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Brachistochrone Die gr brachistos kürzeste chronos Zeit ist die Bahn zwischen einem Anfangs und einem gleich hoch oder t

Brachistochrone

Die Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit) ist die Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein sich reibungsfrei bewegender Massenpunkt, der mit Geschwindigkeit Null startet, unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Der tiefste Punkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt.

Experiment: Welche Bahn ist die schnellste? (Ausstellung Elementa im Landesmuseum für Technik und Arbeit, Mannheim)
Brachistochrone
Tautochronie der Brachistochrone – von jedem Startpunkt auf der Kurve erreichen die Kugeln das „Ziel“ gleichzeitig.

Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn, auch wenn diese kürzer ist, beispielsweise geradlinig.

Wenn die Kurve am Ende waagrecht verläuft, also am tiefsten Punkt endet, dann ist sie zugleich eine Tautochrone, d. h. von jedem anderen Startpunkt auf der Kurve benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit, um zum Endpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt.

Form Bearbeiten

Die Brachistochrone ist Teil einer Zykloide.

Geschichte Bearbeiten

Johann I Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung.

Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wett- bzw. zunichtegemacht.

Funktion Bearbeiten

Die Brachistochrone lässt sich in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels (im Bogenmaß), um den sich das Rad mit Radius beim Abrollen gedreht hat, sind die - und -Koordinaten:

Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke.

Herleitung Bearbeiten

Betrachten wir in der --Ebene eine Kurve , längs welcher der Massepunkt vom Start mit fortlaufender Zeit zum Ziel gleite.

Er hat die kinetische Energie

und die potentielle Energie

Dabei ist die Höhe im Gravitationsfeld und die Schwerebeschleunigung.

Gleitet der anfänglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los, so ist längs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfänglichen Wert Null,

Dies kann nach aufgelöst werden. Die Ableitung der Umkehrfunktion, , die angibt, zu welchem Zeitpunkt das Teilchen den Ort durchläuft, ist hierzu invers

Integrieren wir über den -Bereich von 0 bis , so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit als Funktional der Bahnkurve

Um an die bei physikalischen Variationsproblemen üblichen Bezeichnungen anzuschließen, nennen wir die Integrationsvariable die "Zeit" (also ), bezeichnen mit und minimieren einfachheitshalber das mit multiplizierte Funktional. Wir minimieren also die "Wirkung"

und der Integrand hat also die Rolle einer Lagrangefunktion:

Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter, der "Zeit" abhängt, ist die nach dem Noether-Theorem zugehörige "Energie" / Hamilton-Funktion

auf der Bahn erhalten, für die minimal wird. Die Funktion erfüllt also mit einer positiven Konstanten die Gleichung

wie ein Teilchen, das im Keplerpotential senkrecht aus der Gipfelhöhe fällt.

Statt diese Gleichung mit getrennten Veränderlichen nach aufzulösen und zu integrieren, bestätigt man einfach, dass

eine parametrische Lösung dieser Gleichung ist, wobei man

ausnutzt. Also ist die gesuchte Bahn parametrisch gegeben durch

Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich, dass die Bahn sich aus den Ortsvektoren der Nabe eines Rades mit Radius zusammensetzt, das unter der -Achse rollt, plus dem Speichenvektor, der anfänglich nach oben zeigt und mit dem Winkel gedreht wird. Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades.

Spezielle Eigenschaften der Bahn Bearbeiten

  • Die Bahn ist unabhängig von der Masse und der Gewichtskraft des Körpers, also unabhängig von der Größe der Erdbeschleunigung.
  • Ebenso ändert eine rollende Kugel, die Rotationsenergie aufnimmt, nichts an der Idealkurve.
  • Die Tangente im Anfangspunkt ist senkrecht.
  • Haben zwei Brachistochronen dasselbe Gefälle zwischen Anfangs- und Endpunkt, sind sie ähnlich.
  • Ist das Gefälle nicht kleiner als 2/π (63,66 %), so ist der Endpunkt der tiefste Punkt der Kurve, bei kleinerem Gefälle liegt der Tiefpunkt zwischen Anfangs- und Endpunkt.
  • Ist das Gefälle 0, also liegen Anfangs- und Endpunkt auf derselben Höhe, ist die Kurve symmetrisch.

Bilder Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Brachistochrone – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Belege Bearbeiten

