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Heisenberg-Bild

Das Heisenberg-Bild der Quantenmechanik, nach Werner Heisenberg, ist neben dem Schrödinger- und dem Dirac-Bild eine der grundlegenden Formulierungen für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen in der Quantenmechanik. Im Gegensatz zum öfter verwendeten Schrödinger-Bild steckt im Heisenberg-Bild die Zeitabhängigkeit nicht in den Zuständen , sondern den Observablen . Anschaulich gesprochen rotieren im Schrödinger-Bild die Zustände im Zustands(vektor)raum, wohingegen sich im Heisenberg-Bild die Operationen auf dem Vektorraum unter den Zuständen hinweg rotieren.

Zur Unterscheidung der verschiedenen Bilder der Quantenmechanik werden Größen im Heisenberg-Bild mit einem Index versehen.

Grundlagen Bearbeiten

Ein quantenmechanisches System wird durch seinen Zustandsvektor , Messgrößen durch Operatoren beschrieben. Die möglichen Messwerte sind die Eigenwerte der Operatoren und die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung im Zustand einen bestimmten Messwert zu erhalten, ist das Betragsquadrat des Skalarprodukts , wobei , sodass der zum Eigenwert gehörige Eigenvektor ist. Der Erwartungswert einer Messgröße ist .

Alle messbaren physikalischen Größen basieren daher auf Eigenwerten von Operatoren und Skalarprodukten von Zuständen. Jede auf die Zustände und Operatoren simultan angewandte Transformation, die diese Größen unverändert lässt, verändert nur die mathematische Darstellung der Physik, aber nicht die physikalische Wirklichkeit. Transformationen, die dies leisten, heißen unitäre Transformationen mit .

Definition Bearbeiten

Im Schrödinger-Bild der Quantenmechanik gehorchen Zustände der Schrödingergleichung

mit dem Hamiltonoperator . Die formale Lösung der Schrödingergleichung lautet

mit einem frei wählbaren Zeitpunkt , wobei

der unitäre Zeitentwicklungsoperator ist. Für den Erwartungswert eines Operators , der nicht vom gewählten Bild abhängen darf, gilt also

Man definiert nun:

Eigenschaften Bearbeiten

  • Erwartungswerte von Operatoren bleiben unverändert. Diese Eigenschaft wurde oben zur Definition verwendet.
  • Skalarprodukte von Zuständen bleiben unverändert:
Definiert man also , so ist .

Bewegungsgleichungen Bearbeiten

Die Bewegungsgleichungen für Zustände im Heisenberg-Bild sind trivial:

Diese Eigenschaft folgt aus der Definition des Heisenberg-Bildes.

Die Operatoren folgen der heisenbergschen Bewegungsgleichung

Herleitung Bearbeiten

Die heisenbergsche Bewegungsgleichung ist äquivalent zur Schrödingergleichung im Schrödinger-Bild und kann direkt aus dieser hergeleitet werden (zur Vereinfachung der Notation werden die Argumente des Zeitentwicklungsoperators unterdrückt):

Da im Schrödinger-Bild die Operatoren nur explizit von der Zeit abhängen können, vereinfacht sich im zweiten Term die totale Zeitableitung zu einer partiellen. Die totale Zeitableitung des Zeitentwicklungsoperators folgt aus der obigen Definition als Lösung der Schrödingergleichung . Da der Hamiltonoperator selbstadjungiert ist (), ergibt sich nach Einsetzen

Aus der Forminvarianz des Kommutators und der Definition der Operatoren im Heisenberg-Bild folgt die Heisenberg-Gleichung.

Erhaltungsgrößen, abgeschlossene Systeme Bearbeiten

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator, der im Heisenberg-Bild mit dem Hamiltonoperator kommutiert, korrespondiert zu einer Erhaltungsgröße, denn dann gilt:

Entsprechend ändern sich auch seine Eigenwerte mit der Zeit nicht und da die Zustände im Heisenberg-Bild generell nicht zeitabhängig sind, ändert sich auch sein Erwartungswert nicht.

Insbesondere gilt für den Hamiltonoperator

der Hamiltonoperator hängt also, wenn überhaupt, nur explizit von der Zeit ab. Für abgeschlossene Systeme ist und somit die Energie eine Erhaltungsgröße. In diesem Fall vereinfacht sich der Zeitentwicklungsoperator zu

und kommutiert zu jeder Zeit mit dem Hamiltonoperator. Somit ist

Ehrenfest-Theorem Bearbeiten

Für den Erwartungswert von Observablen gilt nach der heisenbergschen Bewegungsgleichung

