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Matrizenmechanik

Die Matrizenmechanik ist die von Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan im Jahr 1925 entwickelte erste Formulierung der Quantenmechanik. Darin werden mechanische Größen wie Ort, Impuls, Energie etc. nicht jeweils durch einzelne reelle Zahlenwerte wiedergegeben, sondern durch eine je nach dem betrachteten System geeignet zu wählende Matrix. Diese Matrix bezieht sich nicht auf einen bestimmten Zustand des Systems, sondern enthält mit ihren meist unendlich vielen und zum Teil komplexwertigen Elementen die gesamte physikalisch relevante Information zu der betrachteten Größe in allen möglichen Zuständen des Systems.

Die Matrizenmechanik weist trotzdem eine starke formale Ähnlichkeit zur klassischen Mechanik auf, denn die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für die zeitliche Entwicklung der Matrizen werden direkt von den klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der entsprechenden Größe übernommen. Die Matrizenmechanik ist physikalisch und mathematisch gleichwertig zu der kurz danach von Erwin Schrödinger entwickelten Wellenmechanik. Diese geht im Unterschied zur Matrizenmechanik von einem momentanen Zustand des betrachteten Systems aus und ermöglicht die Berechnung von dessen zeitlicher Entwicklung ähnlich zu dem Verhalten einer Welle. In einfachen Fällen erlaubt die Wellenmechanik daher einen leichteren Zugang zu einer veranschaulichenden Beschreibung eines quantenmechanischen Systems. Die gemeinsame mathematische Grundlage von Matrizenmechanik und Wellenmechanik ist die im Hilbertraum formulierte Quantenmechanik, wo die Zustände durch Vektoren und die physikalischen Größen durch Operatoren beschrieben werden.

Geschichte Bearbeiten

Im Jahr 1925 schlug Heisenberg eine „quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ vor, um die wachsenden Ungereimtheiten und falschen Voraussagen der damaligen, aus dem Bohrschen Atommodell hervorgegangenen halbklassischen Atomtheorie zu beseitigen. Damit schuf er als Erster eine Grundlage für eine streng gültige Quantenmechanik. Ausgangsthese war, dass grundlegende Begriffe der klassischen Mechanik wie zum Beispiel Ort und Geschwindigkeit in der Mikrophysik möglicherweise tiefgreifend verändert werden müssten. Insbesondere müsse man die darauf aufbauenden Begriffe wie Bahn oder Umlauffrequzenz eines Elektrons im Atom für untauglich erklären und ganz aufgeben, denn diese seien nicht nur unbeobachtbar, sondern möglicherweise sogar unbrauchbar. Stattdessen sollte man ausschließlich von Größen ausgehen, die an den Atomen beobachtbar sind, konkret von den Frequenzen und Intensitäten der Spektrallinien, und hieraus die Grundbegriffe neu entwickeln. Das Ziel sei, „eine der klassischen Mechanik analoge quantentheoretische Mechanik auszubilden, in welcher nur Beziehungen zwischen beobachtbaren Größen vorkommen“.

Um die messbaren Größen Frequenz und Intensität mit den mechanischen Größen eines Atommodells zu verbinden, wurde gemäß der klassischen Elektrodynamik angenommen, dass jede Spektrallinie von einer Schwingung eines Elektrons mit gleicher Frequenz und mit einer der Intensität entsprechenden Amplitude herrührt. Dabei ist die Frequenz gemäß dem 2. Bohrschen Postulat ausschließlich von der Energiedifferenz zwischen dem Anfangs- und dem jeweiligen Endzustand dieses Übergangs bestimmt und hat nichts mehr mit den Umlauffrequenzen der Elektronen auf den in den früheren Atommodellen angenommenen Bahnen zu tun. Die zu sämtlichen Spektrallinien eines Atoms gehörenden Schwingungen fasste Heisenberg zu einer „Tabelle“ zusammen, in der jede Zeile für einen Anfangszustand und jede Spalte für einen Endzustand eines Übergangs steht. Würde man für einen bestimmten Anfangszustand alle Schwingungen aus der zugehörigen Tabellenzeile summieren, so ergäbe sich für die gesamte Bewegung des Elektrons in diesem Anfangszustand eine Formel nach Art der klassischen Mechanik. Aber statt so zu summieren schlägt Heisenberg nun vor, es bei der Tabelle zu belassen, also die Bewegung des Elektrons „repräsentiert [zu] denken durch eine Gesamtheit von Größen der Form .“ Analog wird die Geschwindigkeit durch die Gesamtheit aller Größen repräsentiert, die die zeitlichen Ableitungen der einzelnen Schwingungsterme sind.

