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Rayleigh Ritz Prinzip Das auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh Ritzsches Variationsverfahren ist ein Variationsprinzip

Rayleigh-Ritz-Prinzip

Das Rayleigh-Ritz-Prinzip (auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren) ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems. Es geht auf das Buch The Theory of Sound von John William Strutt, 3. Baron Rayleigh (1877) zurück und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veröffentlicht.

Es sei ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich in einem Hilbertraum. Dann ist das Infimum des Spektrums gegeben durch

Ist das Infimum ein Eigenwert, so erhält man die Ungleichung

mit Gleichheit genau dann, wenn ein Eigenvektor zu ist. Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh-Quotient bekannt.

In der Praxis eignet es sich auch als Näherungsverfahren, indem man einen Ansatz für mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert, dass der Rayleigh-Quotient minimal wird. Statt über Vektoren im Definitionsbereich kann man auch über Vektoren im quadratischen Formenbereich optimieren, was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht.

Anwendungen Bearbeiten

Das Prinzip kommt beispielsweise bei der Berechnung von Parametern des Schwingungsverhaltens von elastischen Platten, aber auch anderer elastischer Körper (wie etwa Balken) zur Anwendung, wenn exakte Lösungen nicht mehr mit elementaren Rechenmethoden zu erreichen sind.

Grundgedanke ist das Gleichgewicht der potenziellen Kräfte von äußeren, eingeprägten und inneren Kräften. Diese Potenziale werden durch Verformungsgrößen ausgedrückt (z. B. Durchbiegung). Die Spannungen werden dabei durch Dehnungen oder Scherungen nach dem Hookeschen Gesetz ausgedrückt. Das Verfahren kann als Vorstufe der Finite-Elemente-Methode betrachtet werden.

In der Quantenmechanik besagt das Prinzip, dass für die Gesamtenergie des Systems im Grundzustand (also für den diesbezüglichen Erwartungswert des Hamilton-Operators ) und für beliebige Wellenfunktionen bzw. Zustände der Erwartungswert größer oder gleich (gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion) der Grundzustandsenergie des Systems ist:

In der Regel ist der Hamilton-Operator dabei nach unten beschränkt und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen (nicht entarteten) Eigenwert („Grundzustand“). Die Probe-Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen, wird ihr aber umso ähnlicher, je näher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist.

Ritz-Verfahren Bearbeiten

Das Ritz'sche Variationsverfahren wendet das Rayleigh-Ritz-Prinzip direkt an. Dazu wird eine Familie von Testvektoren, die über einen Satz von Parametern β variiert werden, verwendet. So kann eine (nicht notwendig endliche) Menge von Vektoren gewählt werden und der Testvektor als Linearkombination dargestellt werden:

Oder man wählt eine Familie von Funktionen, die über einen Parameter variiert werden, wie etwa Gauß-Kurven mit verschiedener Breite :

Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von . Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter geschehen:

Löst man diese Gleichung, so erhält man für einen Wert, für den die Grundzustandsenergie minimiert wird. Mit diesem Wert hat man eine Näherungslösung, weiß aber nicht, wie gut der Ansatz wirklich ist, weshalb man von „unkontrollierten Verfahren“ spricht. Immerhin kann man den Minimalwert als „beste Annäherung“ an die tatsächliche Grundzustandsenergie benutzen.

Zum Beweis Bearbeiten

Das Prinzip ist unmittelbar einsichtig, wenn man voraussetzt, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von mit zugehörigen Eigenwerten gibt. Diese Eigenwerte seien geordnet, dann erhält man durch Entwicklung

eines beliebigen Vektors nach dieser Orthonormalbasis

Im allgemeinen Fall eines beliebigen Spektrums kann zum Beweis ein analoges Argument gemacht werden, indem man gemäß dem Spektralsatz die Summe durch ein Integral über die Spektralschar ersetzt.