  1. Für die anderen Startpunkte beginnt die Bahn jedoch nicht vertikal, für diese ist sie damit keine Brachistochrone (#Spezielle Eigenschaften der Bahn).
    Siehe auch Seite 17 von Ulrich Mende: Brachistochrone - Ableitung, Eigenschaften und lineare Approximation. Abgerufen am 23. September 2023.
  2. Acta eruditorum. (1696). Siehe Istvan Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Dritte korrigierte und erweiterte Auflage 1987, S. 110, ISBN 978-3-0348-9980-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Brachistochrone gr brachistos kurzeste chronos Zeit ist die Bahn zwischen einem Anfangs und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt auf der ein sich reibungsfrei bewegender Massenpunkt der mit Geschwindigkeit Null startet unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet Der tiefste Punkt der Bahn kann tiefer liegen als der Endpunkt Experiment Welche Bahn ist die schnellste Ausstellung Elementa im Landesmuseum fur Technik und Arbeit Mannheim BrachistochroneTautochronie der Brachistochrone von jedem Startpunkt auf der Kurve erreichen die Kugeln das Ziel gleichzeitig Der Korper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn auch wenn diese kurzer ist beispielsweise geradlinig Wenn die Kurve am Ende waagrecht verlauft also am tiefsten Punkt endet dann ist sie zugleich eine Tautochrone d h von jedem anderen Startpunkt auf der Kurve benotigt der Massepunkt die gleiche Zeit um zum Endpunkt zu gelangen 1 Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt Inhaltsverzeichnis 1 Form 2 Geschichte 3 Funktion 4 Herleitung 5 Spezielle Eigenschaften der Bahn 6 Bilder 7 Weblinks 8 BelegeForm BearbeitenDie Brachistochrone ist Teil einer Zykloide Geschichte BearbeitenJohann I Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschaftigt Im Jahre 1696 fand er schliesslich die Losung in der Brachistochrone 2 Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung Christiaan Huygens veroffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel bei dem er sich die Tatsache zunutze machte dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhohte Reibung wett bzw zunichtegemacht Funktion BearbeitenDie Brachistochrone lasst sich in einer Parameterdarstellung beschreiben das heisst man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen der sich mit einem Parameter andert Als Funktion des Winkels f displaystyle varphi nbsp im Bogenmass um den sich das Rad mit Radius R displaystyle R nbsp beim Abrollen gedreht hat sind die x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp Koordinaten x R f sin f displaystyle x R cdot varphi sin varphi nbsp y R 1 cos f displaystyle y R cdot 1 cos varphi nbsp Hilfreich fur das Verstehen dieser Kurve ist Der Radius mal dem Winkel Beruhrungspunkt des Kreises Kreismittelpunkt Brachistochronenpunkt ist die bereits abgerollte Strecke Herleitung BearbeitenBetrachten wir in der x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene eine Kurve y x displaystyle y x nbsp langs welcher der Massepunkt vom Start x y 0 0 displaystyle x y 0 0 nbsp mit fortlaufender Zeit t displaystyle t nbsp zum Ziel x y displaystyle overline x overline y nbsp gleite Er hat die kinetische Energie E kin 1 2 m v 2 1 2 m v x 2 v y 2 1 2 m d x d t 2 d y d x d x d t 2 1 2 m d x d t 2 1 d y d x 2 displaystyle E text kin frac 1 2 m v 2 frac 1 2 m v x 2 v y 2 frac 1 2 m left left frac mathrm d x mathrm d t right 2 left frac mathrm d y mathrm d x frac mathrm d x mathrm d t right 2 right frac 1 2 m left frac mathrm d x mathrm d t right 2 left 1 left frac mathrm d y mathrm d x right 2 right nbsp und die potentielle Energie E pot m g y x displaystyle E text pot m cdot g cdot y x nbsp Dabei ist y displaystyle y nbsp die Hohe im Gravitationsfeld und g displaystyle g nbsp die Schwerebeschleunigung Gleitet der anfanglich ruhende Massepunkt vom Ursprung los so ist langs seiner Bahn die Gesamtenergie erhalten und hat den anfanglichen Wert Null 0 1 2 m d x d t 2 1 d y d x 2 m g y x displaystyle 0 frac 1 2 m left frac mathrm d x mathrm d t right 2 left 1 left frac mathrm d y mathrm d x right 2 right m cdot g cdot y x nbsp Dies kann nach d x d t displaystyle tfrac mathrm d x mathrm d t nbsp aufgelost werden Die Ableitung der Umkehrfunktion t x displaystyle t x nbsp die angibt zu welchem Zeitpunkt das Teilchen den Ort x y x displaystyle x y x nbsp durchlauft ist hierzu invers d t d x 1 d y d x 2 2 g y displaystyle frac mathrm d t mathrm d x sqrt frac 1 frac mathrm d y mathrm d x 2 2 g y nbsp Integrieren wir uber den x displaystyle x nbsp Bereich von 0 bis x displaystyle overline x nbsp so ergibt sich die zu minimierende Laufzeit T displaystyle T nbsp als Funktional der Bahnkurve y x displaystyle y x nbsp T y 1 2 g 0 x 1 d y d x 2 y d x displaystyle