Um aus dieser Darstellung eine entsprechende „Repräsentation“ für beispielsweise zu gewinnen, schlug Heisenberg vor, aus den zwei Tabellen für und auf eine bestimmte Art eine neue Tabelle für das Produkt zu bilden. Er stellte auch fest, dass diese Produktbildung nicht kommutativ ist, so dass durch eine andere Tabelle zu repräsentieren ist. (Die Differenz wird geschrieben und Kommutator genannt.) Born und Jordan erkannten, dass diese Tabellen mathematisch als Matrizen aufzufassen waren, wobei die vorgeschlagene Produktbildung die in der Mathematik schon bekannte Multiplikation zweier Matrizen ausdrückte.

Zu der Bewertung von Heisenbergs Vorschlag schrieben sie: „Heisenberg hat die physikalischen Gedanken, die ihn dabei geleitet haben, in so klarer Weise ausgesprochen, daß jede ergänzende Bemerkung überflüssig erscheint.“ Das wurde allgemein nicht so gesehen, typisch z. B. die spätere Bemerkung von Steven Weinberg (Physik-Nobelpreis 1979): „Ich habe den Aufsatz mehrmals zu lesen versucht, und obwohl ich die Quantenmechanik zu verstehen glaube, habe ich nie verstanden, wie Heisenberg die mathematischen Schritte in seinem Aufsatz begründete“.

Heisenberg war es schon in der ersten Veröffentlichung gelungen, für die eindimensionalen physikalischen Systeme anharmonischer Oszillator und starrer Rotator mit seiner Vorgehensweise die quantenphysikalisch korrekten Resultate herzuleiten. Jedoch scheiterte er noch am Standardproblem der Quantenphysik, dem H-Atom, also dem dreidimensionalen System Elektron im Coulombpotential. Die Lösung hierzu wurde Anfang 1926 von Wolfgang Pauli veröffentlicht, nachdem die Matrizenmechanik bis Ende 1925 von Max Born, Werner Heisenberg und Pascual Jordan gemeinsam ausgearbeitet worden war. Wichtige Ergebnisse waren unter anderem:

  • Die Matrix für die Hamiltonfunktion ist zeitlich konstant. Ihre Eigenwerte sind die Energien der stationären Zustände.
  • Die zeitliche Ableitung einer Matrix ist durch den Kommutator mit der Hamiltonmatrix gegeben, z. B. .
  • Der Kommutator von Impuls und Ort ist immer und hat die grundlegende Bedeutung einer Quantisierungsvorschrift.

In der Matrizenmechanik wird, nachdem festgelegt ist, welches System betrachtet wird, eine physikalischen Größe ausgewählt und durch eine Matrix repräsentiert, mit deren Hilfe das zeitliche Verhalten dieser Größe für alle Zustände des Systems gleichzeitig ermittelt werden kann (Heisenbergbild). Dafür wird die Matrix derselben Bewegungsgleichung in Matrixform unterworfen, die in der klassischen Mechanik nach Hamilton für diese Größe des Systems gelten würde. Einen grundverschiedenen Ausgangspunkt wählte Erwin Schrödinger, als er Anfang 1926 die Grundlage der Wellenmechanik veröffentlichte: Schrödinger repräsentierte den momentanen Zustand des Systems durch einen orts- und zeitabhängigen „Feldskalar“ und modellierte dessen zeitliches Verhalten durch eine Bewegungsgleichung in Gestalt einer partiellen Differentialgleichung, wie für das Verhalten einer Welle üblich. Auch diese Schrödingergleichung für das betrachtete System baut auf der Hamiltonschen Mechanik auf, wo eine ähnliche Wellengleichung für die klassische Wirkungsfunktion des Systems gilt. Für messbare Größen wie Energien stationärer Zustände und Intensitäten emittierter oder absorbierter Lichtwellen ergaben sich aus Schrödingers Vorgehen dieselben Ergebnisse wie nach Heisenbergs Matrizenmechanik, wenn die -Funktion eine stehende Welle beschreibt und ihr Betragsquadrat als die Verteilung der elektrischen Ladungsdichte angesehen wird. Den Grund für diese Übereinstimmung konnte Schrödinger auch schon 1926 zeigen: Beide Vorgehensweisen sind trotz ihrer großen Unterschiede mathematisch äquivalent; die Elemente der Matrizen lassen sich aus den -Funktionen der stationären Zustände des Systems als Integrale berechnen, und umgekehrt. Beide Herangehensweisen sind als Heisenbergbild bzw. Schrödingerbild Bestandteil der heutigen Quantenmechanik.