Erweiterungen Bearbeiten

Eine Erweiterung ist der Satz von Courant-Fischer, der ein Variationsprinzip für alle Eigenwerte unterhalb des wesentlichen Spektrums darstellt. Eine exakte Abschätzung eines Eigenwerts nach oben und unten liefert die Temple-Ungleichung.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators, Springer 1987
  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
  • John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, The Theory of Sound, 1877
  • W. Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik ISSN 0075-4102, Band 135, 1908, S. 1–61.
  • W. Ritz: Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rändern. In: Annalen der Physik ISSN 0003-3804, (4. Folge) Band 28, 1909, S. 737–786.
  • G.M. Vainikko: Ritz method. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  • Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)
  • Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 519 ff.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R.W.B. Stephens, Murray Campbell: Rayleigh, John William Strutt, 3rd Baron. In: Oxford Music Online. Oxford University Press, 2001, doi:10.1093/gmo/9781561592630.article.22977 (oxfordmusiconline.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  2. John William Strutt: The Theory of Sound. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-108-03220-9, doi:10.1017/cbo9781139058087 (cambridge.org [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  3. Walter Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1909, Nr. 135, 1. Januar 1909, ISSN 0075-4102, S. 1–61, doi:10.1515/crll.1909.135.1 (degruyter.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  4. Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich: Der Rayleigh-Quotient und das Ritz’sche Verfahren. In: Strukturdynamik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-61767-0, S. 485–497, doi:10.1007/978-3-662-61768-7_14 (springer.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  5. Peter Steinke: Das Verfahren von Ritz. In: Finite-Elemente-Methode. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-44226-4, S. 59–78, doi:10.1007/978-3-662-07240-0_4 (springer.com [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  6. Martin J. Gander, Gerhard Wanner: From Euler, Ritz, and Galerkin to Modern Computing. In: SIAM Review. Band 54, Nr. 4, 1. Januar 2012, ISSN 0036-1445, S. 627–666, doi:10.1137/100804036 (siam.org [abgerufen am 18. Oktober 2022]).
  7. J.K. MacDonald, Successive Approximations by the Rayleigh-Ritz Variation Method, Physical Review ISSN 0031-899X, Band 43, (1933), S. 830–833.
  8. Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 119 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.10).
  9. George Temple: The theory of Rayleigh's principle as applied to continuous systems. In: Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 119, 1928, S. 276–293.
  10. Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, S. 120 (online [abgerufen am 7. April 2012] Theorem 4.13).
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Das Rayleigh Ritz Prinzip auch Verfahren von Ritz oder Rayleigh Ritzsches Variationsverfahren ist ein Variationsprinzip zur Bestimmung des kleinsten Eigenwerts eines Eigenwertproblems Es geht auf das Buch The Theory of Sound 1 2 von John William Strutt 3 Baron Rayleigh 1877 zuruck und wurde 1908 vom Mathematiker Walter Ritz als mathematisches Verfahren veroffentlicht 3 Es sei H displaystyle H ein selbstadjungierter Operator mit Definitionsbereich D H displaystyle D H in einem Hilbertraum Dann ist das Infimum des Spektrums s H displaystyle sigma H gegeben durch E 0 inf s H inf ps D H 0 ps H ps ps ps displaystyle E 0 inf sigma H inf psi in D H setminus 0 frac langle psi H psi rangle langle psi psi rangle Ist das Infimum E 0 displaystyle E 0 ein Eigenwert so erhalt man die Ungleichung E 0 ps H ps ps ps displaystyle E 0 leq frac langle psi H psi rangle langle psi psi rangle mit Gleichheit genau dann wenn ps displaystyle psi ein Eigenvektor zu E 0 displaystyle E 0 ist Der Quotient auf der rechten Seite ist als Rayleigh Quotient bekannt In der Praxis eignet es sich auch als Naherungsverfahren indem man einen Ansatz fur ps displaystyle psi mit unbestimmten Parametern macht und die Parameter so optimiert dass der Rayleigh Quotient minimal wird Statt uber Vektoren im Definitionsbereich D H displaystyle D H kann man auch uber Vektoren im quadratischen Formenbereich Q H displaystyle Q H optimieren was dann einer schwachen Formulierung des Eigenwertproblems entspricht Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen 2 Ritz Verfahren 3 Zum Beweis 4 Erweiterungen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAnwendungen BearbeitenDas Prinzip kommt beispielsweise bei der Berechnung von Parametern des Schwingungsverhaltens von elastischen Platten aber auch anderer elastischer Korper wie etwa Balken zur Anwendung 4 wenn exakte Losungen nicht mehr mit elementaren Rechenmethoden zu erreichen sind Grundgedanke ist das Gleichgewicht der potenziellen Krafte von ausseren eingepragten und inneren Kraften Diese Potenziale werden durch Verformungsgrossen ausgedruckt z B Durchbiegung Die Spannungen werden dabei durch Dehnungen oder Scherungen nach dem Hookeschen Gesetz ausgedruckt Das Verfahren kann als Vorstufe der Finite Elemente Methode betrachtet werden 5 6 In der Quantenmechanik besagt das Prinzip dass fur die Gesamtenergie E 0 displaystyle mathcal E 0 nbsp des