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Wirkung Physik Physikalische GrößeName WirkungFormelzeichen S displaystyle S Größen undEinheitensystem Einheit Dimension

Wirkung (Physik)

Die Wirkung ist in der theoretischen Physik eine physikalische Größe mit der Dimension Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls. Sie hat also dieselbe Dimension wie der Drehimpuls, ist aber in der Quantenmechanik im Gegensatz zum Drehimpuls nicht gequantelt.

Die Wirkung ist ein Funktional, das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet. Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen, dass bei festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt im Phasenraum die Wirkung der physikalischen Bahn unter allen denkbaren Bahnen einen lokalen Extremwert annimmt. Diese Bedingung heißt Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung.

Wirkung eines Punktteilchens Bearbeiten

In der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung jeder zweifach differenzierbaren Bahn , die ein Punktteilchen mit der Zeit von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt durchläuft, den Wert des Integrals

zu. Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion eines Teilchens der Masse , das sich im Potential bewegt, die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit , des Ortes und der Geschwindigkeit ,

Im Integranden der Wirkung wird für der Ort der Bahn zur Zeit und für seine Zeitableitung eingesetzt. Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn .

Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen, die anfänglich durch und schließlich durch laufen, ist die Wirkung der physikalischen Bahn minimal, denn ihre Bewegungsgleichung

ist die Euler-Lagrange-Gleichung der Wirkung .

Beispiel: harmonischer Oszillator Bearbeiten

Beispielsweise ist

die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse und der Federkonstanten .

Die physikalischen Bahnen genügen der Euler-Lagrange-Gleichung, der zufolge zu allen Zeiten die Euler-Ableitung

verschwindet, wenn man für den Ort einsetzt, der zur Zeit durchlaufen wird, und für die Zeitableitung der Bahn .

Die zu gehörigen physikalischen Bahnen erfüllen also

Jede Lösung dieser Gleichung ist von der Form

wobei die Amplitude der Schwingung und ihre Phasenverschiebung ist.

Zur Zeit durchläuft sie den Ort und zur Zeit den Ort .

Ihre Wirkung ist das Integral

Das Integral kann mit dem Additionstheorem

leicht ausgewertet werden, aber das ist für unsere Betrachtungen unerheblich,

Auf jeder anderen Bahn

die zwischenzeitlich um ein wenig von abweicht, , unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in um

Partielle Integration wälzt im ersten Term die Ableitung von ohne Randterme (weil dort verschwindet) mit einem Minuszeichen auf ab und ergibt für alle zwischenzeitlichen Änderungen das Negative des zweiten Terms

Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationär unter allen zwischenzeitlichen Änderungen.

Bedeutung in der Theoretischen Physik Bearbeiten

Die Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend für

Literatur Bearbeiten

Lehrbücher Bearbeiten

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik (= Lehrbuch Physik). 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 978-3-527-40589-3.
  • Andreas Knauf: Mathematische Physik: klassische Mechanik (= Masterclass). 2., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin [Heidelberg] 2017, ISBN 978-3-662-55775-4, doi:10.1007/978-3-662-55776-1.
  • Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 10. Auflage. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2016, ISBN 978-3-527-33960-0.
  • Florian Scheck: Theoretische Physik. 1: Mechanik, von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos (= Springer-Lehrbuch). 8. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-71377-7.

Weiterführende Literatur Bearbeiten

  • Agoston Budó: Theoretische Mechanik (= Hochschulbücher für Physik. Band 25). 8. Auflage. DVW, Berlin 1976 (uni-leipzig.de).
  • V. I. Arnolʹd: Mathematical methods of classical mechanics (= Graduate texts in mathematics. Band 60). 2nd ed Auflage. Springer, New York 1997, ISBN 978-0-387-96890-2 (englisch).
  • Cora S. Lüdde, Reiner M. Dreizler: Theoretical Mechanics (= Graduate Texts in Physics). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-11137-2, doi:10.1007/978-3-642-11138-9 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. L. D. Landau, E. M. Lifschiz: Mechanik (= Lehrbuch der theoretischen Physik). 14., korr. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5612-2.