Allgemeine Matrixdarstellung der Quantenmechanik Bearbeiten

Im Folgenden soll aus einem abstrakten Hilbertraumvektor und einem Operator auf diesem Hilbertraum deren Vektor- bzw. Matrixdarstellung abgeleitet werden.

Zuerst wähle man im das System beschreibenden Hilbertraum eine Basis (vollständiges Orthonormalensystem) , wobei die Dimension des Hilbertraums abzählbar sei.

Bei folgendem Skalarprodukt schiebt man zweimal eine 1 durch Ausnutzen der Vollständigkeit der Basis und ein:

Durch die Projektionen auf die Basisvektoren erhält man die Koordinatendarstellung mit Vektoren und Matrizen bzgl. :

  • Bra-Zeilenvektor: (lässt sich auch als komplex-konjugierter, transponierter Spaltenvektor schreiben)
  • Operator-Matrix:
  • Ket-Spaltenvektor:

Einer Adjunktion entspricht in der Matrixdarstellung eine komplexe Konjugation und eine zusätzliche Transposition:

Sind die Basisvektoren Eigenvektoren eines Operators , also , so ist die Matrixdarstellung des Operators bzgl. dieser Basis diagonal:

Matrixdarstellung des Heisenbergbildes Bearbeiten

Heisenbergsche Bewegungsgleichung Bearbeiten

Im Heisenberg-Bild sind die Zustände zeitunabhängig und die Operatoren zeitabhängig. Die Zeitabhängigkeit eines Operators ist gegeben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung:

Hierbei ist der Operator für die unitäre Transformation vom Schrödingerbild ins Heisenbergbild und der Kommutator. In der Matrixdarstellung bzgl. einer beliebigen Basis heißt das, dass die Vektoren zeitunabhängig und die Matrizen zeitabhängig sind. Ab sofort wird die Summenkonvention verwendet.

Bezüglich der Energieeigenbasis vereinfacht sich die Darstellung, weil der Hamiltonoperator diagonal ist (der Hamiltonoperator sei explizit zeitunabhängig ):

Lösung der Gleichung für Spezialfälle Bearbeiten

Wenn nicht explizit zeitabhängig ist (), ist die zeitliche Entwicklung gegeben durch

Dabei ist der Zeitentwicklungsoperator und der adjungierte Zeitentwicklungsoperator.

Ist zusätzlich der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabhängig (), so nimmt der Zeitentwicklungsoperator die einfache Form an:

In Matrixdarstellung bzgl. beliebiger Basis (die Exponentialfunktion von Matrizen ist ebenso wie die Exponentialfunktion von Operatoren mittels Reihendarstellung auszuwerten):

bzgl. Energieeigenbasis wird die Zeitentwicklung wieder einfacher:

Durch Einsetzen überprüft man, dass diese Gleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung löst.

