Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Korpers Beispiel Schwungrad der um einen festen Punkt oder seinen beweglichen Massenmittelpunkt rotiert In diesen beiden Fallen lasst sich die kinetische Energie des Korpers in einen translatorischen und einen rotatorischen Anteil zerlegen Diese Energie ist abhangig vom Tragheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Korpers je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist desto mehr Energie gibt der Korper ab wenn seine Rotation gestoppt wird Dies lasst sich durch folgendes Experiment verdeutlichen Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter siehe eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt Die andere Kugel jedoch ist hohl besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff Die hohle Kugel wird langsamer rollen da bei ihr die gesamte Masse auf einer dunnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss Daher wird weniger ihrer Lageenergie in Rotationsenergie und mehr in translatorische Energie umgewandelt und sie rollt schneller Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei Turbinen Generatoren Radern und Reifen Wellen Propellern Inhaltsverzeichnis 1 Tragheitsmoment 1 1 Beispiele 2 Drehimpuls 3 Herleitung 4 Siehe auch 5 FussnotenTragheitsmoment BearbeitenEin Korper der mit der Winkelgeschwindigkeit w displaystyle omega nbsp um die x Achse rotiert besitzt die Rotationsenergie E r o t 1 2 J x w 2 displaystyle E mathrm rot frac 1 2 cdot J x cdot omega 2 nbsp mit J x displaystyle J x nbsp Tragheitsmoment des Korpers um die x Achse w displaystyle omega nbsp Winkelgeschwindigkeit Dies lasst sich allgemein ausdrucken als E r o t 1 2 w T J w 1 2 a b 1 3 J a b w a w b displaystyle begin aligned E mathrm rot amp frac 1 2 vec omega T J vec omega amp frac 1 2 sum alpha beta 1 3 J alpha beta omega alpha omega beta end aligned nbsp mit J a b displaystyle J alpha beta nbsp Tragheitstensor Um die Energie eines Korpers anzugeben der um eine beliebige Achse rotiert Einheitsvektor n displaystyle vec n nbsp mit n 1 displaystyle left vec n right 1 nbsp wird die Winkelgeschwindigkeit jeweils durch ihre Vektorkomponenten in x y und z Richtung ausgedruckt w w n w n 1 n 2 n 3 displaystyle vec omega omega vec n omega cdot begin pmatrix n 1 n 2 n 3 end pmatrix nbsp dd Fur die Rotationsenergie gilt damit E r o t 1 2 a b 1 3 J a b n a n b w 2 1 2 J n w 2 displaystyle begin aligned E mathrm rot amp frac 1 2 sum alpha beta 1 3 J alpha beta n alpha n beta omega 2 amp frac 1 2 cdot J n cdot omega 2 end aligned nbsp mit dem Tragheitsmoment J n displaystyle J n nbsp bezuglich einer beliebigen Achse n displaystyle vec n nbsp J n a b 1 3 J a b n a n b displaystyle J n sum alpha beta 1 3 J alpha beta n alpha n beta nbsp dd Beispiele Bearbeiten Eine Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp und Masse m displaystyle m nbsp hat das Tragheitsmoment J 2 5 m r 2 displaystyle J tfrac 2 5 mr 2 nbsp Wenn sie mit der Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp auf der Ebene rollt betragt ihre Winkelgeschwindigkeit w v r displaystyle omega tfrac v r nbsp und folglich ihre gesamte kinetische Energie E k i n E t r a n s E r o t 1 2 m v 2 1 2 2 5 m r 2 w 2 7 10 m v 2 displaystyle begin aligned E mathrm kin amp E mathrm trans E mathrm