Weblinks Bearbeiten

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Physikalische GrosseName WirkungFormelzeichen S displaystyle S Grossen undEinheitensystem Einheit DimensionSI J s kg m2 s 1 M L2 T 1Die Wirkung S displaystyle S ist in der theoretischen Physik eine physikalische Grosse mit der Dimension Energie mal Zeit oder Lange mal Impuls Sie hat also dieselbe Dimension wie der Drehimpuls ist aber in der Quantenmechanik im Gegensatz zum Drehimpuls nicht gequantelt Die Wirkung ist ein Funktional das die physikalisch durchlaufenen Bahnen in der Menge der denkbaren Bahnen auszeichnet Die Bewegungsgleichungen der physikalisch durchlaufenen Bahnen besagen dass bei festgehaltenem Anfangs und Endpunkt im Phasenraum die Wirkung der physikalischen Bahn unter allen denkbaren Bahnen einen lokalen Extremwert annimmt Diese Bedingung heisst Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung 1 Inhaltsverzeichnis 1 Wirkung eines Punktteilchens 2 Beispiel harmonischer Oszillator 3 Bedeutung in der Theoretischen Physik 4 Literatur 4 1 Lehrbucher 4 2 Weiterfuhrende Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksWirkung eines Punktteilchens BearbeitenIn der klassischen Mechanik ordnet die Wirkung S displaystyle S nbsp jeder zweifach differenzierbaren Bahn G t x t displaystyle Gamma colon t mapsto x t nbsp die ein Punktteilchen mit der Zeit t displaystyle t nbsp von einem Anfangspunkt x x t 1 displaystyle underline x x t 1 nbsp zu einem Endpunkt x x t 2 displaystyle overline x x t 2 nbsp durchlauft den Wert des Integrals S G t 1 t 2 L t x t d x d t t d t displaystyle S Gamma int t 1 t 2 L left t x t frac mathrm d x mathrm d t t right mathrm d t nbsp zu Dabei ist in Newtons Mechanik die Lagrangefunktion L t x v displaystyle L t x v nbsp eines Teilchens der Masse m displaystyle m nbsp das sich im Potential V t x displaystyle V t x nbsp bewegt die Differenz von kinetischer und potentieller Energie als Funktion der Zeit t displaystyle t nbsp des Ortes x displaystyle x nbsp und der Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp L t x v 1 2 m v 2 V t x displaystyle L t x v frac 1 2 m v 2 V t x nbsp Im Integranden der Wirkung S G displaystyle S Gamma nbsp wird fur x displaystyle x nbsp der Ort x t displaystyle x t nbsp der Bahn zur Zeit t displaystyle t nbsp und fur v displaystyle v nbsp seine Zeitableitung d x d t t displaystyle frac mathrm d x mathrm d t t nbsp eingesetzt Das Integral dieser verketteten Funktion der Zeit ist die Wirkung der Bahn G t x t displaystyle Gamma colon t mapsto x t nbsp Verglichen mit der Wirkung aller anderen zweifach differenzierbaren Bahnen die anfanglich durch x displaystyle underline x nbsp und schliesslich durch x displaystyle overline x nbsp laufen ist die Wirkung der physikalischen Bahn minimal denn ihre Bewegungsgleichung m d 2 x d t 2 x V t x 0 displaystyle m frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 partial x V t x 0 nbsp ist die Euler Lagrange Gleichung der Wirkung S displaystyle S nbsp Beispiel harmonischer Oszillator BearbeitenBeispielsweise ist L t x v 1 2 m v 2 1 2 m w 2 x 2 displaystyle L t x v frac 1 2 mv 2 frac 1 2 m omega 2 x 2 nbsp die Lagrangefunktion eines harmonischen Oszillators mit Masse m displaystyle m nbsp und der Federkonstanten k m w 2 displaystyle kappa m omega 2 nbsp Die physikalischen Bahnen genugen der Euler Lagrange Gleichung der zufolge zu allen Zeiten t displaystyle t nbsp die Euler Ableitung L x d d t L v m w 2 x d d t v displaystyle frac partial L partial x frac mathrm d mathrm d t frac partial L partial v m left omega 2 x frac mathrm d mathrm d t v right nbsp verschwindet wenn man fur x displaystyle x nbsp den Ort x t displaystyle x t nbsp einsetzt der zur Zeit t displaystyle t nbsp durchlaufen wird und fur v displaystyle v nbsp die Zeitableitung der Bahn d d t x t displaystyle frac mathrm d mathrm d t x t nbsp Die zu L displaystyle L nbsp gehorigen physikalischen Bahnen t x t displaystyle t mapsto x t nbsp erfullen also m d 2 d t 2 x t w 2 x t 0 displaystyle m left frac mathrm d 2 mathrm d t 2 x t omega 2 x t right 0 nbsp Jede Losung dieser Gleichung ist von der Form G A a t x t A cos w t a displaystyle Gamma A alpha colon t mapsto x t A cos omega t alpha nbsp wobei A displaystyle A nbsp die Amplitude