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Hamiltonoperator Der H displaystyle hat H auch Hamiltonian ist in der Quantenmechanik ein Operator der mögliche Energiem

Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator (auch Hamiltonian) ist in der Quantenmechanik ein Operator, der (mögliche) Energiemesswerte und die Zeitentwicklung angibt. Er ist daher der Energieoperator. Er liefert beispielsweise die Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom. Er ist nach William Rowan Hamilton benannt. Auf ihn geht die hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zurück, in der die Hamilton-Funktion die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt.

Zeitentwicklung und Energie Bearbeiten

In der Quantenmechanik wird jeder Zustand des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehörigen Vektor im Hilbertraum angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrödingergleichung durch den Hamiltonoperator bestimmt:

mit

Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion des entsprechenden klassischen Systems (mit der generalisierten Koordinate x und dem kanonischen Impuls p) durch kanonische Quantisierung. Dazu wird der algebraische Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren gelesen (Ortsoperator und Impulsoperator ), die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion den Wert hat, die Operatorfunktion aber den Wert Zudem ist reell, aber ist hermitesch. Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den Spin, die in der klassischen Physik nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden.

Die Eigenwertgleichung

bestimmt die Eigenvektoren des Hamiltonoperators; sie sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator stationär, d. h. in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte sind die zugehörigen Energien.

Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer wesentlich selbstadjungiert) ist, besagt der Spektralsatz, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, z. B. das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf, haben ein nach unten beschränktes, diskretes Spektrum und darüber ein Kontinuum möglicher Energien.

Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre Zeitentwicklung. Falls für alle Zeiten und zwischen und der Hamiltonoperator mit kommutiert, so bewirkt

die unitäre Abbildung jedes anfänglichen Zustandes auf den zugehörigen Zustand zur Zeit

Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt (), vereinfacht sich dies zu

Operatoren, die mit vertauschen, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrößen des Systems, insbesondere die Energie.

Für die Energie gilt auch eine Energie-Zeit-Unschärferelation, nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort-Impuls-Unschärferelation.

Beispiele Bearbeiten

Quantenmechanisches Teilchen im Potential Bearbeiten

Aus der Hamiltonfunktion

für ein nichtrelativistisches, klassisches Teilchen der Masse , das sich im Potential bewegt, kann ein Hamiltonoperator abgelesen werden. Dazu werden die Ausdrücke für den Impuls und das Potential durch die entsprechenden Operatoren ersetzt:

In der Ortsdarstellung wirkt der Impulsoperator als Ableitung und der Operator als Multiplikation mit der Funktion Die Anwendung dieses Hamiltonoperators eines Punktteilchens der Masse im Potential auf die Ortswellenfunktion des Teilchens wirkt sich demnach aus durch

Hierbei ist der Laplace-Operator.

Die Schrödingergleichung lautet somit

Diese Schrödingergleichung einer Punktmasse im Potential ist die Grundlage zur Erklärung des Tunneleffekts. Sie liefert bei Einsetzen des Coulombpotentials (als Potential für die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton) die Spektrallinien des Wasserstoff-Atoms. Durch Einsetzen entsprechender Potentiale können auch die Spektrallinien anderer leichter Atome berechnet werden.

Eindimensionaler harmonischer Oszillator Bearbeiten

Analog erhält man für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann, den Hamiltonoperator

Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält

Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie , dem -fach ein Quant der Energie hinzugefügt wurde.

Spin im Magnetfeld Bearbeiten

Zum Spin eines Elektrons, das an ein Atom gebunden ist und sich in einem ungepaarten Zustand (allein in der Elektronenwolke) im Magnetfeld befindet, gehört der Hamiltonoperator

Dabei ist

Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte oder annehmen kann (Spinpolarisation), sind die möglichen Energien . Im inhomogenen Magnetfeld des Stern-Gerlach-Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf.

Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld Bearbeiten

Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld erhält man durch minimale Substitution