Literatur Bearbeiten

  • Günter Ludyk: Quantenmechanik nur mit Matrizen. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-60882-1 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  • Thomas F. Jordan: Quantum mechanics in simple matrix form. Dover Publications, Mineola, N.Y 2006, ISBN 0-486-44530-5.
  • Max Born, Pascual Jordan: Elementare Quantenmechanik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1930, ISBN 3-662-00291-4 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  • D. I. Blokhintsev: Quantum Mechanics. Springer Netherlands, Dordrecht 1964, ISBN 94-010-9711-9 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantenmechanik (= Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 3). Unveränderter Nachdruck der 9. Auflage 1986. Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, Haan-Gruiten 2019, ISBN 978-3-8085-5636-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B. L. van der Waerden: Sources of quantum mechanics. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2007, ISBN 0-486-45892-X.
  2. Herbert Capellmann: The Quantum Theory of Born, Heisenberg, and Jordan. In: The Development of Elementary Quantum Theory. Springer International Publishing, Cham 2017, ISBN 978-3-319-61883-8, S. 23–39, doi:10.1007/978-3-319-61884-5_5 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  3. W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, Nr. 1, Dezember 1925, ISSN 1434-6001, S. 879–893, doi:10.1007/BF01328377 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  4. M. Born, P. Jordan: Zur Quantenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. Band 34, Nr. 1, Dezember 1925, ISSN 1434-6001, S. 858–888, doi:10.1007/BF01328531 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]).
  5. Zitiert nach Ludyk: Quantenmechanik nur mit Matrizen, S. VII
  6. Wolfgang Pauli: Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik., Zeitschrift für Physik, 1926, Bd. 36, S. 336 doi:10.1007/BF01450175
  7. M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan: Zur Quantenmechanik. II. In: Zeitschrift für Physik. Band 35, Nr. 8-9, August 1926, ISSN 1434-6001, S. 557–615, doi:10.1007/BF01379806 (springer.com [abgerufen am 15. März 2022]). Diese Arbeit wurde allgemein als die "Dreimännerarbeit" zitiert.
  8. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem. In: Annalen der Physik. Bd. 79, 1926, S. 361, 489; Bd. 80, 1926, S. 437; und Bd. 81, 1926, S. 109.
  9. Erwin Schrödinger: Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen, Annalen der Physik 79 (1926), S. 734–756.

