Variationsrechnung

Die Variationsrechnung ist ein mathematisches Teilgebiet in der Analysis, welches Anwendungen in der theoretischen und der mathematischen Physik hat. Sie wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts insbesondere von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem Fachgebiet entwickelt. Die Variationsrechnung, ihre verwandten Themen und Anwendungen sind Gegenstand aktueller Lehre, Weiterentwicklung und Forschung. Die Frage „Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden?“ ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Weitere Beiträge lieferten u. a. die Mathematiker Ennio De Giorgi und Charles Morrey. Ihre Forschungsarbeiten führte zur Lösung des 19. Hilbert-Problems mit der Herausforderung „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“. Die von der deutschen Mathematikerin Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen, spielen heutzutage eine bedeutende Rolle in der modernen Physik (Symmetrie). Der US-Mathematikerin Karen Uhlenbeck wurde 2019 der Abelpreis zugesprochen. Uhlenbeck hat sich intensiv mit der Variationsrechnung befasst.

Grundlagen

Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum (Extremale) oder einen Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme können elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.

Das Schlüsseltheorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung, genauer „Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung“. Diese beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. Wie bei der Aufgabe, die Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, wird sie aus der Analyse kleiner Änderungen (Variation) um die angenommene Lösung hergeleitet. Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine notwendige Bedingung. Weitere notwendige Bedingungen für das Vorliegen einer Extremalen lieferten Adrien-Marie Legendre und Alfred Clebsch sowie Carl Gustav Jacob Jacobi. Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung stammt von Karl Weierstraß. Weierstraß präsentierte ein Gegenbeispiel zum Dirichletschen Prinzip. Basierend auf dieser neuen Erkenntnis („Existenztheorien“) entwickelte sich die Variationsrechnung fortan zu den Direkten Methoden der Variationsrechnung.

Anwendungsgebiete

Historisch

Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das Brachistochronenproblem: Auf welcher Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt A zu einem Punkt B, der unterhalb, aber nicht direkt unter A liegt, benötigt ein Objekt die geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine den Ausdruck, der die Zeit des Durchlaufens der Kurve beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral, das die unbekannte, gesuchte Funktion, die die Kurve von A nach B beschreibt, und deren Ableitungen enthält.

Ingenieurwesen

Die Variationsrechnung findet Anwendung in der Steuerungs- und Regelungstheorie, wenn es um die Bestimmung von Optimalreglern geht. Die aus dem Verfahren von Ritz weiterentwickelte Finite-Elemente-Methode findet z. B. Anwendung in der Strukturmechanik.

Mathematik

Die Methoden der Variationsrechnung tauchen bei den Hilbertraum-Techniken, der Morsetheorie und bei der symplektischen Geometrie auf. Der Begriff Variation wird für alle „Extremal-Probleme“ von Funktionen verwendet. Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik, in denen Variationen eine Rolle spielen, bzw. mittels dieser weiterentwickelt wird. Besonders am Problem der minimalen Oberflächen (vgl. auch Plateau-Problem), die etwa bei Seifenblasen auftreten, wurde viel gearbeitet. Variationsmethoden finden Anwendung bei den partiellen Differentialgleichungen. In der Mathematik wurde die Variationsrechnung beispielsweise bei der riemannschen Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen verwendet.

Andere Weiterentwicklungen existieren, z. B. Γ-Konvergenz, stochastische Variationsmethoden.

Physik

Die Variationsrechnung ist die mathematische Grundlage aller physikalischen Extremalprinzipien und deshalb besonders in der theoretischen Physik wichtig, so etwa im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik bzw. der Bahnbestimmung, in der Quantenmechanik in Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung und in der statistischen Physik im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie.

Direkte Methoden der Variationsrechnung

Grundlegend ist der Euler-Lagrange Ansatz effektiv im Auffinden von Extremalen von Funktionalen. Jedoch ist bereits bei mehreren Variablen, wo die Euler-Lagrange-Gleichung eine partielle Differentialgleichung darstellt, es nicht möglich eine explizite Lösung zu finden. Weitere Einschränkungen existieren. Hingegen gehen die sog. Direkten Methoden der Variationsrechnung auf den generellen Fall ein, welcher der Frage nachgeht, unter welchen generellen Bedingungen können Funktionale minimiert werden? Die Ansätze bedienen sich dabei stark aus den Methoden der Funktionalanalysis. Wichtige Theoreme und Beiträge zur Methode erfolgten durch Tonelli, Ascoli, Arzelà und Hilbert.

