Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Das Gateaux Differential benannt nach Rene Gateaux 1889 1914 stellt eine Verallgemeinerung des gewohnlichen Differentiationsbegriffes dar indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Raumen definiert Gewohnlich hat man fur eine Funktion f G R G R n displaystyle f colon G to mathbb R G subset mathbb R n offene Menge die an der Stelle x 0 G displaystyle x 0 in G differenzierbar ist als Definition der partiellen Ableitung f x i x 0 lim h 0 f x 0 1 x 0 2 x 0 i h x 0 n f x 0 h i 1 2 n displaystyle frac partial f partial x i x 0 lim h to 0 frac f x 0 1 x 0 2 ldots x 0 i h ldots x 0 n f x 0 h i 1 2 n Insbesondere ergibt sich fur n 1 displaystyle n 1 das bekannte Differential d f d x x 0 lim h 0 f x 0 h f x 0 h displaystyle frac mathrm d f mathrm d x x 0 lim h to 0 frac f x 0 h f x 0 h Das Gateaux Differential verallgemeinert diese Konzepte auf unendlichdimensionale Vektorraume Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Weierstrasssche Zerlegungsformel 1 2 1 Variation Variationsableitung 1 3 Beispiel 1 4 2 Variation 1 5 Halbseitiges Differential und Richtungsableitung 1 6 Gateaux Ableitung 2 Eigenschaften der 1 Variation 3 Beispiele 4 Anwendungen 5 Siehe auchDefinitionen BearbeitenWeierstrasssche Zerlegungsformel Bearbeiten Sei f D X Y displaystyle f colon D subset X to Y nbsp mit D displaystyle D nbsp offen und X Y displaystyle X Y nbsp normierte Raume Dann heisst f displaystyle f nbsp in x 0 D displaystyle x 0 in D nbsp Gateaux differenzierbar falls die weierstrasssche Zerlegungsformel gilt also falls eine lineare Funktion A L X Y displaystyle A in L X Y nbsp existiert sodass lim t 0 1 t f x 0 t h f x 0 t A h 0 displaystyle lim t rightarrow 0 frac 1 t f x 0 th f x 0 tAh 0 nbsp fur alle h X displaystyle h in X nbsp mit h 1 displaystyle lVert h rVert 1 nbsp Dies ist aquivalent zu f x 0 t h f x 0 t A h o t displaystyle f x 0 th f x 0 tAh o t nbsp Dann bezeichnet man A f x 0 displaystyle A f x 0 nbsp als die Gateaux Ableitung von f displaystyle f nbsp im Punkt x 0 displaystyle x 0 nbsp 1 Variation Variationsableitung Bearbeiten Hauptartikel Erste Variation Sei nun fur das Gateaux Differential folgende Situation gegeben Es sei wie ublich f D f R displaystyle f colon D f to mathbb R nbsp ein in D f W displaystyle D f subseteq Omega nbsp definiertes Funktional W displaystyle Omega nbsp sei ein linearer normierter Raum das heisst ein Vektorraum versehen mit einer Norm displaystyle cdot nbsp oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen uber die man sich im konkreten Anwendungsfall nahere Gedanken machen muss ferner sei x 0 D f displaystyle x 0 in D f nbsp und v W displaystyle v in Omega nbsp Dann ist das Gateaux Differential an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp in Richtung v displaystyle v nbsp falls es existiert definiert durch die folgende Ableitung nach e displaystyle varepsilon nbsp d f x 0 v lim e 0 f x 0 e v f x 0 e d f x 0 e v d e e 0 displaystyle delta f x 0 v lim varepsilon to 0 frac f x 0 varepsilon cdot v f x 0 varepsilon left frac mathrm d f x 0 varepsilon cdot v mathrm d varepsilon right varepsilon 0 nbsp oder auch fur x 1 D f displaystyle x 1 in D f nbsp durch d f x 0 x 1 x 0 lim e 0 f x 0 e x 1 x 0 f x 0 e displaystyle delta f x 0 x 1 x 0 lim varepsilon to 0 frac f x 0 varepsilon cdot x 1 x 0 f x 0 varepsilon nbsp Man beachte dabei x 0 D f displaystyle x 0 in D f nbsp v W displaystyle v in Omega nbsp und ebenfalls x 1 x 0 displaystyle x 1 x 0 nbsp darin aber