Weblinks Bearbeiten

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Die Artikel Heisenberg Bild und Matrizenmechanik uberschneiden sich thematisch Informationen die du hier suchst konnen sich also auch im anderen Artikel befinden Gerne kannst du dich an der betreffenden Redundanzdiskussion beteiligen oder direkt dabei helfen die Artikel zusammenzufuhren oder besser voneinander abzugrenzen Anleitung Die Matrizenmechanik ist die von Werner Heisenberg Max Born und Pascual Jordan im Jahr 1925 entwickelte erste Formulierung der Quantenmechanik 1 2 Darin werden mechanische Grossen wie Ort Impuls Energie etc nicht jeweils durch einzelne reelle Zahlenwerte wiedergegeben sondern durch eine je nach dem betrachteten System geeignet zu wahlende Matrix Diese Matrix bezieht sich nicht auf einen bestimmten Zustand des Systems sondern enthalt mit ihren meist unendlich vielen und zum Teil komplexwertigen Elementen die gesamte physikalisch relevante Information zu der betrachteten Grosse in allen moglichen Zustanden des Systems Die Matrizenmechanik weist trotzdem eine starke formale Ahnlichkeit zur klassischen Mechanik auf denn die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen fur die zeitliche Entwicklung der Matrizen werden direkt von den klassischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen der entsprechenden Grosse ubernommen Die Matrizenmechanik ist physikalisch und mathematisch gleichwertig zu der kurz danach von Erwin Schrodinger entwickelten Wellenmechanik Diese geht im Unterschied zur Matrizenmechanik von einem momentanen Zustand des betrachteten Systems aus und ermoglicht die Berechnung von dessen zeitlicher Entwicklung ahnlich zu dem Verhalten einer Welle In einfachen Fallen erlaubt die Wellenmechanik daher einen leichteren Zugang zu einer veranschaulichenden Beschreibung eines quantenmechanischen Systems Die gemeinsame mathematische Grundlage von Matrizenmechanik und Wellenmechanik ist die im Hilbertraum formulierte Quantenmechanik wo die Zustande durch Vektoren und die physikalischen Grossen durch Operatoren beschrieben werden Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Allgemeine Matrixdarstellung der Quantenmechanik 3 Matrixdarstellung des Heisenbergbildes 3 1 Heisenbergsche Bewegungsgleichung 3 2 Losung der Gleichung fur Spezialfalle 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksGeschichte BearbeitenIm Jahr 1925 schlug Heisenberg eine quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen 3 vor um die wachsenden Ungereimtheiten und falschen Voraussagen der damaligen aus dem Bohrschen Atommodell hervorgegangenen halbklassischen Atomtheorie zu beseitigen Damit schuf er als Erster eine Grundlage fur eine streng gultige Quantenmechanik Ausgangsthese war dass grundlegende Begriffe der klassischen Mechanik wie zum Beispiel Ort und Geschwindigkeit in der Mikrophysik moglicherweise tiefgreifend verandert werden mussten Insbesondere musse man die darauf aufbauenden Begriffe wie Bahn oder Umlauffrequzenz eines Elektrons im Atom fur untauglich erklaren und ganz aufgeben denn diese seien nicht nur unbeobachtbar sondern moglicherweise sogar unbrauchbar Stattdessen sollte man ausschliesslich von Grossen ausgehen die an den Atomen beobachtbar sind konkret von den Frequenzen und Intensitaten der Spektrallinien und hieraus die Grundbegriffe neu entwickeln Das Ziel sei eine der klassischen Mechanik analoge quantentheoretische Mechanik auszubilden in welcher nur Beziehungen zwischen beobachtbaren Grossen vorkommen Um die messbaren Grossen Frequenz und Intensitat mit den mechanischen Grossen eines Atommodells zu verbinden wurde gemass der klassischen Elektrodynamik angenommen dass jede Spektrallinie von einer Schwingung x t A e i w t displaystyle x t Ae i omega t nbsp eines Elektrons mit gleicher Frequenz w displaystyle omega nbsp und mit einer der Intensitat entsprechenden Amplitude A displaystyle A nbsp herruhrt Dabei ist die Frequenz gemass dem 2 Bohrschen Postulat ausschliesslich von der Energiedifferenz zwischen dem Anfangs und dem jeweiligen Endzustand dieses Ubergangs bestimmt und hat nichts mehr mit den Umlauffrequenzen der Elektronen auf den in den fruheren Atommodellen angenommenen Bahnen zu tun Die zu samtlichen Spektrallinien eines Atoms gehorenden Schwingungen fasste Heisenberg zu einer Tabelle zusammen in der jede Zeile fur einen Anfangszustand und jede Spalte fur einen Endzustand eines Ubergangs steht Wurde man fur einen bestimmten Anfangszustand alle Schwingungen A e i w t displaystyle Ae i omega t nbsp aus der zugehorigen Tabellenzeile summieren so ergabe sich fur die gesamte Bewegung x t displaystyle x t nbsp des Elektrons in diesem Anfangszustand eine Formel nach Art der klassischen Mechanik Aber statt so zu summieren schlagt Heisenberg nun vor es bei der Tabelle zu belassen also die Bewegung des Elektrons reprasentiert