Hier bezeichnet

Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass und wegen der Ortsabhängigkeit von im Allgemeinen nicht kommutieren. Dies ist nur in der Coulomb-Eichung der Fall.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Peter Rennert, Angelika Chassé und Wolfram Hergert: Einführung in die Quantenphysik. Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und Mathematica-Notebooks. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00769-0.
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Der Hamiltonoperator H displaystyle hat H auch Hamiltonian ist in der Quantenmechanik ein Operator der mogliche Energiemesswerte und die Zeitentwicklung angibt Er ist daher der Energieoperator Er liefert beispielsweise die Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom Er ist nach William Rowan Hamilton benannt Auf ihn geht die hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zuruck in der die Hamilton Funktion die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt Inhaltsverzeichnis 1 Zeitentwicklung und Energie 2 Beispiele 2 1 Quantenmechanisches Teilchen im Potential 2 2 Eindimensionaler harmonischer Oszillator 2 3 Spin im Magnetfeld 2 4 Geladenes spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld 3 Siehe auch 4 LiteraturZeitentwicklung und Energie BearbeitenIn der Quantenmechanik wird jeder Zustand des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehorigen Vektor ps displaystyle psi nbsp im Hilbertraum angegeben Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrodingergleichung durch den Hamiltonoperator H displaystyle hat H nbsp bestimmt i ℏ t ps t H ps t displaystyle mathrm i hbar partial over partial t psi t hat H psi t nbsp mit der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp der reduzierten Planckschen Konstante ℏ h 2 p displaystyle hbar frac h 2 pi nbsp Man erhalt den Hamiltonoperator in vielen Fallen aus der Hamiltonfunktion H t x p displaystyle mathcal H t x p nbsp des entsprechenden klassischen Systems mit der generalisierten Koordinate x und dem kanonischen Impuls p durch kanonische Quantisierung Dazu wird der algebraische Ausdruck fur die Hamilton Funktion als Funktion von Operatoren gelesen Ortsoperator x displaystyle hat x nbsp und Impulsoperator p displaystyle hat p nbsp die den kanonischen Vertauschungsrelationen genugen Dies ist allerdings nicht eindeutig da die Funktion x p p x displaystyle x p p x nbsp den Wert 0 displaystyle 0 nbsp hat die Operatorfunktion x p p x displaystyle hat x hat p hat p hat x nbsp aber den Wert i ℏ displaystyle mathrm i hbar nbsp Zudem ist x p displaystyle x p nbsp reell aber x p displaystyle hat x hat p nbsp ist hermitesch Ausserdem gibt es quantenmechanische Grossen wie den Spin die in der klassischen Physik nicht auftreten Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden Die Eigenwertgleichung H f E E f E displaystyle hat H varphi E E varphi E nbsp bestimmt die Eigenvektoren f E displaystyle varphi E nbsp des Hamiltonoperators sie sind bei zeitunabhangigem Hamiltonoperator stationar d h in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhangig Die Eigenwerte E displaystyle E nbsp sind die zugehorigen Energien Da der Hamiltonoperator hermitesch genauer wesentlich selbstadjungiert ist besagt der Spektralsatz dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein Manche Systeme z B das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf haben ein nach unten beschranktes diskretes Spektrum und daruber ein Kontinuum moglicher Energien Der Hamiltonoperator erzeugt die unitare Zeitentwicklung Falls fur alle Zeiten t displaystyle tau nbsp und t displaystyle tau nbsp zwischen t 0 displaystyle t 0 nbsp und t displaystyle t nbsp der Hamiltonoperator H t displaystyle H tau nbsp mit H t displaystyle H tau nbsp kommutiert so bewirkt U t t 0 exp i ℏ t 0 t H t d t displaystyle hat U t t 0 exp left frac mathrm i hbar int t 0 t hat H tau mathrm d tau right nbsp die unitare Abbildung jedes anfanglichen Zustandes ps t 0 displaystyle psi t 0 nbsp auf den zugehorigen Zustand ps t U t t 0 ps t 0 displaystyle psi t U t t 0 psi t 0 nbsp zur Zeit t displaystyle t nbsp Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhangt H f t displaystyle hat H neq f t nbsp vereinfacht sich dies zu U t t 0 exp i ℏ H t t 0 displaystyle hat U t t 0 exp left frac mathrm i hbar hat H t t 0 right nbsp Operatoren die mit H displaystyle hat H nbsp vertauschen sind bei zeitunabhangigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrossen des Systems insbesondere die Energie Fur die Energie gilt auch eine Energie Zeit Unscharferelation nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort Impuls