Zu den direkten Methoden der Variationsrechnung zählen z. B. das Approximationsverfahren nach Ritz oder das Differenzenverfahren nach Euler. Die mathematische Theorie dazu hat Zusammenhänge mit der Theorie der Konvexen Analysis.

Euler-Lagrange-Gleichung

Zentrales Element bildet die Euler-Lagrange-Gleichung

die für gerade zur Lagrange-Gleichung aus der klassischen Mechanik wird. ist dabei die Variation, die sog. Lagrangefunktion und das Funktional. Mehr dazu siehe die Herleitung.

Ein Hilfsmittel aus der Analysis reeller Funktionen in einer reellen Veränderlichen

Im Folgenden wird eine wichtige Technik der Variationsrechnung demonstriert, bei der eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle einer reellen Funktion mit nur einer reellen Veränderlichen in eine notwendige Aussage für eine lokale Minimumstelle eines Funktionals übertragen wird. Diese Aussage kann dann oftmals zum Aufstellen beschreibender Gleichungen für stationäre Funktionen eines Funktionals benutzt werden.

Sei ein Funktional auf einem Funktionenraum gegeben ( muss mind. ein topologischer Raum sein). Das Funktional habe an der Stelle ein lokales Minimum.

Durch den folgenden einfachen Trick tritt an die Stelle des „schwierig handhabbaren“ Funktionals eine reelle Funktion , die nur von einem reellen Parameter abhängt „und entsprechend einfacher zu behandeln ist“.

Mit einem sei eine beliebige stetig durch den reellen Parameter parametrisierte Familie von Funktionen . Dabei sei die Funktion (d. h., für ) gerade gleich der stationären Funktion . Außerdem sei die durch die Gleichung

definierte Funktion an der Stelle differenzierbar.

Die stetige Funktion nimmt dann an der Stelle ein lokales Minimum an, da ein lokales Minimum von ist.

Aus der Analysis für reelle Funktionen in einer reellen Veränderlichen ist bekannt, dass dann gilt. Auf das Funktional übertragen heißt das

Beim Aufstellen der gewünschten Gleichungen für stationäre Funktionen wird dann noch ausgenutzt, dass die vorstehende Gleichung für jede beliebige („gutartige“) Familie mit gelten muss.

Das soll im nächsten Abschnitt anhand der Euler-Gleichung demonstriert werden.

Euler-Lagrange-Gleichung; Variationsableitung; weitere notwendige bzw. hinreichende Bedingungen

Gegeben seien zwei Zeitpunkte mit und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die Lagrangefunktion

Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse und

das Gebiet das kartesische Produkt von und dem Inneren der Einheitskugel.

Als Funktionenraum wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen

gewählt, die zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt die fest vorgegebenen Orte bzw. einnehmen:

und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in liegen,

Mit der Lagrangefunktion wird nun das Funktional , die Wirkung, durch

definiert. Gesucht ist diejenige Funktion , die die Wirkung minimiert.

Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien , die für durch die stationäre Funktion des Funktionals gehen (es gilt also ). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung

Hereinziehen der Differentiation nach dem Parameter in das Integral liefert mit der Kettenregel

Dabei stehen für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und für die partielle Ableitung nach dem Parameter .

Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt wie im ersten Integral steht. Das erreicht man durch partielle Integration:

An den Stellen und gelten unabhängig von die Bedingungen und . Ableiten dieser beiden Konstanten nach liefert . Deshalb verschwindet der Term und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von die Gleichung

und mit

Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen bis auf die Bedingungen beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung also nur dann für alle zulässigen erfüllt sein, wenn der Faktor im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion die Euler-Lagrange-Gleichung

die für alle erfüllt sein muss.

Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion ,

Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung als Variation bezeichnet. Dann ist die Variation von . Die Variation der Wirkung

ist wie bei eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten heißen Variationsableitung des Funktionals . Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion

Bemerkungen

Die Funktion für und

Bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichung wurde berücksichtigt, dass eine stetige Funktion , die für alle mindestens zweimal stetig differenzierbaren Funktionen mit bei Integration über

den Wert null ergibt, identisch gleich null sein muss.