zu denken durch eine Gesamtheit von Grossen der Form A e i w t displaystyle Ae i omega t nbsp Analog wird die Geschwindigkeit x t displaystyle dot x t nbsp durch die Gesamtheit aller Grossen i w A e i w t displaystyle i omega Ae i omega t nbsp reprasentiert die die zeitlichen Ableitungen der einzelnen Schwingungsterme sind Um aus dieser Darstellung eine entsprechende Reprasentation fur beispielsweise x t x t displaystyle x t cdot dot x t nbsp zu gewinnen schlug Heisenberg vor aus den zwei Tabellen fur x t displaystyle x t nbsp und x t displaystyle dot x t nbsp auf eine bestimmte Art eine neue Tabelle fur das Produkt zu bilden Er stellte auch fest dass diese Produktbildung nicht kommutativ ist so dass x t x t displaystyle dot x t cdot x t nbsp durch eine andere Tabelle zu reprasentieren ist Die Differenz wird x x displaystyle x dot x nbsp geschrieben und Kommutator genannt Born und Jordan erkannten dass diese Tabellen mathematisch als Matrizen aufzufassen waren wobei die vorgeschlagene Produktbildung die in der Mathematik schon bekannte Multiplikation zweier Matrizen ausdruckte 4 Zu der Bewertung von Heisenbergs Vorschlag schrieben sie Heisenberg hat die physikalischen Gedanken die ihn dabei geleitet haben in so klarer Weise ausgesprochen dass jede erganzende Bemerkung uberflussig erscheint Das wurde allgemein nicht so gesehen typisch z B die spatere Bemerkung von Steven Weinberg Physik Nobelpreis 1979 Ich habe den Aufsatz mehrmals zu lesen versucht und obwohl ich die Quantenmechanik zu verstehen glaube habe ich nie verstanden wie Heisenberg die mathematischen Schritte in seinem Aufsatz begrundete 5 Heisenberg war es schon in der ersten Veroffentlichung gelungen fur die eindimensionalen physikalischen Systeme anharmonischer Oszillator und starrer Rotator mit seiner Vorgehensweise die quantenphysikalisch korrekten Resultate herzuleiten Jedoch scheiterte er noch am Standardproblem der Quantenphysik dem H Atom also dem dreidimensionalen System Elektron im Coulombpotential Die Losung hierzu wurde Anfang 1926 von Wolfgang Pauli veroffentlicht 6 nachdem die Matrizenmechanik bis Ende 1925 von Max Born Werner Heisenberg und Pascual Jordan gemeinsam ausgearbeitet worden war 7 Wichtige Ergebnisse waren unter anderem Die Matrix fur die Hamiltonfunktion H x p t displaystyle mathcal H x p t nbsp ist zeitlich konstant Ihre Eigenwerte sind die Energien der stationaren Zustande Die zeitliche Ableitung einer Matrix ist durch den Kommutator mit der Hamiltonmatrix gegeben z B x t i ℏ H x displaystyle dot x t tfrac i hbar mathcal H x nbsp Der Kommutator von Impuls und Ort ist immer p x p x x p i ℏ displaystyle p x px xp tfrac i hbar nbsp und hat die grundlegende Bedeutung einer Quantisierungsvorschrift In der Matrizenmechanik wird nachdem festgelegt ist welches System betrachtet wird eine physikalischen Grosse ausgewahlt und durch eine Matrix reprasentiert mit deren Hilfe das zeitliche Verhalten dieser Grosse fur alle Zustande des Systems gleichzeitig ermittelt werden kann Heisenbergbild Dafur wird die Matrix derselben Bewegungsgleichung in Matrixform unterworfen die in der klassischen Mechanik nach Hamilton fur diese Grosse des Systems gelten wurde Einen grundverschiedenen Ausgangspunkt wahlte Erwin Schrodinger als er Anfang 1926 die Grundlage der Wellenmechanik veroffentlichte 8 Schrodinger reprasentierte den momentanen Zustand des Systems durch einen orts und zeitabhangigen Feldskalar ps displaystyle psi nbsp und modellierte dessen zeitliches Verhalten durch eine Bewegungsgleichung in Gestalt einer partiellen Differentialgleichung wie fur das Verhalten einer Welle ublich Auch diese Schrodingergleichung fur das betrachtete System baut auf der Hamiltonschen Mechanik auf wo eine ahnliche Wellengleichung fur die klassische Wirkungsfunktion des Systems gilt Fur messbare Grossen wie Energien stationarer Zustande und Intensitaten emittierter oder absorbierter Lichtwellen ergaben sich aus Schrodingers Vorgehen dieselben Ergebnisse wie nach Heisenbergs Matrizenmechanik wenn die ps displaystyle psi nbsp Funktion eine stehende Welle beschreibt und ihr Betragsquadrat ps 2 displaystyle psi 2 nbsp als die Verteilung der elektrischen Ladungsdichte angesehen wird Den Grund fur diese Ubereinstimmung konnte 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rangle o n delta mn nbsp Matrixdarstellung des Heisenbergbildes BearbeitenHeisenbergsche Bewegungsgleichung Bearbeiten Im Heisenberg Bild sind die Zustande zeitunabhangig und die Operatoren zeitabhangig Die Zeitabhangigkeit eines Operators ist gegeben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung d d t A H i ℏ H A H U t t A S U t displaystyle frac mathrm d mathrm d t hat A rm H frac mathrm i hbar left hat H hat A H right hat U t left frac partial partial t hat A S right hat U dagger t nbsp Hierbei ist U t exp i ℏ H t displaystyle