Die Funktionalableitung auch Variationsableitung 1 ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals Ein Funktional ist dabei eine Abbildung die einer Funktion eine Zahl zuordnet Weil der zugrundeliegende Vektorraum in diesem Fall also ein Funktionenraum ist wird in Richtung einer Funktion abgeleitet Ein verwandtes Konzept ist die erste Variation Die Funktionalableitung ist in der theoretischen Physik relevant Dort wird sie unter anderem in der Dichtefunktionaltheorie und der Feldtheorie verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Mogliche Voraussetzungen fur die Existenz der Funktionalableitung 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und F M K displaystyle F colon M to mathbb K nbsp mit K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp ein nicht zwingend lineares Funktional dann ist die erste Variation von F displaystyle F nbsp definiert durch d F y lim e 0 F y e ϕ F y e d d e F y e ϕ e 0 displaystyle delta F y lim varepsilon to 0 frac F y varepsilon phi F y varepsilon frac d d varepsilon F y varepsilon phi bigg vert varepsilon 0 nbsp fur eine beliebige Funktion ϕ displaystyle phi nbsp in einem nicht naher bestimmten Funktionenraum W D displaystyle Omega D nbsp mit der einzigen Bedingung dass F displaystyle F nbsp auf y e ϕ displaystyle y varepsilon phi nbsp eindeutig definiert ist fur hinreichend kleine e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp Der Funktionenraum W D displaystyle Omega D nbsp muss kein Unterraum von M displaystyle M nbsp sein so lange y e ϕ M displaystyle y varepsilon phi in M nbsp fur alle e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ist Die Funktionalableitung d F y d y x displaystyle tfrac delta F y delta y x nbsp von F displaystyle F nbsp ist dann definiert durch D d F y d y x ϕ x d x d d e F y e ϕ e 0 displaystyle int D frac delta F y delta y x phi x mathrm d x left frac d d varepsilon F y varepsilon phi right varepsilon 0 nbsp Diese Definition impliziert dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern d F Y d y x displaystyle tfrac delta F Y delta y x nbsp gebracht werden kann Dies ist im Allgemeinen fur beliebige Funktionale und beliebige y displaystyle y nbsp nicht moglich Ein Funktional fur das eine solche Integralform existiert heisst differenzierbar 1 2 Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten was durch die Notation d d y x displaystyle tfrac delta delta y x nbsp ausgedruckt werden soll Eigenschaften BearbeitenAnalog zur ublichen Richtungsableitung hat auch die Funktionalableitung folgende Eigenschaften Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung 2 d d y x a F y b G y a d F y d y x b d G y d y x displaystyle frac delta delta y x alpha F y beta G y alpha frac delta F y delta y x beta frac delta G y delta y x nbsp Fur ein Produkt aus Funktionalen H y F y G y displaystyle H y F y G y nbsp gilt die Produktregel 2 d d y x F y G y F y d G y d y x d F y d y x G y displaystyle frac delta delta y x F y G y F y frac delta G y delta y x frac delta F y delta y x G y nbsp Falls F displaystyle F nbsp linear ist dann ist F y D y x d F y d y x d x displaystyle F y int D y x frac delta F y delta y x dx nbsp Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Frechet Riesz Weil F displaystyle F nbsp hier ein lineares Funktional ist lasst es sich als Skalarprodukt y d F y d y displaystyle textstyle left langle y frac delta F y delta y right rangle nbsp darstellen Operiert das Funktional F displaystyle F nbsp zwischen Teilmengen von Banachraumen und ist die Funktionalableitung y d F y d y x displaystyle y mapsto tfrac delta F y delta y x nbsp von F displaystyle F nbsp eine lineare Abbildung dann existiert auch die Frechet Ableitung von F displaystyle F nbsp und stimmt mit D y x d F y d y x d x displaystyle textstyle int D y x frac delta F y delta y x dx nbsp uberein 1 Beispiele BearbeitenDas nicht lineare FunktionalF y R y x 2 g x d x displaystyle F y int mathbb R y x 2 g x dx nbsp dd hat die Funktionalableitung d F y d y x 2 y x g x displaystyle tfrac delta F y delta y x 2y x g x nbsp wie sich mithilfe der Definition zeigen lasst R d F y d y x h x d x lim e 0 1 e F y e h F y lim e 0 1 e R y x e h x 2 g x d x R y x 2 g x d x lim e 0 1 e R 2 y x e h x g x e 2 h x 2 g x d x R 2 y x g x h x d x displaystyle begin aligned int mathbb R frac delta F y delta y x h x dx amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon F y varepsilon h F y amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon left int mathbb R y x varepsilon h x 2 g x dx int mathbb R y x 2 g x dx right amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon int mathbb R 2y x varepsilon h x g x varepsilon 2 h x 2 g x dx amp int mathbb R 2y x g x h x dx end aligned nbsp dd Da dies fur alle Testfunktionen h displaystyle h nbsp gelten muss folgtd F y d y x 2 y x