Das Ehrenfest Theorem benannt nach dem osterreichischen Physiker Paul Ehrenfest stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her Es besagt dass unter bestimmten Bedingungen die klassischen Bewegungsgleichungen fur die Mittelwerte der Quantenmechanik gelten die klassische Mechanik also in gewissem Masse in der Quantenmechanik enthalten ist Korrespondenzprinzip Mathematisch druckt sich das in seiner allgemeinsten Form so aus dass die vollstandige Zeitableitung des Erwartungswertes eines quantenmechanischen Operators mit dem Kommutator dieses Operators und des Hamiltonoperators H displaystyle H wie folgt in Zusammenhang steht d d t O 1 i ℏ O H O t displaystyle frac mathrm d mathrm d t langle O rangle frac 1 mathrm i hbar langle O H rangle left langle frac partial O partial t right rangle Dabei stellt O displaystyle O einen quantenmechanischen Operator und O displaystyle langle O rangle dessen Erwartungswert dar Inhaltsverzeichnis 1 Klassisches Analogon 2 Herleitung 3 Anwendung 3 1 Orts und Impulsoperatoren 3 2 Klassische Naherung 4 Siehe auch 5 LiteraturKlassisches Analogon BearbeitenIm Hamilton Formalismus der klassischen Mechanik gilt fur die Zeitentwicklung einer Phasenraumfunktion d d t f p q t f H f t displaystyle frac mathrm d mathrm d t f p q t f H frac partial f partial t nbsp mit der Poisson Klammer f H q f p H p f q H displaystyle f H nabla q f nabla p H nabla p f nabla q H nbsp Bei der Quantisierung wird die Poisson Klammer durch den mit 1 i ℏ displaystyle tfrac 1 i hbar nbsp multiplizierten Kommutator ersetzt Das quantenmechanische Analogon einer Phasenraumfunktion ist ein Operator Observable Somit ist das Ehrenfest Theorem das direkte Analogon zu der obigen klassischen Aussage Herleitung BearbeitenFolgende Herleitung verwendet das Schrodinger Bild Fur eine alternative Betrachtung im Heisenberg Bild siehe Bewegungsgleichung fur Erwartungswerte unter Heisenbergsche Bewegungsgleichung Es sei das betrachtete System im Quantenzustand ps displaystyle psi rangle nbsp Man erhalt somit fur die Zeitableitung des Erwartungswertes eines Operators O d d t O d d t ps O ps d ps d t O ps ps d O d t ps ps O d ps d t d ps d t O ps ps O d ps d t d O d t displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t langle O rangle amp frac mathrm d mathrm d t langle psi O psi rangle frac mathrm d langle psi mathrm d t O psi rangle langle psi frac mathrm d O mathrm d t psi rangle langle psi O frac mathrm d psi rangle mathrm d t amp frac mathrm d langle psi mathrm d t O psi rangle langle psi O frac mathrm d psi rangle mathrm d t left langle frac mathrm d O mathrm d t right rangle end aligned nbsp Da im Schrodingerbild die Operatoren und Zustande nur explizit von der Zeit abhangen konnen vereinfachen sich die totalen Zeitableitungen zu partiellen d d t t displaystyle mathrm d mathrm d t partial partial t nbsp Man betrachtet nun die Schrodingergleichung ps t 1 i ℏ H ps displaystyle frac partial psi rangle partial t frac 1 mathrm i hbar H psi rangle nbsp Konjugiert man diese Gleichung und beachtet dass der Hamilton Operator H displaystyle H nbsp selbstadjungiert ist so folgt ps t 1 i ℏ ps H displaystyle frac partial langle psi partial t frac 1 mathrm i hbar langle psi H nbsp Einsetzen dieser Relationen liefert nun d d t O 1 i ℏ ps O H ps 1 i ℏ ps H O ps O t 1 i ℏ O H O t displaystyle frac mathrm d mathrm d t langle O rangle frac 1 mathrm i hbar langle psi OH psi rangle frac 1 mathrm i hbar langle psi HO psi rangle left langle frac partial O partial t right rangle frac 1 mathrm i hbar langle O H rangle left langle frac partial O partial t right rangle nbsp Anwendung BearbeitenOrts und Impulsoperatoren Bearbeiten Fur den Spezialfall des Impulsoperators dieser ist nicht explizit zeitabhangig das heisst p t 0 displaystyle frac partial p partial t 0 nbsp gilt nach dem Ehrenfest Theorem d d t p i ℏ H p i ℏ p 2 2 m V x p i ℏ V x p displaystyle frac mathrm d mathrm d t langle p rangle frac i hbar langle H p rangle frac i hbar langle frac p 2 2m V x p rangle frac i hbar langle V x p rangle nbsp Nun wird der Kommutator V p displaystyle V p nbsp in der Ortsdarstellung ausgewertet also mit p i ℏ displaystyle p i hbar nabla nbsp V V x displaystyle V V x nbsp und PS PS x displaystyle Psi Psi x nbsp V i ℏ PS i ℏ V PS i ℏ V PS i ℏ V PS i ℏ V PS i ℏ V PS i ℏ V PS V p i ℏ V displaystyle V i hbar nabla Psi i hbar V nabla Psi i hbar nabla V Psi i hbar V nabla Psi i hbar nabla V Psi i hbar V nabla Psi i hbar nabla V Psi quad Rightarrow quad V p i hbar nabla V nbsp Die zeitliche Ableitung des Impuls Erwartungswerts in der Ortsdarstellung