Das ist leicht einzusehen, wenn man berücksichtigt, dass es zum Beispiel mit

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion gibt, die in einer -Umgebung eines willkürlich herausgegriffenen Zeitpunktes positiv und ansonsten null ist. Gäbe es eine Stelle , an der die Funktion größer oder kleiner null wäre, so wäre sie aufgrund der Stetigkeit auch noch in einer ganzen Umgebung dieser Stelle größer bzw. kleiner null. Mit der eben definierten Funktion ist dann jedoch das Integral im Widerspruch zur Voraussetzung an ebenfalls größer bzw. kleiner null. Die Annahme, dass an einer Stelle ungleich null wäre, ist also falsch. Die Funktion ist also wirklich identisch gleich null.

Ist der Funktionenraum ein affiner Raum, so wird die Familie in der Literatur oftmals als Summe mit einer frei wählbaren Zeitfunktion festgelegt, die der Bedingung genügen muss. Die Ableitung ist dann gerade die Gateaux-Ableitung des Funktionals an der Stelle in Richtung . Die hier vorgestellte Version erscheint dem Autor etwas günstiger, wenn die Funktionenmenge kein affiner Raum mehr ist (wenn sie beispielsweise durch eine nichtlineare Nebenbedingung eingeschränkt ist; siehe etwa gaußsches Prinzip des kleinsten Zwanges). Sie ist ausführlicher bei Smirnow dargestellt und lehnt sich an die Definition von Tangentialvektoren an Mannigfaltigkeiten an.

Im Falle eines weiteren, einschränkenden Funktionals , der den Funktionenraum dadurch einschränkt, dass gelten soll, kann man analog zum reellen Fall das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren anwenden:

für beliebiges und ein festes .

Verallgemeinerung für höhere Ableitung und Dimensionen

Die obige Herleitung mittels partieller Integration lässt sich auf Variationsprobleme der Art

übertragen, wobei in den Abhängigkeiten Ableitungen (siehe Multiindex-Notation) auch höherer Ordnung auftauchen, etwa bis zur Ordnung . ist gerade der Differentialoperator. In diesem Fall lautet die Euler-Lagrange-Gleichung:

wobei die Euler-Ableitung als

zu verstehen ist. Hierbei sind in in selbsterklärender Weise symbolisch die entsprechende Abhängigkeit von repräsentiert, steht für den konkreten Wert der Ableitung von . Insbesondere wird auch über summiert.

Weiterführende Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen für mehrere Funktionen, Dimensionen und auf Mannigfaltigkeiten können gemacht werden. In diesem Zusammenhang ist es günstig, einen sog. Euler-Operator einzuführen und davon gebrauch zu machen, wobei verschiedene Ansätze für den Operator existieren.

Siehe auch

• Banachraum
• Ginzburg-Landau-Theorie (vgl. auch Landau-Theorie)
• Hamilton-Jacobi-Formalismus
• Schwingers Quantenwirkungsprinzip
• Variation der Elemente

Weblinks

Journale & andere Beiträge

• Calculus of Variations and Partial Differential Equations (ISSN 1432-0835)
• Advances in Calculus of Variations (ISSN 1864-8266)
• Alessio Figalli, Robert V. Kohn, Tatiana Toro, Neshan Wickramasekera: Calculus of Variations. In: Oberwolfach Reports. Band 17, Nr. 2, 1. Juli 2021, S. 1139–1196, doi:10.4171/owr/2020/22. 

Schools & Workshops

• 2nd Austrian Calculus of Variations Day (2022) – Universität Wien
• Advances in Calculus of Variations (2022) – Verschiedene Sponsoren
• Trends in Calculus of Variations and PDEs (2022) – University of Sussex, Universität Gent

Skripte

• Andreas Klaiber: Variationsrechnung. 2016 (uni-konstanz.de [PDF]). 
• Erich Miersemann: Calculus of Variations. 2021 (englisch, uni-leipzig.de [PDF]). 
• Peter J. Olver: The Calculus of Variations. 2022 (englisch, umn.edu [PDF]). 