hat U t exp left frac mathrm i hbar hat H t right nbsp der Operator fur die unitare Transformation vom Schrodingerbild ins Heisenbergbild und displaystyle cdot cdot nbsp der Kommutator In der Matrixdarstellung bzgl einer beliebigen Basis heisst das dass die Vektoren zeitunabhangig und die Matrizen zeitabhangig sind Ab sofort wird die Summenkonvention verwendet d d t A n m H i ℏ H n k H A k m H A n k H H k m H U n k t A k l S U l m displaystyle frac mathrm d 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displaystyle hat A H t hat U t dagger hat A H 0 hat U t nbsp Dabei ist U t displaystyle hat U t nbsp der Zeitentwicklungsoperator und U t displaystyle hat U t dagger nbsp der adjungierte Zeitentwicklungsoperator Ist zusatzlich der Hamiltonoperator nicht explizit zeitabhangig t H 0 displaystyle tfrac partial partial t H 0 nbsp so nimmt der Zeitentwicklungsoperator die einfache Form U t exp i ℏ H t displaystyle U t exp left tfrac mathrm i hbar H t right nbsp an A H t exp i ℏ H t A H 0 exp i ℏ H t displaystyle hat A H t exp left tfrac mathrm i hbar H t right hat A H 0 exp left tfrac mathrm i hbar H t right nbsp In Matrixdarstellung bzgl beliebiger Basis die Exponentialfunktion von Matrizen ist ebenso wie die Exponentialfunktion von Operatoren mittels Reihendarstellung auszuwerten A n m H t exp i ℏ H t n k A k l H 0 exp i ℏ H t l m displaystyle A rm nm H t exp left tfrac mathrm i hbar H t right nk A kl H 0 exp left tfrac mathrm i hbar H t right lm nbsp bzgl Energieeigenbasis wird die Zeitentwicklung wieder einfacher A n m H t exp i ℏ E n t d n k A k l H 0 d l m exp i ℏ E m t exp i ℏ E n E m t A n m H 0 displaystyle A rm nm H t exp left tfrac mathrm i hbar E n t right delta nk A kl H 0 delta lm exp left tfrac mathrm i hbar E m t right exp left tfrac mathrm i hbar left E n E m right t right A nm H 0 nbsp Durch Einsetzen uberpruft man dass diese Gleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung d d t A n m H i ℏ E n E m A n m H displaystyle tfrac mathrm d mathrm d t A rm nm H tfrac mathrm i hbar left E n E m right A nm H nbsp lost Literatur BearbeitenGunter Ludyk Quantenmechanik nur mit Matrizen Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2020 ISBN 978 3 662 60882 1 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 Thomas F Jordan Quantum mechanics in simple matrix form Dover Publications Mineola N Y 2006 ISBN 0 486 44530 5 Max Born Pascual Jordan Elementare Quantenmechanik Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 1930 ISBN 3 662 00291 4 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 D I Blokhintsev Quantum Mechanics Springer Netherlands Dordrecht 1964 ISBN 94 010 9711 9 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 L D Landau E M Lifschitz Quantenmechanik Lehrbuch der theoretischen Physik Band 3 Unveranderter Nachdruck der 9 Auflage 1986 Verlag Europa Lehrmittel Nourney Vollmer GmbH amp Co KG Haan Gruiten 2019 ISBN 978 3 8085 5636 8 Einzelnachweise Bearbeiten B L van der Waerden Sources of quantum mechanics Dover Publications Mineola N Y 2007 ISBN 0 486 45892 X Herbert Capellmann The Quantum Theory of Born Heisenberg and Jordan In The Development of Elementary Quantum Theory Springer International Publishing Cham 2017 ISBN 978 3 319 61883 8 S 23 39 doi 10 1007 978 3 319 61884 5 5 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 W Heisenberg Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen In Zeitschrift fur Physik Band 33 Nr 1 Dezember 1925 ISSN 1434 6001 S 879 893 doi 10 1007 BF01328377 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 M Born P Jordan Zur Quantenmechanik In Zeitschrift fur Physik Band 34 Nr 1 Dezember 1925 ISSN 1434 6001 S 858 888 doi 10 1007 BF01328531 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 Zitiert nach Ludyk Quantenmechanik nur mit Matrizen S VII Wolfgang Pauli Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik Zeitschrift fur Physik 1926 Bd 36 S 336 doi 10 1007 BF01450175 M Born W Heisenberg P Jordan Zur Quantenmechanik II In Zeitschrift fur Physik Band 35 Nr 8 9 August 1926 ISSN 1434 6001 S 557 615 doi 10 1007 BF01379806 springer com abgerufen am 15 Marz 2022 Diese Arbeit wurde allgemein als die Dreimannerarbeit zitiert Erwin Schrodinger Quantisierung als Eigenwertproblem In Annalen der Physik Bd 79 1926 S 361 489 Bd 80 1926 S 437 und Bd 81 1926 S 109 Erwin Schrodinger Uber das Verhaltnis der Heisenberg Born Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen Annalen der Physik 79 1926 S 734 756 Weblinks BearbeitenM Zirnbauer Vorlesungsskript Quantenmechanik Institut fur Theoretische Physik Universitat zu Koln 2013 PDF Rekonstruktion der mathematischen Herleitung bezogen auf Z Phys 33 879 893 1925 siehe Einzelnachweise Biographie Max Borns auf wissenschaft online de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Matrizenmechanik amp oldid 237356952