ist also d d t p i ℏ i ℏ V x V x displaystyle frac mathrm d mathrm d t langle p rangle frac i hbar langle i hbar nabla V x rangle langle nabla V x rangle nbsp Da auch der Ortsoperator nicht explizit zeitabhangig ist folgt mit dem Ehrenfest Theorem fur dessen Zeitentwicklung d d t x i ℏ H x i ℏ p 2 2 m V x x i ℏ 1 2 m p 2 x i ℏ 1 2 m p p x i ℏ p x i ℏ p 1 m p displaystyle frac mathrm d mathrm d t langle x rangle frac i hbar langle H x rangle frac i hbar langle frac p 2 2m V x x rangle frac i hbar frac 1 2m langle p 2 x rangle frac i hbar frac 1 2m langle p underbrace p x i hbar underbrace p x i hbar p rangle frac 1 m langle p rangle nbsp Dabei wurden die einfache Kommutatorrelation p 2 x p p x p x p displaystyle p 2 x p p x p x p nbsp sowie die kanonischen Vertauschungsrelationen zwischen Impuls und Ortsoperator verwendet Aus den beiden hergeleiteten Beziehungen m d d t x p d d t p V x displaystyle m frac mathrm d mathrm d t langle x rangle langle p rangle quad frac mathrm d mathrm d t langle p rangle langle nabla V x rangle nbsp folgt m d 2 d t 2 x V x F x displaystyle m frac mathrm d 2 mathrm d t 2 langle x rangle langle nabla V x rangle langle F x rangle nbsp Hier wurde die Kraft F x displaystyle F x nbsp als negativer Gradient des Potentials eingesetzt Die Bewegungsgleichungen fur den Erwartungswert des Orts und Impulsoperators sind also nahezu identisch zu denen der klassischen Mechanik wobei jedoch die Kraft am Erwartungswert des Ortes F x displaystyle F langle x rangle nbsp durch den Erwartungswert der Kraft F x displaystyle langle F x rangle nbsp ersetzt ist Wenn die Kraft keine lineare Funktion des Ortes ist kann der Erwartungswert nicht in das Argument absorbiert werden und klassische und quantenmechanische Bewegungsgleichungen weichen voneinander ab Klassische Naherung Bearbeiten Der Erwartungswert der Kraft F x displaystyle F x nbsp lasst sich in eine Taylorreihe um den Erwartungswert von x displaystyle x nbsp entwickeln F x F x F x x x 1 2 F x x x 2 O x 3 F x F x x x 0 1 2 F x x x 2 D x 2 O x 3 F x 1 2 F x D x 2 O x 3 displaystyle begin aligned left langle F x right rangle amp left langle F langle x rangle F prime langle x rangle x langle x rangle frac 1 2 F prime prime langle x rangle x langle x rangle 2 mathcal O x 3 right rangle amp F langle x rangle F prime langle x rangle underbrace left langle x langle x rangle right rangle 0 frac 1 2 F prime prime langle x rangle underbrace left langle x langle x rangle 2 right rangle Delta x 2 left langle mathcal O x 3 right rangle amp F langle x rangle frac 1 2 F prime prime langle x rangle Delta x 2 left langle mathcal O x 3 right rangle end aligned nbsp Berucksichtigt man nur den ersten Summanden so erhalt man F x F x displaystyle langle F x rangle approx F langle x rangle qquad nbsp und somit m d 2 d t 2 x F x displaystyle m frac mathrm d 2 mathrm d t 2 langle x rangle F langle x rangle nbsp In Worten bedeutet dies dass sich der Erwartungswert der Position auf einer klassischen Bahn bewegt d h der klassischen Bewegungsgleichung folgt Das Ehrenfest Theorem fuhrt somit direkt auf eine Analogie der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik hier in Form des zweiten Newton schen Axioms m d 2 d t 2 x F x displaystyle m frac mathrm d 2 mathrm d t 2 x F x nbsp Die Annahme und damit auch die klassische Bewegungsgleichung fur quantenmechanische Erwartungswerte gelten allerdings nur dann exakt falls die Kraft F x eine lineare Funktion der Position x ist Dies gilt fur die einfachen Falle des harmonischen Oszillators oder des freien Teilchens dann verschwinden alle Ortsableitungen der Kraft vom Grad grosser gleich 2 Ausserdem kann man sagen dass gilt wenn die Breite der Aufenthaltswahrscheinlichkeit klein ist gegenuber der typischen Langenskala auf der die Kraft F x variiert Die Bewegungsgleichung fur Erwartungswerte lautet mit der nachsten nichtverschwindenden Korrektur zur klassischen Bewegungsgleichung m d 2 d t 2 x F x 1 2 F x D x 2 displaystyle m frac mathrm d 2 mathrm d t 2 langle x rangle F langle x rangle frac 1 2 F prime prime langle x rangle Delta x 2 nbsp Siehe auch BearbeitenLiouville Gleichung Satz von Liouville Physik Literatur BearbeitenLeslie E Ballentine Quantum Mechanics A Modern Development 1 Auflage World Scientific Publishing Singapore 1998 ISBN 981 02 4105 4 P Ehrenfest Bemerkung uber die angenaherte Gultigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik Zeitschrift fur Physik A Ausgabe 45 Nummern 7 8 Juli 1927 S 455 457 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ehrenfest Theorem amp oldid 236027525
