyle B C nbsp Nichtkommutativitat Bearbeiten Der Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp ist fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp nicht kommutativ selbst wenn R displaystyle R nbsp kommutativ sein sollte denn es gilt beispielsweise 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix cdot begin pmatrix 0 amp 0 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end pmatrix neq begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 0 1 amp 0 end pmatrix cdot begin pmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end pmatrix nbsp Der Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp ist genau dann kommutativ wenn n 1 displaystyle n 1 nbsp ist und R displaystyle R nbsp kommutativ ist 1 Das Zentrum des Matrizenrings also die Menge der Elemente die mit allen anderen kommutieren ist Z R n n z I z Z R displaystyle Z R n times n z cdot I mid z in Z R nbsp wobei Z R displaystyle Z R nbsp das Zentrum von R displaystyle R nbsp ist 1 Isomorphien Bearbeiten Der Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp ist isomorph zum Ring der Endomorphismen Selbstabbildungen des freien Moduls R n displaystyle R n nbsp also R n n End R n displaystyle R n times n cong operatorname End R n nbsp Die komponentenweise Addition von Abbildungen entspricht dabei der Matrizenaddition und die Hintereinanderausfuhrung von Abbildungen der Matrizenmultiplikation Der Nullmatrix entspricht die Nullabbildung und der Einsmatrix die identische Abbildung Ein unitarer Ring S displaystyle S nbsp ist genau dann isomorph zum Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp wenn es eine Menge von n 2 displaystyle n 2 nbsp Elementen e i j displaystyle e ij nbsp i j 1 n displaystyle i j 1 dotsc n nbsp gibt sodass e i j e k l d j k e i l displaystyle e ij e kl delta jk e il nbsp sowie e 11 e 11 e 22 e 22 e n n e n n 1 displaystyle e 11 e 11 e 22 e 22 dotsb e nn e nn 1 nbsp gelten und wenn der Zentralisator dieser Elemente in S displaystyle S nbsp isomorph zu R displaystyle R nbsp ist 1 Kenngrossen BearbeitenDeterminante Bearbeiten Hauptartikel Determinante Ist R displaystyle R nbsp kommutativ dann wird die Determinante einer Matrix als normierte alternierende Multilinearform R n n R displaystyle R n times n to R nbsp definiert Die Determinante einer Matrix kann dann uber die Leibniz Formel det A s S n sgn s i 1 n a i s i displaystyle det A sum sigma in S n left operatorname sgn sigma prod i 1 n a i sigma i right nbsp ermittelt werden wobei die Summe uber alle Permutationen der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp lauft und sgn displaystyle operatorname sgn nbsp das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet Fur die Determinante des Produkts zweier Matrizen gilt der Determinantenproduktsatz det A B det A det B displaystyle det A cdot B det A cdot det B nbsp Rang Bearbeiten Hauptartikel Rang Mathematik Der Spaltenrang einer Matrix wird als die maximale Zahl linear unabhangiger Spaltenvektoren in dem freien Modul R n displaystyle R n nbsp definiert Entsprechend ist der Zeilenrang einer Matrix die maximale Zahl linear unabhangiger Zeilenvektoren Ist R displaystyle R nbsp kommutativ dann stimmen Spaltenrang und Zeilenrang uberein und man spricht von dem Rang der Matrix wobei rang A n displaystyle operatorname rang A leq n nbsp gilt Fur den Rang des Produkts zweier Matrizen gilt dann 2 rang A B min rang A rang B displaystyle operatorname rang A cdot B leq min operatorname rang A operatorname rang B nbsp Unterstrukturen BearbeitenUnterringe Bearbeiten Die quadratischen Matrizen mit Eintragen aus einem Untering U displaystyle U nbsp von R displaystyle R nbsp bilden ebenfalls einen Unterring U n n displaystyle U n times n nbsp im Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp Matrizenringe weisen jedoch weitere Unterringe auf Beispielsweise werden strukturelle Unterringe gebildet durch die Menge der Diagonalmatrizen dieser Unterring ist kommutativ falls R displaystyle R nbsp kommutativ ist die Menge der strikt oberen oder strikt unteren Dreiecksmatrizen die Menge der Blockdiagonalmatrizen oder Blockdreiecksmatrizen die Menge der Matrizen bei denen bestimmte Spalten oder Zeilen nur Nulleintrage besitzenViele Ringe lassen sich als Unterring eines Matrizenrings realisieren Dieses Vorgehen nennt man in Analogie zur Permutationsdarstellung einer Gruppe Matrixdarstellung des Rings Diese Unterringe werden gelegentlich auch als Matrizenringe bezeichnet und der Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp dann zur besseren Unterscheidung voller Matrizenring genannt Einheiten Bearbeiten Die Einheitengruppe im Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp ist die allgemeine lineare Gruppe GL n R displaystyle operatorname GL n R nbsp bestehend aus den regularen Matrizen Fur die Inverse des Produkts zweier regularer Matrizen A B R n n displaystyle A B in R n times n nbsp gilt A B 1 B 1 A 1 displaystyle A cdot B 1 B 1 cdot A 1 nbsp Eine Matrix ist genau dann invertierbar wenn ihre Spalten eine Basis des freien Moduls R n displaystyle R n nbsp bilden Ist R displaystyle R nbsp kommutativ dann existiert zu jeder Matrix A displaystyle A nbsp eine Adjunkte adj A displaystyle operatorname adj A nbsp sodass A adj A adj A A det A I displaystyle A cdot operatorname adj A operatorname adj A cdot A det A cdot I nbsp gilt In diesem Fall ist die Invertierbarkeit einer Matrix aquivalent zur Invertierbarkeit ihrer Determinante det A displaystyle det A nbsp in R displaystyle R nbsp 1 Ideale Bearbeiten Die Ideale im Matrizenring R n n displaystyle R n times n nbsp sind gerade durch J n n displaystyle J n times n nbsp gegeben wobei J displaystyle J nbsp ein Ideal von R displaystyle R nbsp ist Die Faktorringe des Matrizenrings werden damit durch R n n J n n R J n n displaystyle R n times n J n times n cong R J n times n nbsp charakterisiert Matrizenalgebra BearbeitenIst speziell R K displaystyle R K nbsp ein Korper oder Schiefkorper dann ist der Matrizenring K n n displaystyle K n times n nbsp einfach das heisst er besitzt nur den Nullring 0 displaystyle 0 nbsp und den ganzen Ring K n n displaystyle K n times n nbsp als triviale Ideale Nach dem Satz von Artin Wedderburn ist jeder halbeinfache Ring isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen uber Schiefkorpern Mit der komponentenweisen Skalarmultiplikation bildet der Matrizenring K n n displaystyle K n times n nbsp eine assoziative Algebra Siehe auch BearbeitenMatrizenraum der Vektorraum der Matrizen uber einem Korper Matrixdarstellung von QuaternionenLiteratur BearbeitenMichael Artin Algebra Springer 1998 ISBN 3 7643 5938 2 Paul Cohn An Introduction to Ring Theory Springer 2000 ISBN 1 85233 206 9 Serge Lang Algebra 3 Auflage Springer 2002 ISBN 0 387 95385 X Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e D A Suprunenko Matrix ring In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org O A Ivanova Rank In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Weblinks BearbeitenD A Suprunenko Matrix ring In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org CWoo Matrix ring In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Matrizenring amp oldid 215525028 Matrizenalgebra