Literatur

Moderne Lehrbücher

• Hansjörg Kielhöfer: Calculus of Variations (= Texts in Applied Mathematics. Band 67). Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-71122-5, doi:10.1007/978-3-319-71123-2 (englisch). 
• Francis Clarke: Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control (= Graduate Texts in Mathematics. Band 264). Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4819-7, doi:10.1007/978-1-4471-4820-3. 

Monografien

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Springer, Vienna 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, doi:10.1007/978-3-7091-2260-0. 
• Mariano Giaquinta, Stefan Hildebrandt: Calculus of Variations I (= A. Chenciner u. a. [Hrsg.]: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 310). Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-642-08074-6, doi:10.1007/978-3-662-03278-7. 
• Mariano Giaquinta, Stefan Hildebrandt: Calculus of Variations II (= A. Chenciner u. a. [Hrsg.]: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 311). Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-642-08192-7, doi:10.1007/978-3-662-06201-2. 
• Jürgen Jost, Xianqing Li-Jost: Calculus of variations (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 64). 1. publ Auflage. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-05712-7 (englisch). 

Klassische und historische Werke

• Oskar Bolza: Vorlesungen über Variationsrechnung. B. G. Teubner, Leipzig u. a. 1909, (Digitalisat). Dover 2018 (englisch).
• Paul Funk: Variationsrechnung und ihre Anwendung in Physik und Technik. Springer, Berlin/Heidelberg 1970, ISBN 978-3-642-88598-3, doi:10.1007/978-3-642-88597-6. 
• I. M. Gelfand, S. W. Fomin: Calculus of variations. Dover Publications, Mineola, NY 2000, ISBN 978-0-486-41448-5 (Originaltitel: Calculus of variations. 1963. Übersetzt von Richard A. Silverman). 
• Adolf Kneser: Variationsrechnung. In: Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Band 2: Analysis. Teil 1. B. G. Teubner, Leipzig 1898, S. 571–625.
• S. G. Michlin: Variationsmethoden der mathematischen Physik. Akademie-Verlag, Berlin 1962. 
• Paul Stäckel (Hrsg.): Abhandlungen über Variations-Rechnung. 2 Theile. Wilhelm Engelmann, Leipzig 1894;
  • Theil 1: Abhandlungen von Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 46, ISSN 0232-3419). 1894, (Digitalisat);
  • Theil 2: Abhandlungen von Lagrange (1762, 1770), Legendre (1786), und Jacobi (1837) (= Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften. 47). 1894, (Digitalisat).
• Friedrich Stegmann; Lehrbuch der Variationsrechnung und ihrer Anwendung bei Untersuchungen über das Maximum und Minimum. Kassel, Luckhardt, 1854.