e R displaystyle varepsilon in mathbb R nbsp Die Gateaux Ableitung nach e displaystyle varepsilon nbsp ist bezuglich der Grosse h x 1 x 0 displaystyle h x 1 x 0 nbsp ein Funktional das auch als 1 Variation von f displaystyle f nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp bezeichnet wird Eine andere Moglichkeit ist anstelle normierter Vektorraume allgemeinere topologische Vektorraume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen Vor allem in Physikbuchern werden Funktionale ublicherweise mit dem Buchstaben I displaystyle I nbsp bezeichnet und statt der Grosse h x 1 x 0 displaystyle h x 1 x 0 nbsp schreibt man meist d q x displaystyle delta q x nbsp mit distributionswertigen Grossen Statt der Ableitung d I x e h d e e 0 displaystyle tfrac dI x varepsilon cdot h d varepsilon varepsilon 0 nbsp fuhrt man in einem Zusatzschritt die Variationsableitung ein die eng mit der Gateaux Ableitung zusammenhangt Beispiel Bearbeiten Fur f e d t L t q t e d q t q t e d d q t d t displaystyle f varepsilon int rm d t mathcal L left t q t varepsilon cdot delta q t dot q t varepsilon cdot frac rm d delta q t rm d t right nbsp erhalt man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form d f d e e 0 d t d L d q t d q t displaystyle textstyle frac rm d f rm d varepsilon varepsilon to 0 int rm d t frac delta mathcal L delta q t cdot delta q t nbsp mit der Variationsableitung d L d q t L q t d d t L q t displaystyle frac delta mathcal L delta q t equiv frac partial mathcal L partial q t frac rm d rm d t frac partial mathcal L partial dot q t nbsp Die Variationsableitung an der Stelle q t bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung L x i displaystyle tfrac partial mathcal L partial x i nbsp einer Funktion von n Variablen also zum Beispiel fur den fiktiven Fall L L x 1 x n displaystyle mathcal L mathcal L x 1 x n nbsp So ahnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen so hat auch hier d f displaystyle delta f nbsp das totale Differential des Funktionals invariante Bedeutung Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange Formalismus Im Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch fett geschriebene Buchstaben verzichtet 2 Variation Bearbeiten d 2 f x 0 v d 2 f x 0 e v d e 2 e 0 displaystyle delta 2 f x 0 v left frac mathrm d 2 f x 0 varepsilon cdot v mathrm d varepsilon 2 right varepsilon 0 nbsp Halbseitiges Differential und Richtungsableitung Bearbeiten Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gateaux Differential durch d f x 0 v lim e 0 f x 0 e v f x 0 e displaystyle delta f x 0 v lim varepsilon to 0 frac f x 0 varepsilon cdot v f x 0 varepsilon nbsp beziehungsweise durch d f x 0 v lim e 0 f x 0 e v f x 0 e displaystyle delta f x 0 v lim varepsilon to 0 frac f x 0 varepsilon cdot v f x 0 varepsilon nbsp definiert Das einseitige Gateaux Differential wird auch Richtungsdifferential von f displaystyle f nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp genannt Fur die zum Vektor v displaystyle v nbsp gehorende Richtung verallgemeinert namlich bei kontinuierlichen Variablen das einseitige Gateaux Differential genauer die zugehorige Variationsableitung gerade die Richtungsableitung von f displaystyle f nbsp in Richtung v displaystyle v nbsp an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp Gateaux Ableitung Bearbeiten Ist d f x 0 v displaystyle delta f x 0 v nbsp ein in v displaystyle v nbsp stetiges lineares Funktional d h die Funktion vermittelt durch v d f x 0 v displaystyle v mapsto delta f x 