rot amp frac 1 2 mv 2 frac 1 2 cdot frac 2 5 mr 2 cdot omega 2 amp frac 7 10 mv 2 end aligned nbsp dd Ein Korper der um die Diagonale durch seine xy Flache rotiert hat die Winkelgeschwindigkeit w w n displaystyle vec omega omega vec n nbsp mit n 1 2 1 1 0 displaystyle vec n frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 0 end pmatrix nbsp dd dd Daraus folgt fur das Tragheitsmoment bzgl dieser Drehachse J n n T J n 1 2 1 1 0 J 11 J 12 J 13 J 12 J 22 J 23 J 13 J 23 J 33 1 2 1 1 0 1 2 J 11 J 12 J 12 J 22 displaystyle begin aligned J n amp vec n T J vec n amp frac 1 sqrt 2 left 1 1 0 right left begin matrix J 11 amp J 12 amp J 13 J 12 amp J 22 amp J 23 J 13 amp J 23 amp J 33 end matrix right frac 1 sqrt 2 left begin matrix 1 1 0 end matrix right amp frac 1 2 cdot J 11 J 12 J 12 J 22 end aligned nbsp dd dd Die Rotationsenergie erhalt man damit aus E r o t 1 2 J n w 2 1 4 J 11 J 12 J 12 J 22 w 2 displaystyle begin aligned E mathrm rot amp frac 1 2 cdot J n cdot omega 2 amp frac 1 4 cdot J 11 J 12 J 12 J 22 cdot omega 2 end aligned nbsp dd Drehimpuls BearbeitenDie Rotationsenergie kann auch durch den Drehimpuls L displaystyle vec L nbsp ausgedruckt werden E r o t 1 2 L w 1 2 L 2 J displaystyle begin aligned E mathrm rot amp frac 1 2 cdot vec L cdot vec omega amp frac 1 2 cdot frac vec L 2 J end aligned nbsp mit L J w displaystyle vec L J cdot vec omega nbsp Es ist zu beachten dass der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht parallel zueinander stehen ausser bei Rotation um eine Haupttragheitsachse siehe auch Tragheitsellipsoid Herleitung BearbeitenSei der Starre Korper durch einzelne Massenpunkte mit Massen m i displaystyle m i nbsp an den Orten r i displaystyle vec r i nbsp relativ zum Ursprung eines korperfesten Bezugssystems gegeben das sich am Ort b t displaystyle vec b t nbsp im Inertialsystem befindet Bei der allgemeinen Bewegung starrer Korper gilt die eulersche Geschwindigkeitsgleichung v x t b t w t x displaystyle vec v vec x t dot vec b t vec omega t times vec x nbsp Darin ist w displaystyle vec omega nbsp die Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers inklusive des korperfesten Bezugssystems b displaystyle dot vec b nbsp die Geschwindigkeit von b displaystyle vec b nbsp und beide durfen von der Zeit t displaystyle t nbsp abhangen Die Geschwindigkeit v x t displaystyle vec v vec x t nbsp ist zur Zeit t displaystyle t nbsp die Geschwindigkeit des Massenpunkts am Ort x displaystyle vec x nbsp im korperfesten Bezugssystem Die kinetische Energie des Korpers ist dann gegeben durch 1 E k i n 1 2 i m i v r i t 2 1 2 i m i b w r i 2 1 2 i m i b 2 1 2 i m i 2 b w r i 1 2 i m i w r i 2 1 2 m b 2 E t r a n s 1 2 i m i w r i 2 E r o t m w s b displaystyle begin aligned E rm kin amp frac 1 2 sum i m i vec v vec r i t 2 frac 1 2 sum i m i dot vec b vec omega times vec r i 2 amp frac 1 2 sum i m i dot vec b 2 frac 1 2 sum i m i 2 dot vec b cdot vec omega times vec r i frac 1 2 sum i m i vec omega times vec r i 2 amp underbrace frac 1 2 m dot vec b 2 E rm trans underbrace frac 1 2 sum i m i vec omega times vec r i 2 E rm rot m vec omega cdot vec s times dot vec b end aligned nbsp Darin ist m i m i displaystyle textstyle m sum i m i nbsp die Gesamtmasse des Korpers E t r a n s displaystyle E rm trans