Systems im Grundzustand ps 0 displaystyle psi 0 rangle nbsp also fur den diesbezuglichen Erwartungswert des Hamilton Operators H displaystyle hat H nbsp und fur beliebige Wellenfunktionen bzw Zustande ps displaystyle psi rangle nbsp der Erwartungswert ps H ps displaystyle langle psi hat H psi rangle nbsp grosser oder gleich gleich im Fall der exakten Grundzustandswellenfunktion der Grundzustandsenergie des Systems ist E 0 H ps ps H ps ps 1 displaystyle E 0 leq langle hat H rangle psi langle psi hat H psi rangle qquad psi 1 nbsp In der Regel ist der Hamilton Operator dabei nach unten beschrankt und hat an der unteren Grenze des Spektrums einen nicht entarteten Eigenwert Grundzustand Die Probe Wellenfunktion kann zwar von der exakten Grundzustandsfunktion erheblich abweichen wird ihr aber umso ahnlicher je naher die berechnete Gesamtenergie an der Grundzustandsenergie ist Ritz Verfahren BearbeitenDas Ritz sche Variationsverfahren 7 wendet das Rayleigh Ritz Prinzip direkt an Dazu wird eine Familie von Testvektoren die uber einen Satz von Parametern b variiert werden verwendet So kann eine nicht notwendig endliche Menge von Vektoren ps n displaystyle psi n nbsp gewahlt werden und der Testvektor als Linearkombination dargestellt werden ps b n b n ps n displaystyle psi vec beta sum n beta n psi n nbsp Oder man wahlt eine Familie von Funktionen die uber einen Parameter variiert werden wie etwa Gauss Kurven mit verschiedener Breite b displaystyle beta nbsp ps b x 1 b 2 p exp x 2 2 b 2 displaystyle psi beta x frac 1 beta sqrt 2 pi cdot exp left frac x 2 2 beta 2 right nbsp Nun setzt man diese Funktionen in obigen Ausdruck ein und sucht den minimalen Wert von H ps b displaystyle langle hat H rangle psi beta nbsp Im einfachsten Fall kann dies durch Differentiation nach dem Parameter b displaystyle beta nbsp geschehen d d b H ps b 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d beta langle hat H rangle psi beta 0 nbsp Lost man diese Gleichung so erhalt man fur b displaystyle beta nbsp einen Wert fur den die Grundzustandsenergie minimiert wird Mit diesem Wert hat man eine Naherungslosung weiss aber nicht wie gut der Ansatz wirklich ist weshalb man von unkontrollierten Verfahren spricht Immerhin kann man den Minimalwert als beste Annaherung an die tatsachliche Grundzustandsenergie benutzen Zum Beweis BearbeitenDas Prinzip ist unmittelbar einsichtig wenn man voraussetzt dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ps n displaystyle psi n nbsp von H displaystyle H nbsp mit zugehorigen Eigenwerten E n displaystyle E n nbsp gibt Diese Eigenwerte E 0 E 1 displaystyle E 0 leq E 1 leq cdots nbsp seien geordnet dann erhalt man durch Entwicklung ps n ps n ps ps n displaystyle psi sum n langle psi n psi rangle psi n nbsp eines beliebigen Vektors ps displaystyle psi nbsp nach dieser Orthonormalbasis ps H ps n ps H ps n ps n ps n E n ps ps n ps n ps E 0 n ps ps n ps n ps E 0 ps ps displaystyle begin aligned langle psi H psi rangle amp sum n langle psi H psi n rangle langle psi n psi rangle amp sum n E n langle psi psi n rangle langle psi n psi rangle amp geq E 0 sum n langle psi psi n rangle langle psi n psi rangle amp E 0 langle psi psi rangle end aligned nbsp Im allgemeinen Fall eines beliebigen Spektrums kann zum Beweis ein analoges Argument gemacht werden indem man gemass dem Spektralsatz die Summe durch ein Integral uber die Spektralschar ersetzt Erweiterungen BearbeitenEine Erweiterung ist der Satz von Courant Fischer 8 der ein Variationsprinzip fur alle Eigenwerte unterhalb des wesentlichen Spektrums darstellt Eine exakte Abschatzung eines Eigenwerts nach oben und unten liefert die Temple Ungleichung 9 10 Literatur BearbeitenHans Cycon Richard G Froese Werner Kirsch Barry Simon Schrodinger Operators Springer 1987 Michael Reed Barry Simon Methods of Modern Mathematical Physics 4 Bande Academic Press 1978 1980 John William Strutt 3 Baron Rayleigh The Theory of Sound 1877 W Ritz Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik In Journal fur die reine und angewandte Mathematik ISSN 0075 4102 Band 135 1908 S 1 61 W Ritz Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Randern In Annalen der Physik ISSN 0003 3804 4 Folge Band 28 1909 S 737 786 G M Vainikko Ritz method In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Gerald Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators American Mathematical Society 2009 Freie Online Version Karl Eugen Kurrer Geschichte der Baustatik Auf der Suche nach dem Gleichgewicht Ernst und Sohn Berlin 2016 ISBN 978 3 433 03134 6 S 519 ff Einzelnachweise Bearbeiten R W B Stephens Murray Campbell Rayleigh John William Strutt 3rd Baron In Oxford Music Online Oxford University Press 2001 doi 10 1093 gmo 9781561592630 article 22977 oxfordmusiconline com abgerufen am 18 Oktober 2022 John William Strutt The Theory of Sound 1 Auflage Cambridge University Press 2011 ISBN 978 1 108 03220 9 doi 10 1017 cbo9781139058087 cambridge org abgerufen am 18 Oktober 2022 Walter Ritz Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Crelles Journal Band 1909 Nr 135 1 Januar 1909 ISSN 0075 4102 S 1 61 doi 10 1515 crll 1909 135 1 degruyter com abgerufen am 18 Oktober 2022 Robert Gasch Klaus Knothe Robert Liebich Der Rayleigh Quotient und das Ritz sche Verfahren In Strukturdynamik Springer Berlin Heidelberg Berlin Heidelberg 2021 ISBN 978 3 662 61767 0 S 485 497 doi 10 1007 978 3 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