Einzelnachweise

1. Jeremy Gray: Change and Variations: A History of Differential Equations to 1900 (= Springer Undergraduate Mathematics Series). Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-03070574-9, doi:10.1007/978-3-030-70575-6 (englisch). 
2. Mathematik für Physiker 2 (= Springer-Lehrbuch). Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72251-9, doi:10.1007/978-3-540-72252-6. 
3. Hubert Goldschmidt, Shlomo Sternberg: The Hamilton-Cartan formalism in the calculus of variations. In: Annales de l’institut Fourier. Band 23, Nr. 1, 1973, ISSN 0373-0956, S. 203–267, doi:10.5802/aif.451 (centre-mersenne.org [abgerufen am 21. Oktober 2022]). 
4. Vladimir I. Pupyshev, H. E. Montgomery: Some problems in applications of the linear variational method. In: European Journal of Physics. Band 36, Nr. 5, 1. September 2015, ISSN 0143-0807, S. 055043, doi:10.1088/0143-0807/36/5/055043. 
5. E. Noether, M. A. Tavel: Invariant Variation Problems. In: Transport Theory and Statistical Physics. Band 1, Nr. 3, Januar 1971, ISSN 0041-1450, S. 186–207, doi:10.1080/00411457108231446, arxiv:physics/0503066. 
6. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Klassische Variationsprobleme. In: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Springer Vienna, Wien 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, S. 74–124, doi:10.1007/978-3-7091-2260-0_6. 
7. The Abel Prize. 2019: Karen Keskulla Uhlenbeck. Abgerufen am 18. Oktober 2022. 
8. Simon Donaldson: Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 66, Nr. 03, 1. März 2019, ISSN 0002-9920, S. 1, doi:10.1090/noti1806 (ams.org [PDF; abgerufen am 18. Oktober 2022]). 
9. Richard Courant, Herbert Robbins: Siebentes Kapitel. Maxima und Minima. In: Was ist Mathematik? Springer, Berlin/Heidelberg 2001, ISBN 978-3-642-13700-6, S. 251–301, doi:10.1007/978-3-642-13701-3_7. 
10. Weierstrass conditions (for a variational extremum) – Encyclopedia of Mathematics. Abgerufen am 19. Oktober 2022. 
11. Weierstrass-Erdmann corner conditions – Encyclopedia of Mathematics. Abgerufen am 19. Oktober 2022. 
12. Hansjörg Kielhöfer: Calculus of Variations (= Texts in Applied Mathematics. Texts in Applied Mathematics). Band 67. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-71122-5, doi:10.1007/978-3-319-71123-2 (englisch). 
13. Peter Steinke: Einleitung. In: Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung. Springer, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 978-3-662-07240-0, S. 1–11, doi:10.1007/978-3-662-07240-0_1. 
14. G. Sardanashvily: Classical field theory. Advanced mathematical formulation. In: International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. Band 05, Nr. 07, November 2008, ISSN 0219-8878, S. 1163–1189, doi:10.1142/S0219887808003247, arxiv:0811.0331 [abs]. 
15. Michael Struwe: Plateau’s Problem and the Calculus of Variations. (MN-35). Princeton University Press, 1989, ISBN 978-1-4008-6021-0, doi:10.1515/9781400860210. 
16. Michael Struwe: Variational Methods. Band 34. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-74012-4, doi:10.1007/978-3-540-74013-1. 
17. Jürgen Jost: The Dirichlet Principle. Variational Methods for the Solution of PDEs (Existence Techniques III). In: Partial Differential Equations. Springer, New York, NY 2013, ISBN 978-1-4614-4809-9, S. 215–253, doi:10.1007/978-1-4614-4809-9_10. 
18. Kunio Yasue: Stochastic calculus of variations. In: Journal of Functional Analysis. Band 41, Nr. 3, 1. Mai 1981, ISSN 0022-1236, S. 327–340, doi:10.1016/0022-1236(81)90079-3 (sciencedirect.com [abgerufen am 17. Oktober 2022]). 
19. Wolfgang Yourgrau, Stanley Mandelstam: Variational principles in dynamics and quantum theory. 3. Auflage. Dover Publications, 1968, ISBN 0-273-40287-0. 
20. Francis Clarke: Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control (= Graduate Texts in Mathematics. Band 264). Springer London, London 2013, ISBN 978-1-4471-4819-7, doi:10.1007/978-1-4471-4820-3. 
21. Arnold Dresden: Book Review: Fondamenti di Calcolo delle Variazioni. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 32, Nr. 4, 1926, ISSN 0002-9904, S. 381–387, doi:10.1090/S0002-9904-1926-04231-2 (ams.org [abgerufen am 19. Oktober 2022]). 
22. Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Springer Vienna, Vienna 1982, ISBN 978-3-7091-2261-7, doi:10.1007/978-3-7091-2260-0. 
23. Bernard Dacorogna: Direct Methods in the Calculus of Variations. Springer New York, New York, NY 2007, ISBN 978-0-387-35779-9, doi:10.1007/978-0-387-55249-1. 
24. R. Tyrrell Rockafellar, Roger J. B. Wets: Variational Analysis (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 317). Springer, Berlin/Heidelberg 1998, ISBN 978-3-540-62772-2, doi:10.1007/978-3-642-02431-3. 
25. Wladimir I. Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik (= Hochschulbücher für Mathematik. Bd. 5a). Teil 4, 1. (14. Auflage, deutschsprachige Ausgabe der 6. russischen Auflage). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00366-8.
26. Siehe auch Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker. Band 3: Variationsrechnung, Differentialgeometrie, mathematische Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2006, ISBN 3-8351-0031-9.
27. Sadri Hassani: Calculus of Variations, Symmetries, and Conservation Laws. In: Mathematical Physics. Springer International Publishing, Cham 2013, ISBN 978-3-319-01194-3, S. 1047–1075, doi:10.1007/978-3-319-01195-0_33. 
28. Euler operator – Encyclopedia of Mathematics. Abgerufen am 21. Oktober 2022.