Da im Heisenberg-Bild Zustände zeitunabhängig sind, kann der Erwartungswert sowohl auf der linken Seite als auch im letzten Term auf der rechten Seite an der Zeitableitung vorbei gezogen werden. Da Erwartungswerte nicht vom gewählten Bild abhängig sein können, folgt direkt das Ehrenfest-Theorem

Interpretation Bearbeiten

Das Schrödinger-Bild der Quantenmechanik ergibt in der Regel die einfacheren Gleichungen, da in diesem Bewegungsgleichungen von Vektoren, im Heisenberg-Bild aber von Operatoren (Matrizen) gelöst werden müssen. Dennoch ist das Heisenberg-Bild näher an der klassischen Physik als das Schrödinger-Bild. Im Heisenberg-Bild interpretiert man den Zustandsvektor als den Träger aller Informationen, die man über das System nach einer Messung besitzt. Diese Information verändert sich zeitlich nicht. Bei der Messung einer Observablen ist hingegen relevant, wann die Messung durchgeführt wird.

Klassisch entspricht einem Zustandsvektor im Heisenberg-Bild die Trajektorie im Phasenraum. Genau wie in der klassischen Physik jeder Bahnkurve eine Trajektorie entspricht (und die Trajektorie keine Informationen über die Zeit enthält), stellt ein Zustand die möglichen Bewegungen in der Quantenmechanik im Zustandsraum dar. Observablen in der klassischen hamiltonschen Mechanik lassen sich als Funktionen auf der Phasenraumtrajektorie beschreiben; .

Zwischen der hamiltonschen Mechanik und dem Heisenberg-Bild wird das Korrespondenzprinzip zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik deutlich. In der hamiltonschen Mechanik gilt mit der Poisson-Klammer und der Hamiltonfunktion

was ein direktes Analogon zur Quantenmechanik liefert, wenn die Poisson-Klammern durch den Kommutator ersetzt werden.

