Die erste Variation ist eine verallgemeinerte Richtungsableitung eines Funktionals Ihre Eigenschaften sind in der angewandten Mathematik und der theoretischen Physik relevant Die erste Variation spielt eine zentrale Rolle in der Variationsrechnung und wird in der analytischen Mechanik genutzt Ein verwandtes Konzept ist die Funktionalableitung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel 4 Siehe auch 5 WeblinksDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein Funktionenraum J X K displaystyle J X rightarrow mathbb K nbsp ein Funktional mit K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp oder K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp y h X displaystyle y h in X nbsp Funktionen und e R displaystyle varepsilon in mathbb R nbsp Dann ist die erste Variation des Funktionals J displaystyle J nbsp nach y displaystyle y nbsp definiert als d J y h d d e J y e h e 0 displaystyle delta J y h left frac mathrm d mathrm d varepsilon J y varepsilon h right varepsilon 0 nbsp Dies entspricht dem Gateaux Differential des Funktionals J displaystyle J nbsp an der Stelle y displaystyle y nbsp in Richtung h displaystyle h nbsp Eigenschaften BearbeitenDie erste Variation ist eine lineare Abbildung d F y a G y h d F y h a d G y h a K F G D W displaystyle delta F y alpha G y h delta F y h alpha delta G y h quad forall alpha in mathbb K forall F G in mathcal D prime Omega nbsp Fur ein Produkt aus Funktionalen F y G y H y displaystyle F y G y H y nbsp gilt die Produktregel d F y h d G y h H y G y d H y h displaystyle delta F y h delta G y h H y G y delta H y h nbsp Beispiel BearbeitenDie erste Variation von J y a b y y d x displaystyle J y int a b yy mathrm d x nbsp ist nach obiger Definition d J y h d d e J y e h e 0 d d e a b y e h y e h d x e 0 d d e a b y y y e h y e h e 2 h h d x e 0 a b d d e y y y e h y e h e 2 h h e 0 d x a b y h y h 2 e h h e 0 d x a b y h y h d x displaystyle begin aligned delta J y h amp left frac mathrm d mathrm d varepsilon J y varepsilon h right varepsilon 0 amp frac mathrm d mathrm d varepsilon int a b y varepsilon h y prime varepsilon h prime mathrm d x Bigg varepsilon 0 amp frac mathrm d mathrm d varepsilon int a b yy prime y varepsilon h prime y prime varepsilon h varepsilon 2 hh prime mathrm d x Bigg varepsilon 0 amp int a b left frac mathrm d mathrm d varepsilon yy prime y varepsilon h prime y prime varepsilon h varepsilon 2 hh prime right varepsilon 0 mathrm d x amp int a b yh prime y prime h 2 varepsilon hh prime bigg varepsilon 0 mathrm d x amp int a b yh prime y prime h mathrm d x end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenVariation Hamiltonsches Prinzip Euler Lagrange GleichungWeblinks BearbeitenExampleproblems com hat weitere Beispiele Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erste Variation amp oldid 217584886