Unscharferelation Beispiele BearbeitenQuantenmechanisches Teilchen im Potential Bearbeiten Aus der Hamiltonfunktion H x p p 2 2 m V x displaystyle mathcal H left mathbf x mathbf p right frac mathbf p 2 2 m V mathbf x nbsp fur ein nichtrelativistisches klassisches Teilchen der Masse m displaystyle m nbsp das sich im Potential V x displaystyle V mathbf x nbsp bewegt kann ein Hamiltonoperator abgelesen werden Dazu werden die Ausdrucke fur den Impuls und das Potential durch die entsprechenden Operatoren ersetzt H x p p 2 2 m V x displaystyle hat H hat mathbf x hat mathbf p frac hat mathbf p 2 2 m V hat mathbf x nbsp In der Ortsdarstellung wirkt der Impulsoperator p displaystyle hat mathbf p nbsp als Ableitung i ℏ x displaystyle mathrm i hbar tfrac partial partial mathbf x nbsp und der Operator V x displaystyle V hat mathbf x nbsp als Multiplikation mit der Funktion V x displaystyle V mathbf x nbsp Die Anwendung dieses Hamiltonoperators eines Punktteilchens der Masse m displaystyle m nbsp im Potential V x displaystyle V mathbf x nbsp auf die Ortswellenfunktion PS displaystyle Psi nbsp des Teilchens wirkt sich demnach aus durch H PS x ℏ 2 2 m D V x PS x displaystyle Rightarrow hat H Psi mathbf x Bigl frac hbar 2 2 m Delta V mathbf x Bigr Psi mathbf x nbsp Hierbei ist D 2 x 2 2 y 2 2 z 2 displaystyle Delta tfrac partial 2 partial x 2 tfrac partial 2 partial y 2 tfrac partial 2 partial z 2 nbsp der Laplace Operator Die Schrodingergleichung lautet somit i ℏ t PS t x ℏ 2 2 m D PS t x V x PS t x displaystyle mathrm i hbar frac partial partial t Psi t mathbf x frac hbar 2 2 m Delta Psi t mathbf x V mathbf x cdot Psi t mathbf x nbsp Diese Schrodingergleichung einer Punktmasse im Potential ist die Grundlage zur Erklarung des Tunneleffekts Sie liefert bei Einsetzen des Coulombpotentials als Potential fur die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton die Spektrallinien des Wasserstoff Atoms Durch Einsetzen entsprechender Potentiale konnen auch die Spektrallinien anderer leichter Atome berechnet werden Eindimensionaler harmonischer Oszillator Bearbeiten Hauptartikel Harmonischer Oszillator Quantenmechanik Analog erhalt man fur den quantenmechanischen harmonischen Oszillator der sich nur langs einer Linie bewegen kann den Hamiltonoperator H ℏ 2 2 m 2 x 2 1 2 m w 2 x 2 displaystyle hat H frac hbar 2 2m frac partial 2 partial x 2 frac 1 2 m omega 2 x 2 nbsp Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen Man erhalt E n E 0 n ℏ w n 0 1 2 displaystyle E n E 0 n hbar omega quad n in 0 1 2 dots nbsp Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie E 0 displaystyle E 0 nbsp dem n displaystyle n nbsp fach ein Quant der Energie ℏ w displaystyle hbar omega nbsp hinzugefugt wurde Spin im Magnetfeld Bearbeiten Zum Spin S displaystyle mathbf S nbsp eines Elektrons das an ein Atom gebunden ist und sich in einem ungepaarten Zustand allein in der Elektronenwolke im Magnetfeld B displaystyle mathbf B nbsp befindet gehort der Hamiltonoperator H g S B displaystyle hat H gamma mathbf S cdot mathbf B nbsp Dabei ist g displaystyle gamma nbsp das gyromagnetische Verhaltnis des Elektrons S displaystyle mathbf S nbsp der Spinoperator Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte ℏ 2 displaystyle hbar 2 nbsp oder ℏ 2 displaystyle hbar 2 nbsp annehmen kann Spinpolarisation sind die moglichen Energien g 2 B displaystyle pm frac gamma 2 mathbf B nbsp Im inhomogenen Magnetfeld des Stern Gerlach Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf Geladenes spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld Bearbeiten Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung q displaystyle q nbsp in einem ausseren elektromagnetischen Feld erhalt man durch minimale Substitution H 1 2 m p q A t x 2 q f t x displaystyle hat H frac 1 2m bigl hat mathbf p q mathbf A t hat mathbf x bigr 2 q varphi t hat mathbf x nbsp Hier bezeichnet A t x displaystyle mathbf A t hat mathbf x nbsp das Vektorpotential f t x displaystyle varphi t hat mathbf x nbsp das Skalarpotential Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten dass p displaystyle hat bf p nbsp und A x displaystyle bf A hat bf x nbsp wegen der Ortsabhangigkeit von A displaystyle bf A nbsp im Allgemeinen nicht kommutieren Dies ist nur in der Coulomb Eichung der Fall Siehe auch BearbeitenDarwin TermLiteratur BearbeitenPeter Rennert Angelika Chasse und Wolfram Hergert Einfuhrung in die Quantenphysik Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben Losungen und Mathematica Notebooks Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 00769 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hamiltonoperator amp oldid 225237599