T y frac 1 sqrt 2 g int 0 overline x sqrt frac 1 frac mathrm d y mathrm d x 2 y mathrm d x nbsp Um an die bei physikalischen Variationsproblemen ublichen Bezeichnungen anzuschliessen nennen wir die Integrationsvariable die Zeit t displaystyle tau nbsp also t x displaystyle overline tau overline x nbsp bezeichnen y displaystyle y nbsp mit q displaystyle q nbsp und minimieren einfachheitshalber das mit 2 g displaystyle sqrt 2 g nbsp multiplizierte Funktional Wir minimieren also die Wirkung W q 0 t 1 d q d t 2 q d t displaystyle W q int 0 overline tau sqrt frac 1 frac mathrm d q mathrm d tau 2 q mathrm d tau quad nbsp wobei die Zeit Grenzen fest sind und der Integrand hat also die Rolle einer Lagrangefunktion L t q v 1 v 2 q displaystyle mathcal L tau q v sqrt frac 1 v 2 q quad nbsp Da die Lagrangefunktion nicht vom Integrationsparameter der Zeit t displaystyle tau nbsp abhangt ist die nach dem Noether Theorem zugehorige Energie Hamilton Funktion H v v L L 1 q 1 v 2 displaystyle H v partial v mathcal L mathcal L frac 1 sqrt q 1 v 2 nbsp auf der Bahn q t displaystyle q tau nbsp erhalten fur die W q displaystyle W q nbsp minimal wird Die Funktion q t displaystyle q tau nbsp erfullt also mit einer positiven Konstanten R displaystyle R nbsp die Gleichung 1 d q d t 2 q 2 R displaystyle left 1 left frac mathrm d q mathrm d tau right 2 right q 2 R nbsp oder d q d t 2 2 R q 1 displaystyle left frac mathrm d q mathrm d tau right 2 frac 2 R q 1 nbsp wie ein Teilchen das im Keplerpotential 1 q displaystyle propto 1 q nbsp senkrecht aus der Gipfelhohe 2 R displaystyle 2 R nbsp fallt Statt diese Gleichung mit getrennten Veranderlichen nach d q d t displaystyle tfrac mathrm d q mathrm d tau nbsp aufzulosen und zu integrieren bestatigt man einfach dass t f R f sin f q f R 1 cos f displaystyle tau varphi R varphi sin varphi q varphi R 1 cos varphi nbsp eine parametrische Losung dieser Gleichung ist wobei man d q d t d q d f d t d f sin f 1 cos f displaystyle frac mathrm d q mathrm d tau frac frac mathrm d q mathrm d varphi frac mathrm d tau mathrm d varphi frac sin varphi 1 cos varphi nbsp ausnutzt Also ist die gesuchte Bahn x y x displaystyle x y x nbsp parametrisch gegeben durch x f y f R f sin f cos f 1 R f 1 cos f sin f sin f cos f 0 R displaystyle begin pmatrix x varphi y varphi end pmatrix R begin pmatrix varphi sin varphi cos varphi 1 end pmatrix R begin pmatrix varphi 1 end pmatrix begin pmatrix cos varphi amp sin varphi sin varphi amp cos varphi end pmatrix begin pmatrix 0 R end pmatrix nbsp Dabei wird an der letzten Zerlegung deutlich dass die Bahn y x displaystyle y x nbsp sich aus den Ortsvektoren R f 1 displaystyle R varphi 1 nbsp der Nabe eines Rades mit Radius R displaystyle R nbsp zusammensetzt das unter der x displaystyle x nbsp Achse rollt plus dem Speichenvektor der anfanglich nach oben zeigt und mit dem Winkel f displaystyle varphi nbsp gedreht wird Die Kurve ist die Bahn eines Randpunktes eines rollenden Rades Spezielle Eigenschaften der Bahn BearbeitenDie Bahn ist unabhangig von der Masse und der Gewichtskraft des Korpers also unabhangig von der Grosse der Erdbeschleunigung Ebenso andert eine rollende Kugel die Rotationsenergie aufnimmt nichts an der Idealkurve Die Tangente im Anfangspunkt ist senkrecht Haben zwei Brachistochronen dasselbe Gefalle zwischen Anfangs und Endpunkt sind sie ahnlich Ist das Gefalle nicht kleiner als 2 p 63 66 so ist der Endpunkt der tiefste Punkt der Kurve bei kleinerem Gefalle liegt der Tiefpunkt zwischen Anfangs und Endpunkt Ist das Gefalle 0 also liegen Anfangs und Endpunkt auf derselben Hohe ist die Kurve symmetrisch Bilder Bearbeiten nbsp 1 Phase Beide Kugeln sind gleichauf nbsp 2 Phase Vordere Kugel beschleunigt durch starkeres Gefalle nbsp 3 Phase Vordere Kugel liegt trotz langeren Wegs vorne Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Brachistochrone Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Brachistochrone Construction GeoGebra modell zum interaktiven Ausprobieren mit 10 Stationen zwischen Start und Endpunkt Cyclobahn eine U Bahn mit Zykloiden Trasse Der Irrtum von Galileo Galilei Vortrag von Rudolf Taschner Brachistochrone Ableitung Eigenschaften und lineare ApproximationBelege Bearbeiten Fur die anderen Startpunkte beginnt die Bahn jedoch nicht vertikal fur diese ist sie damit keine Brachistochrone Spezielle Eigenschaften der Bahn Siehe auch Seite 17 von Ulrich Mende Brachistochrone Ableitung Eigenschaften und lineare Approximation Abgerufen am 23 September 2023 Acta eruditorum 1696 Siehe Istvan Szabo Geschichte der mechanischen Prinzipien Dritte korrigierte und erweiterte Auflage 1987 S 110 ISBN 978 3 0348 9980 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brachistochrone amp oldid 237599853