nbsp seine translatorische Energie E r o t displaystyle E rm rot nbsp seine Rotationsenergie s 1 m i m i r i displaystyle textstyle vec s frac 1 m sum i m i vec r i nbsp sein Massenmittelpunkt und es wurde ausgenutzt dass im Spatprodukt dreier Vektoren deren Reihenfolge zyklisch vertauscht werden darf Der dritte Summand m w s b displaystyle m vec omega cdot vec s times dot vec b nbsp verschwindet unter vier Bedingungen Wenn der Massenmittelpunkt im Ursprung s 0 displaystyle vec s vec 0 nbsp oder auf der Drehachse liegt w s displaystyle vec omega parallel vec s nbsp die Rotation also um den Massenmittelpunkt stattfindet Wenn das korperfeste System ruht b 0 displaystyle dot vec b vec 0 nbsp oder sich entlang der Drehachse bewegt w b displaystyle vec omega parallel dot vec b nbsp was sich durch geeignete Wahl des Bezugspunkts immer einrichten lasst 1 Wenn sich der Bezugspunkt in Richtung des Massenmittelpunkts bewegt b s displaystyle dot vec b parallel vec s nbsp was einem Balanceakt gleichkommt Der triviale Fall m w 0 displaystyle m vec omega vec 0 nbsp wird hier nicht weiter betrachtet In den ersten drei Fallen spaltet sich die kinetische Energie in die translatorische und rotatorische auf aber nur die ersten beiden Falle sind fur die Kreiseltheorie interessant Mit der Lagrange Identitat w r i 2 w w r i r i w r i 2 displaystyle vec omega times vec r i 2 vec omega cdot vec omega vec r i cdot vec r i vec omega cdot vec r i 2 nbsp berechnet sich unter Ausnutzung der Eigenschaften des dyadischen Produkts displaystyle otimes nbsp 2 die Rotationsenergie zu 2 E r o t i m i w r i 2 i m i w w r i r i w r i 2 w i m i r i r i w w r i r i w i m i r i r i 1 r i r i w w 8 b w E r o t 1 2 w 8 b w 1 2 w L displaystyle begin aligned 2E rm rot amp sum i m i vec omega times vec r i 2 sum i m i vec omega cdot vec omega vec r i cdot vec r i vec omega cdot vec r i 2 amp vec omega cdot sum i m i vec r i cdot vec r i vec omega vec omega cdot vec r i vec r i vec omega cdot sum i m i vec r i cdot vec r i mathbf 1 vec r i otimes vec r i cdot vec omega amp vec omega cdot mathbf Theta b cdot vec omega Rightarrow E rm rot amp frac 1 2 vec omega cdot mathbf Theta b cdot vec omega frac 1 2 vec omega cdot vec L end aligned nbsp Darin ist 8 b i m i r i r i 1 r i r i displaystyle textstyle mathbf Theta b sum i m i vec r i cdot vec r i mathbf 1 vec r i otimes vec r i nbsp der Tragheitstensor des starren Korpers bezuglich b displaystyle vec b nbsp L 8 b w displaystyle vec L mathbf Theta b cdot vec omega nbsp sein Eigen drehimpuls und 1 der Einheitstensor Im korperfesten System ist der Tragheitstensor konstant im Inertialsystem jedoch nicht wenn sich der Korper dreht Siehe auch BearbeitenPotentielle Energie Rollersatzmasse Schwungradspeicherung Schwungrad SpeicherkraftwerkFussnoten Bearbeiten a b Institut fur Physik an der Universitat Rostock Hrsg Theoretische Physik II Theoretische Mechanik Kapitel 5 Starrer Korper und Kreiseltheorie uni rostock de PDF abgerufen am 6 Juni 2017 Das dyadische Produkt ist mit drei beliebigen Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp definiert durch a b c b c a displaystyle vec a otimes vec b cdot vec c vec b cdot vec c vec a nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rotationsenergie amp oldid 228583768