g x displaystyle frac delta F y delta y x 2y x g x nbsp dd Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie In der LDA Naherung ist dort die AustauschenergieE x ϱ c R ϱ r 4 3 d 3 r displaystyle E x varrho c int mathbb R varrho r 4 3 d 3 r nbsp dd ein Funktional der Dichte ϱ displaystyle varrho nbsp 3 Das zugehorige Austauschpotential istV x r d E x ϱ d ϱ r c 4 3 ϱ r 1 3 displaystyle V x r frac delta E x varrho delta varrho r c frac 4 3 varrho r 1 3 nbsp dd Ein weiteres mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron Elektron Wechselwirkung als Funktional F displaystyle F nbsp der Dichte ϱ displaystyle varrho nbsp F ϱ k 2 R 6 ϱ r ϱ r r r d r d r displaystyle F varrho frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho mathbf r varrho mathbf r vert mathbf r mathbf r vert d mathbf r d mathbf r nbsp dd Es gilt R 3 d F ϱ d ϱ r h r d r lim e 0 1 e F ϱ e h F ϱ lim e 0 1 e k 2 R 6 ϱ r ϵ h r ϱ r ϵ h r r r d r d r R 6 r r r r r r d r d r k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r 2 k 2 R 6 ϱ r h r r r d r d r R 3 k R 3 ϱ r r r d r h r d r displaystyle begin aligned int mathbb R 3 frac delta F varrho delta varrho mathbf r h mathbf r d boldsymbol r amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon F varrho varepsilon h F varrho amp lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon frac k 2 left iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r epsilon h boldsymbol r varrho boldsymbol r epsilon h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r iint mathbb R 6 frac rho boldsymbol r rho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r right amp frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r frac k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r amp frac 2k 2 iint mathbb R 6 frac varrho boldsymbol r h boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r d boldsymbol r amp int mathbb R 3 left k int mathbb R 3 frac varrho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r right h boldsymbol r d boldsymbol r end aligned nbsp dd Da dies fur alle Testfunktionen h displaystyle h nbsp gelten muss folgert man das 2 Ergebnisd F y d ϱ r k R 3 ϱ r r r d r displaystyle frac delta F y delta varrho boldsymbol r k int mathbb R 3 frac varrho boldsymbol r vert boldsymbol r boldsymbol r vert d boldsymbol r nbsp dd In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nutzlich um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen Das Funktional istF y e R y x g x d x displaystyle F y e int mathbb R y x g x dx nbsp dd Mithilfe des Grenzwertslim e 0 e e a 1 e lim e 0 1 e a e 2 2 a 2 1 e a displaystyle lim varepsilon to 0 frac e varepsilon a 1 varepsilon lim varepsilon to 0 frac 1 varepsilon a frac varepsilon 2 2 a 2 1 varepsilon a nbsp dd zeigt mand F y d y x e R y x g x d x g x F y g x displaystyle frac delta F y delta y x e int mathbb R y x g x dx g x F y g x nbsp dd Lasst man auch Distributionen zu so kann man eine reelle Funktion f displaystyle f nbsp mithilfe der Delta Distribution als Funktional schreiben f x F x f R f y d x y d y displaystyle f x F x f int mathbb R f y delta x y dy nbsp dd In diesem Sinne ist 4 d f x d f y d x y displaystyle frac delta f x delta f y delta x y nbsp dd Mogliche Voraussetzungen fur die Existenz der Funktionalableitung BearbeitenDie Abbildung ϕ d d e F y e ϕ e 0 displaystyle phi mapsto left frac d d varepsilon F y varepsilon phi right varepsilon 0 nbsp ist ein lineares Funktional Erfullt es zusatzliche Voraussetzungen so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz Markow angewandt werden Dann gibt es ein Mass m displaystyle mu nbsp so dass das Funktional als Integral gegen dieses Mass aufgefasst werden kann das heisst es gibt eine Darstellung d F y D y x d m x displaystyle delta F y int D y x mathrm d mu x nbsp Kann man zusatzlich den Satz von Radon Nikodym anwenden so gibt es eine Dichtefunktion so dass d F y D y x d F y d y x d x displaystyle delta F y int D y x frac delta F y delta y x mathrm d x nbsp gilt Diese Dichtefunktion ist dann die Funktionalableitung Siehe auch BearbeitenVariation Hamiltonsches Prinzip Euler Lagrange GleichungEinzelnachweise Bearbeiten a b c Eberhard Engel Reiner M Dreizler Density Functional Theory An Advanced Course Theoretical and Mathematical Physics Springer 2011 ISBN 978 3 642 14089 1 S 405 406 a b c d R G Parr W Yang Appendix A Functionals In Density Functional Theory of Atoms and Molecules Oxford University Press New York 1989 ISBN 978 0195042795 S 246 254 Klaus Capelle A bird s eye view of density functional theory Version 5 November 2006 Gleichung 83 Eberhard Engel Reiner M Dreizler Density Functional Theory An Advanced Course Theoretical and Mathematical Physics Springer 2011 ISBN 978 3 642 14089 1 S 407 408 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktionalableitung amp oldid 218783270
