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Variationsmethode Quantenmechanik Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren um eine obere

Variationsmethode (Quantenmechanik)

Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.

Eine verwandte Weiterentwicklung und Anwendung der klassischen Methode sind variierte Quantenalgorithmen (VAQ), um parametrisierte Quantenschaltkreise zu trainieren. Der Ansatz hat das Potential, verschiedene Einschränkungen von Quantencomputern, z. B. Qubits oder Rauschen, zu verbessern.

Verfahren Bearbeiten

Grundzustand Bearbeiten

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist die Entartung eines Eigenwertes , so lässt sich ein beliebiger Zustand als

schreiben, wobei die ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen mit Eigenwerten gilt dann

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für finden, wenn man für eine Schar von Zuständen den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

Angeregte Zustände Bearbeiten

Ist die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert , so lässt sich für einen beliebigen Zustand schreiben

wo . Zerlegt man wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung

da in der Summe der Wert fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

Literatur Bearbeiten

Klassiker oder ältere Werke Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P. Gombás: Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik. Birkhäuser Basel, Basel 1950, ISBN 978-3-0348-6957-7, doi:10.1007/978-3-0348-6956-0 (springer.com [abgerufen am 24. Januar 2023]).
  2. M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles: Variational quantum algorithms. In: Nature Reviews Physics. Band 3, Nr. 9, 12. August 2021, ISSN 2522-5820, S. 625–644, doi:10.1038/s42254-021-00348-9 (englisch, nature.com [abgerufen am 30. Januar 2023]).
  3. Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alán Aspuru-Guzik, Jeremy L. O’Brien: A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor. In: Nature Communications. Band 5, Nr. 1, 23. Juli 2014, ISSN 2041-1723, S. 4213, doi:10.1038/ncomms5213 (englisch, nature.com [abgerufen am 30. Januar 2023]).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Naherungsverfahren um eine obere Schranke fur Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden 1 Eine Verallgemeinerung der Methode fuhrt auf das Min Max Prinzip Eine verwandte Weiterentwicklung und Anwendung der klassischen Methode sind variierte Quantenalgorithmen VAQ um parametrisierte Quantenschaltkreise zu trainieren Der Ansatz hat das Potential verschiedene Einschrankungen von Quantencomputern z B Qubits oder Rauschen zu verbessern 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Verfahren 1 1 Grundzustand 1 2 Angeregte Zustande 2 Literatur 2 1 Klassiker oder altere Werke 3 EinzelnachweiseVerfahren BearbeitenGrundzustand Bearbeiten Das Verfahren basiert darauf dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke fur den Erwartungswert der Messung der Observablen ist Ist g i displaystyle g i nbsp die Entartung eines Eigenwertes i displaystyle i nbsp so lasst sich ein beliebiger Zustand als ps i j 1 g i c i j ps i j displaystyle psi rangle sum i sum j 1 g i c i j psi i j rangle nbsp schreiben wobei die ps i j displaystyle psi i j rangle nbsp ein vollstandiges Orthonormalsystem bilden Fur den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen H displaystyle H nbsp mit Eigenwerten E i displaystyle E i nbsp gilt dann ps H ps i j 1 g i E i c i j 2 E 0 i j 1 g i c i j 2 E 0 ps ps displaystyle langle psi H psi rangle sum i sum j 1 g i E i c i j 2 geq E 0 sum i sum j 1 g i c i j 2 E 0 langle psi psi rangle nbsp Es lasst sich demnach eine obere Schranke fur E 0 displaystyle E 0 nbsp finden wenn man fur eine Schar von Zustanden ps a displaystyle psi alpha rangle nbsp den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht E 0 inf a ps a H ps a ps a ps a displaystyle E 0 leq inf alpha frac langle psi alpha H psi alpha rangle langle psi alpha psi alpha rangle nbsp Angeregte Zustande Bearbeiten Ist ps 0 displaystyle psi 0 rangle nbsp die Eigenfunktion zu einem nicht entarteten Grundzustand mit Eigenwert E 0 displaystyle E 0 nbsp so lasst sich fur einen beliebigen Zustand ps displaystyle psi rangle nbsp schreiben H ps c 0 E 0 ps 0 e f displaystyle H psi rangle c 0 E 0 psi 0 rangle varepsilon varphi rangle nbsp wo f ps 0 displaystyle varphi rangle perp psi 0 rangle nbsp Zerlegt man f displaystyle varphi rangle nbsp wie oben in Eigenzustande erhalt man unter der Nebenbedingung f ps 0 0 displaystyle langle varphi psi 0 rangle 0 nbsp E 1 inf a f a H f a f a f a displaystyle E 1 leq inf alpha frac langle varphi alpha H varphi alpha rangle langle varphi alpha varphi alpha rangle nbsp da in der Summe der Wert i 0 displaystyle i 0 nbsp fehlt Die Suche nach weiteren Eigenzustanden erfolgt analog wobei dann unter Orthogonalitat zu mehreren Teilraumen die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen zu minimieren ist Literatur BearbeitenSiehe auch Variationsrechnung und Quantenmechanik Klassiker oder altere Werke Bearbeiten P Gombas Theorie und Losungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik Birkhauser Basel Basel 1950 ISBN 978 3 0348 6957 7 doi 10 1007 978 3 0348 6956 0 Wolfgang Yourgrau Stanley Mandelstam Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory Dover Publications New York 1979 ISBN 978 0 486 63773 0 Einzelnachweise Bearbeiten P Gombas Theorie und Losungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik Birkhauser Basel Basel 1950 ISBN 978 3 0348 6957 7 doi 10 1007 978 3 0348 6956 0 springer com abgerufen am 24 Januar 2023 M Cerezo Andrew Arrasmith Ryan Babbush Simon C Benjamin Suguru Endo Keisuke Fujii Jarrod R McClean Kosuke Mitarai Xiao Yuan Lukasz Cincio Patrick J Coles Variational quantum algorithms In Nature Reviews Physics Band 3 Nr 9 12 August 2021 ISSN 2522 5820 S 625 644 doi 10 1038 s42254 021 00348 9 englisch nature com abgerufen am 30 Januar 2023 Alberto Peruzzo Jarrod McClean Peter Shadbolt Man Hong Yung Xiao Qi Zhou Peter J Love Alan Aspuru Guzik Jeremy L O Brien A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor In Nature Communications Band 5 Nr 1 23 Juli 2014 ISSN 2041 1723 S 4213 doi 10 1038 ncomms5213 englisch nature com abgerufen am 30 Januar 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Variationsmethode Quantenmechanik amp oldid 230463292