0 v nbsp ist homogen additiv und stetig im Argument v displaystyle v nbsp dann heisst f x 0 displaystyle f x 0 nbsp Gateaux Ableitung an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp und f displaystyle f nbsp Gateaux differenzierbar in x 0 displaystyle x 0 nbsp Eigenschaften der 1 Variation BearbeitenDas Gateaux Differential ist homogen das bedeutetd f x 0 k v k d f x 0 v displaystyle delta f x 0 k cdot v k cdot delta f x 0 v nbsp fur alle k R displaystyle k in mathbb R nbsp Die Eigenschaft gilt analog fur das einseitige Gateaux Differential Das Gateaux Differential ist eine lineare Operation es gilt also d f 1 f 2 x 0 v d f 1 x 0 v d f 2 x 0 v displaystyle delta f 1 f 2 x 0 v delta f 1 x 0 v delta f 2 x 0 v nbsp und k d f x 0 v d k f x 0 v displaystyle k cdot delta f x 0 v delta k cdot f x 0 v nbsp fur alle k R displaystyle k in mathbb R nbsp Beispiele Bearbeitenf x 1 x 2 1 displaystyle f x 1 x 2 1 nbsp falls x 2 x 1 2 displaystyle x 2 x 1 2 nbsp x 1 0 displaystyle x 1 neq 0 nbsp bzw 0 displaystyle 0 nbsp sonst d f 0 0 v lim t 0 0 0 t 0 displaystyle delta f 0 0 v lim t to 0 frac 0 0 t 0 nbsp f x x x R n displaystyle f x x x in mathbb R n nbsp d f 0 v lim e 0 0 e v 0 e v displaystyle delta f 0 v lim varepsilon to 0 frac 0 varepsilon cdot v 0 varepsilon v nbsp f x 1 x 2 x 1 2 1 1 x 2 displaystyle f x 1 x 2 x 1 2 left 1 frac 1 x 2 right nbsp fur x 2 0 displaystyle x 2 neq 0 nbsp und x 1 2 x 2 2 displaystyle frac x 1 2 x 2 2 nbsp fur x 2 0 displaystyle x 2 0 nbsp f x 1 x 2 2 x 1 1 1 x 2 x 1 2 x 2 2 T displaystyle nabla f x 1 x 2 left 2 cdot x 1 cdot left 1 frac 1 x 2 right frac x 1 2 x 2 2 right T nbsp d f 0 0 v lim e 0 e v 1 2 1 1 e v 2 e v 1 2 v 2 displaystyle delta f 0 0 v lim varepsilon to 0 frac varepsilon cdot v 1 2 cdot left 1 frac 1 varepsilon cdot v 2 right varepsilon frac v 1 2 v 2 nbsp wobei v v 1 v 2 T displaystyle v v 1 v 2 T nbsp Anwendungen BearbeitenWie die gewohnliche Ableitung ist das Gateaux Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen Sei f X R X D f W displaystyle f colon X to mathbb R X subset D f subset Omega nbsp offen W displaystyle Omega nbsp linearer normierter Raum x 0 int X displaystyle x 0 in operatorname int X nbsp das Innere der Menge X displaystyle X nbsp int X displaystyle operatorname int X neq emptyset nbsp und B e x 0 displaystyle B varepsilon x 0 nbsp der offene Ball um x 0 displaystyle x 0 nbsp mit Radius e displaystyle varepsilon nbsp Notwendige Optimalitatsbedingung Sei x 0 displaystyle x 0 nbsp ein lokales Minimum von f displaystyle f nbsp auf X displaystyle X nbsp dann ist d f x 0 v 0 v W displaystyle delta f x 0 v geq 0 forall v in Omega nbsp falls das einseitige Gateaux Differential in x 0 displaystyle x 0 nbsp existiert Hinreichende Optimalitatsbedingung f displaystyle f nbsp besitze in B e x 0 displaystyle B varepsilon x 0 nbsp eine 2 Variation v W displaystyle forall v in Omega nbsp und x B e x 0 displaystyle forall x in B varepsilon x 0 nbsp Falls gilt d f x 0 v 0 v W displaystyle delta f x 0 v 0 forall v in Omega nbsp und fur ein c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp d 2 f x 0 v c v 2 v W displaystyle delta 2 f x 0 v geq c cdot v 2 forall v in Omega nbsp und x B e x 0 displaystyle forall x in B varepsilon x 0 nbsp dann ist x 0 displaystyle x 0 nbsp strenge lokale Minimalstelle von f displaystyle f nbsp auf int X displaystyle operatorname int X nbsp Siehe auch BearbeitenFrechet Ableitung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gateaux Differential amp oldid 237985212