Literatur Bearbeiten

  • Albert Messiah: Quantum Mechanics. Band 1. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1964, S. 314 – 320.
  • Franz Schwabl: Quantenmechanik. (QM I). Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-73674-5.
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Die Artikel Heisenberg Bild und Matrizenmechanik uberschneiden sich thematisch Informationen die du hier suchst konnen sich also auch im anderen Artikel befinden Gerne kannst du dich an der betreffenden Redundanzdiskussion beteiligen oder direkt dabei helfen die Artikel zusammenzufuhren oder besser voneinander abzugrenzen Anleitung Das Heisenberg Bild der Quantenmechanik nach Werner Heisenberg ist neben dem Schrodinger und dem Dirac Bild eine der grundlegenden Formulierungen fur den Umgang mit zeitabhangigen Problemen in der Quantenmechanik Im Gegensatz zum ofter verwendeten Schrodinger Bild steckt im Heisenberg Bild die Zeitabhangigkeit nicht in den Zustanden ps c o n s t displaystyle psi rangle mathrm const sondern den Observablen A A t displaystyle A A t Anschaulich gesprochen rotieren im Schrodinger Bild die Zustande im Zustands vektor raum wohingegen sich im Heisenberg Bild die Operationen auf dem Vektorraum unter den Zustanden hinweg rotieren Zur Unterscheidung der verschiedenen Bilder der Quantenmechanik werden Grossen im Heisenberg Bild mit einem Index H displaystyle mathrm H versehen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 Definition 3 Eigenschaften 4 Bewegungsgleichungen 4 1 Herleitung 4 2 Erhaltungsgrossen abgeschlossene Systeme 4 3 Ehrenfest Theorem 5 Interpretation 6 LiteraturGrundlagen BearbeitenEin quantenmechanisches System wird durch seinen Zustandsvektor ps displaystyle psi rangle nbsp Messgrossen durch Operatoren A displaystyle A nbsp beschrieben Die moglichen Messwerte sind die Eigenwerte der Operatoren A displaystyle A nbsp und die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung im Zustand ps displaystyle psi rangle nbsp einen bestimmten Messwert a displaystyle a nbsp zu erhalten ist das Betragsquadrat des Skalarprodukts ps a 2 displaystyle langle psi a rangle 2 nbsp wobei A a a a displaystyle A a rangle a a rangle nbsp sodass a displaystyle a rangle nbsp der zum Eigenwert a displaystyle a nbsp gehorige Eigenvektor ist Der Erwartungswert einer Messgrosse ist A ps A ps displaystyle langle A rangle langle psi A psi rangle nbsp Alle messbaren physikalischen Grossen basieren daher auf Eigenwerten von Operatoren und Skalarprodukten von Zustanden Jede auf die Zustande und Operatoren simultan angewandte Transformation die diese Grossen unverandert lasst verandert nur die mathematische Darstellung der Physik aber nicht die physikalische Wirklichkeit Transformationen die dies leisten heissen unitare Transformationen U displaystyle U nbsp mit U U 1 displaystyle UU dagger 1 nbsp Definition BearbeitenIm Schrodinger Bild der Quantenmechanik gehorchen Zustande der Schrodingergleichung i ℏ t ps S t H S ps S t displaystyle mathrm i hbar partial t psi mathrm S t rangle H mathrm S psi mathrm S t rangle nbsp mit dem Hamiltonoperator H S displaystyle H mathrm S nbsp Die formale Losung der Schrodingergleichung lautet ps S t T exp i ℏ t 0 t H S d t ps S t 0 displaystyle psi mathrm S t rangle mathcal T exp left frac mathrm i hbar int t 0 t H mathrm S mathrm d t right psi mathrm S t 0 rangle nbsp mit einem frei wahlbaren Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp wobei T exp i ℏ t 0 t H S d t U t t 0 displaystyle mathcal T exp left frac mathrm i hbar int t 0 t H mathrm S mathrm d t right U t t 0 nbsp der unitare Zeitentwicklungsoperator ist Fur den Erwartungswert eines Operators A displaystyle A nbsp der nicht vom gewahlten Bild abhangen darf gilt also A ps S t A S ps S t ps S t 0 U t t 0 A S U t t 0 ps S t 0 displaystyle langle A rangle langle psi mathrm S t A mathrm S psi mathrm S t rangle langle psi mathrm S t 0 U dagger t t 0 A mathrm S U t t 0 psi mathrm S t 0 rangle nbsp Man definiert nun ps H ps S t 0 A H U t t 0 A S U t t 0 displaystyle psi mathrm H rangle psi mathrm S t 0 rangle qquad A mathrm H U dagger t t 0 A mathrm S U t t 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenErwartungswerte von Operatoren bleiben unverandert Diese Eigenschaft wurde oben zur Definition verwendet Skalarprodukte von Zustanden bleiben unverandert ps H ϕ H ps S t 0 ϕ S t 0 ps S t U t 0 t U t 0 t ϕ S t ps S t ϕ S t displaystyle langle psi mathrm H phi mathrm H rangle langle psi mathrm S t 0 phi mathrm S t 0 rangle langle psi mathrm S t U dagger t 0 t U t 0 t phi mathrm S t rangle langle psi mathrm S t phi mathrm S t rangle nbsp dd Kommutatoren von Operatoren bleiben forminvariant A H t B H t A H t B H t B H t A H t U t t 0 A S U t t 0 U t t 0 B S U t t 0 U t t 0 B S U t t 0 U t t 0 A S U t t 0 U t t 0 A S B S U t t 0 U t t 0 B S A S U t t 0 U t t 0 A S B S B S A S U t t 0 U t t 0 A S B S U t t 0 displaystyle begin aligned left A mathrm H t B mathrm H t right amp A mathrm H t B mathrm H t B mathrm H t A mathrm H t amp U dagger t t 0 A mathrm S U t t 0 U dagger t t 0 B mathrm S U t t 0 U dagger t t 0 B mathrm S U t t 0 U dagger t t 0 A mathrm S U t t 0 amp U dagger t t 0 A mathrm S B mathrm S U t t 0 U dagger t t 0 B mathrm S A mathrm S U t t 0 U dagger t t 0 A mathrm