der Schwingung und a displaystyle alpha nbsp ihre Phasenverschiebung ist Zur Zeit t 1 displaystyle t 1 nbsp durchlauft sie den Ort x A cos w t 1 a displaystyle underline x A cos omega t 1 alpha nbsp und zur Zeit t 2 displaystyle t 2 nbsp den Ort x A cos w t 2 a displaystyle overline x A cos omega t 2 alpha nbsp Ihre Wirkung ist das Integral S G A a t 1 t 2 d t 1 2 m A 2 w 2 sin 2 w t a cos 2 w t a displaystyle S Gamma A alpha int t 1 t 2 mathrm d t frac 1 2 m A 2 omega 2 bigl sin 2 omega t alpha cos 2 omega t alpha bigr nbsp Das Integral kann mit dem Additionstheorem cos 2 b sin 2 b cos 2 b displaystyle cos 2 beta sin 2 beta cos 2 beta nbsp leicht ausgewertet werden aber das ist fur unsere Betrachtungen unerheblich S G A a t 1 t 2 d t 1 2 m A 2 w 2 cos 2 w t a 1 4 m A 2 w sin 2 w t 2 a sin 2 w t 1 a displaystyle S Gamma A alpha int t 1 t 2 mathrm d t frac 1 2 m A 2 omega 2 cos 2 omega t alpha frac 1 4 m A 2 omega bigl sin 2 omega t 2 alpha sin 2 omega t 1 alpha bigr nbsp Auf jeder anderen Bahn G A a d t A cos w t a d t displaystyle Gamma A alpha delta colon t mapsto A cos omega t alpha delta t nbsp die zwischenzeitlich um d t displaystyle delta t nbsp ein wenig von G A a displaystyle Gamma A alpha nbsp abweicht d t 1 d t 2 0 displaystyle delta t 1 delta t 2 0 nbsp unterscheidet sich die Wirkung in erster Ordnung in d displaystyle delta nbsp um d S G A a d S G A a d S G A a t 1 t 2 d t A m w sin w t a d t w cos w t a d t displaystyle delta S Gamma A alpha delta S Gamma A alpha delta S Gamma A alpha int t 1 t 2 mathrm d t A m omega bigl sin omega t alpha dot delta t omega cos omega t alpha delta t bigr nbsp Partielle Integration walzt im ersten Term die Ableitung von d displaystyle dot delta nbsp ohne Randterme weil dort d displaystyle delta nbsp verschwindet mit einem Minuszeichen auf sin w t a displaystyle sin omega t alpha nbsp ab und ergibt fur alle zwischenzeitlichen Anderungen d t displaystyle delta t nbsp das Negative des zweiten Terms d S t 1 t 2 d t A m w 2 cos w t a d t cos w t a d t 0 displaystyle delta S int t 1 t 2 mathrm d t A m omega 2 bigl cos omega t alpha delta t cos omega t alpha delta t bigr 0 nbsp Es ist also die Wirkung jeder physikalischen Bahn stationar unter allen zwischenzeitlichen Anderungen Bedeutung in der Theoretischen Physik BearbeitenDie Wirkung als Funktional von Bahnen oder Feldern ist auch grundlegend fur die relativistische Mechanik die Quantenmechanik vgl Variationsmethode Quantenmechanik die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik die Einsteingleichungen der Allgemeinen Relativitatstheorie das Standardmodell der elementaren Wechselwirkungen Literatur BearbeitenLehrbucher Bearbeiten Herbert Goldstein Charles P Poole John L Safko Klassische Mechanik Lehrbuch Physik 3 vollst uberarb und erw Auflage Wiley VCH Weinheim 2006 ISBN 978 3 527 40589 3 Andreas Knauf Mathematische Physik klassische Mechanik Masterclass 2 uberarbeitete und erganzte Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2017 ISBN 978 3 662 55775 4 doi 10 1007 978 3 662 55776 1 Friedhelm Kuypers Klassische Mechanik 10 Auflage Wiley VCH Verlag GmbH amp Co KGaA Weinheim 2016 ISBN 978 3 527 33960 0 Florian Scheck Theoretische Physik 1 Mechanik von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos Springer Lehrbuch 8 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2007 ISBN 978 3 540 71377 7 Weiterfuhrende Literatur Bearbeiten Agoston Budo Theoretische Mechanik Hochschulbucher fur Physik Band 25 8 Auflage DVW Berlin 1976 uni leipzig de V I Arnolʹd Mathematical methods of classical mechanics Graduate texts in mathematics Band 60 2nd ed Auflage Springer New York 1997 ISBN 978 0 387 96890 2 englisch Cora S Ludde Reiner M Dreizler Theoretical Mechanics Graduate Texts in Physics Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2010 ISBN 978 3 642 11137 2 doi 10 1007 978 3 642 11138 9 englisch Einzelnachweise Bearbeiten L D Landau E M Lifschiz Mechanik Lehrbuch der theoretischen Physik 14 korr Auflage Verlag Europa Lehrmittel Haan Gruiten 2016 ISBN 978 3 8085 5612 2 Weblinks BearbeitenNorbert Dragon Stichworte und Erganzungen zu Mathematische Methoden der Physik PDF 1 9 MB Kapitel 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wirkung Physik amp oldid 229265815