S B mathrm S B mathrm S A mathrm S U t t 0 amp U dagger t t 0 A mathrm S B mathrm S U t t 0 end 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U dagger mathrm d t A mathrm S U U dagger frac mathrm d A mathrm S mathrm d t U U dagger A mathrm S frac mathrm d U mathrm d t nbsp Da im Schrodinger Bild die Operatoren nur explizit von der Zeit abhangen konnen vereinfacht sich im zweiten Term die totale Zeitableitung zu einer partiellen Die totale Zeitableitung des Zeitentwicklungsoperators folgt aus der obigen Definition als Losung der Schrodingergleichung d U d t 1 i ℏ H S U displaystyle mathrm d U mathrm d t tfrac 1 mathrm i hbar H mathrm S U nbsp Da der Hamiltonoperator selbstadjungiert ist H H displaystyle H dagger H nbsp ergibt sich nach Einsetzen d A H d t 1 i ℏ U H S A S U 1 i ℏ U A S H S U U t A S U 1 i ℏ U A S H S U U t A S U displaystyle frac mathrm d A mathrm H mathrm d t frac 1 mathrm i hbar U dagger H mathrm S A mathrm S U frac 1 mathrm i hbar U dagger A mathrm S H mathrm S U U dagger partial t A mathrm S U frac 1 mathrm i hbar U dagger A mathrm S H mathrm S U U dagger partial t A mathrm S U nbsp Aus der Forminvarianz des Kommutators und der Definition der Operatoren im Heisenberg Bild folgt die Heisenberg Gleichung Erhaltungsgrossen abgeschlossene Systeme Bearbeiten Ein nicht explizit zeitabhangiger Operator der im Heisenberg Bild mit dem Hamiltonoperator kommutiert korrespondiert zu einer Erhaltungsgrosse denn dann gilt d A H d t 1 i ℏ A H H H 0 displaystyle frac mathrm d A mathrm H mathrm d t frac 1 mathrm i hbar A mathrm H H mathrm H 0 nbsp Entsprechend andern sich auch seine Eigenwerte mit der Zeit nicht und da die Zustande im Heisenberg Bild generell nicht zeitabhangig sind andert sich auch sein Erwartungswert nicht Insbesondere gilt fur den Hamiltonoperator d H H d t t H H displaystyle frac mathrm d H mathrm H mathrm d t partial t H mathrm H nbsp der Hamiltonoperator hangt also wenn uberhaupt nur explizit von der Zeit ab Fur abgeschlossene Systeme ist t H H 0 displaystyle partial t H mathrm H 0 nbsp und somit die Energie eine Erhaltungsgrosse In diesem Fall vereinfacht sich der Zeitentwicklungsoperator zu U exp i ℏ H S t t 0 displaystyle U exp left frac mathrm i hbar H mathrm S t t 0 right nbsp und kommutiert zu jeder Zeit mit dem Hamiltonoperator Somit ist H H U H S U U U H S H S displaystyle H mathrm H U dagger H mathrm S U U dagger UH mathrm S H mathrm S nbsp Ehrenfest Theorem Bearbeiten Hauptartikel Ehrenfest Theorem Fur den Erwartungswert von Observablen gilt nach der heisenbergschen Bewegungsgleichung d A H d t 1 i ℏ A H H H t A S H displaystyle left langle frac mathrm d A mathrm H mathrm d t right rangle frac 1 mathrm i hbar langle A mathrm H H mathrm H rangle langle partial t A mathrm S mathrm H rangle nbsp Da im Heisenberg Bild Zustande zeitunabhangig sind kann der Erwartungswert sowohl auf der linken Seite als auch im letzten Term auf der rechten Seite an der Zeitableitung vorbei gezogen werden Da Erwartungswerte nicht vom gewahlten Bild abhangig sein konnen folgt direkt das Ehrenfest Theorem d A d t 1 i ℏ A H t A displaystyle frac mathrm d langle A rangle mathrm d t frac 1 mathrm i hbar langle A H rangle langle partial t A rangle nbsp Interpretation BearbeitenDas Schrodinger Bild der Quantenmechanik ergibt in der Regel die einfacheren Gleichungen da in diesem Bewegungsgleichungen von Vektoren im Heisenberg Bild aber von Operatoren Matrizen gelost werden mussen Dennoch ist das Heisenberg Bild naher an der klassischen Physik als das Schrodinger Bild Im Heisenberg Bild interpretiert man den Zustandsvektor ps H displaystyle psi mathrm H rangle nbsp als den Trager aller Informationen die man uber das System nach einer Messung besitzt Diese Information verandert sich zeitlich nicht Bei der Messung einer Observablen ist hingegen relevant wann die Messung durchgefuhrt wird Klassisch entspricht einem Zustandsvektor im Heisenberg Bild die Trajektorie im Phasenraum Genau wie in der klassischen Physik jeder Bahnkurve eine Trajektorie entspricht und die Trajektorie keine Informationen uber die Zeit enthalt stellt ein Zustand die moglichen Bewegungen in der Quantenmechanik im Zustandsraum dar Observablen in der klassischen hamiltonschen Mechanik lassen sich als Funktionen auf der Phasenraumtrajektorie beschreiben A k l A k l q p t displaystyle A mathrm kl A mathrm kl q p t nbsp Zwischen der hamiltonschen Mechanik und dem Heisenberg Bild wird das Korrespondenzprinzip zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik deutlich In der hamiltonschen Mechanik gilt mit der Poisson Klammer displaystyle cdot cdot nbsp und der Hamiltonfunktion H k l displaystyle H mathrm kl nbsp d A k l d t A k l H k l t A k l displaystyle frac mathrm d A mathrm kl mathrm d t A mathrm kl H mathrm kl partial t A mathrm kl nbsp was ein direktes Analogon zur Quantenmechanik liefert wenn die Poisson Klammern durch den Kommutator ersetzt werden Literatur BearbeitenAlbert Messiah Quantum Mechanics Band 1 North Holland Publishing Company Amsterdam 1964 S 314 320 Franz Schwabl Quantenmechanik QM I Eine Einfuhrung 7 Auflage Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 73674 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Heisenberg Bild amp oldid 237335608 Bewegungsgleichungen