www.wikidata.de-de.nina.az

Dirichlet Prinzip Das in der Potentialtheorie besagt dass Funktionen u displaystyle u in einem Gebiet G R n displaystyle

Dirichlet-Prinzip

Das Dirichlet-Prinzip in der Potentialtheorie besagt, dass Funktionen in einem Gebiet (mit vorgegebenen stetigen Werten auf dem Rand von ) existieren, die das „Energiefunktional“ (Dirichlet-Integral)

minimieren, und die Laplace-Gleichung

in erfüllen, also harmonische Funktionen sind. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Funktionen in und auf dem Rand von stetig sind und in stetig differenzierbar sind (, siehe für und Differentiationsklasse). Manchmal wird auch noch eine Eindeutigkeitsaussage für die Funktion (und das Minimum des Dirichletintegrals) hinzugefügt.

Geschichte Bearbeiten

Es wurde von Georg Friedrich Bernhard Riemann zur Begründung seiner Theorie riemannscher Flächen verwendet (insbesondere für den Beweis der Existenz analytischer Funktionen auf diesen Flächen), der es nach seinem Lehrer Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte. Es taucht zwar nicht explizit in den Schriften von Dirichlet auf, wurde von ihm aber in seinen Vorlesungen verwendet, aus denen Riemann es kannte. Bei analytischen Funktionen erfüllen der Real- und Imaginärteil separat die Laplacegleichung. Durch die Kritik von Karl Weierstraß, der ein Beispiel eines ähnlichen Variationsproblems gab, bei dem keine Funktion existierte, die das Minimum annahm, war das Dirichlet-Prinzip im 19. Jahrhundert in Misskredit geraten. Erst insbesondere durch die Arbeiten von David Hilbert (1904), der sogenannte „direkte Methoden“ der Variationsrechnung verwendete, wurde es rehabilitiert und dann häufig z. B. von Richard Courant in der Theorie der konformen Abbildungen und in der Theorie der Minimalflächen verwendet.

Das Dirichlet-Prinzip liefert eine Methode für die Lösung des für die mathematische Physik fundamentalen „Dirichlet-Problems“, nämlich die Laplace-Gleichung in einem vorgegebenen Gebiet zu vorgegebenen Werten der Funktion auf dem Rand (Dirichlet-Randbedingung) zu lösen. Dieses Problem wird nämlich nun dadurch charakterisiert, einen Minimierer für ein geeignetes Funktional aufzufinden. Letztere Fragestellung gehört zum mathematischen Gebiet der Variationsrechnung.

Die Auffassung des Dirichlet-Integrals als potentielle Energie und dass die Funktionen, die das Dirichlet-Integral minimieren, den Gleichgewichtslagen eines Systems entsprechen, war Dirichlet bewusst. Da das Dirichlet-Integral größer oder gleich Null ist, wurde die Existenz einer Minimallösung als evident betrachtet. Dirichlet hatte bei seinem Prinzip auch Vorläufer bei William Thomson und Carl Friedrich Gauß.

Beweisskizze Bearbeiten

Sei eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit auf dem Rand von . Dann gilt für alle

Insbesondere existiert der Limes

Da das Funktional in ein Minimum annimmt, ist für und für . Also muss der Grenzwert 0 sein, d. h.

Die erste greensche Formel liefert

wobei auf dem Rand benutzt wurde.

Da bis auf die oben angegebenen Einschränkungen beliebig war, folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung, dass die Laplace-Gleichung in erfüllen muss.

Vorsicht: Vorausgesetzt wurden hierbei, dass man a priori wusste, dass zweimal stetig differenzierbar ist und dass auf dem Gebiet der gaußsche Integralsatz gilt. Letzteres ist keine große Restriktion, hingegen ist die erste implizite Voraussetzung delikaterer Natur.

Literatur Bearbeiten

  • Lars Gårding: The Dirichlet problem. In: Mathematical Intelligencer. 2, Nr. 1, 1979, ISSN 0343-6993, S. 42–52.
  • Stefan Hildebrandt: Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. In: Hermann Weyl: Die Idee der Riemannschen Fläche. Teubner, Leipzig u. a. 1913, S. 197 (Mathematische Vorlesungen an der Universität Göttingen 5, ZDB-ID 978485-8), (Nachdruck erweitert um einen Anhang. Herausgegeben von Reinhold Remmert. Teubner, Stuttgart u. a. 1997, ISBN 3-8154-2096-2 (Teubner-Archiv zur Mathematik. Supplement 5)).
  • A. F. Monna: Dirichlet´s Principle. A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis. Oosthoek, Scheltema & Holkema, Utrecht 1975, ISBN 90-313-0175-2.
  • Richard Courant: Dirichlet's Principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces, Interscience 1950

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Das beinhaltet auch die Aussage, dass in zweimal stetig differenzierbar ist
  2. Courant, Dirichlet's principle, Conformal Mapping and Minimal Surfaces, 1950, S. 6
  3. Dirichlet's Principle, Mathworld
  4. Hildebrandt, Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip, in: Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, Springer 1997, S. 197
  5. Hildebrandt, loc. cit., S. 197
  6. Hildebrandt, loc. cit., S. 199
  7. Courant, Dirichlet's principle, conformal mappings and minimal surfaces, 1905, S. 2
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Dirichlet Prinzip in der Potentialtheorie besagt dass Funktionen u displaystyle u in einem Gebiet G R n displaystyle G subset mathbb R n mit vorgegebenen stetigen Werten u g displaystyle u g auf dem Rand von G displaystyle G existieren die das Energiefunktional Dirichlet Integral D u G u x 1 2 u x 2 2 u x n 2 d l n G u 2 d l n 0 displaystyle D u int G left left frac partial u partial x 1 right 2 left frac partial u partial x 2 right 2 dots left frac partial u partial x n right 2 right mathrm d lambda n int G nabla u 2 mathrm d lambda n geq 0 minimieren und die Laplace Gleichung 1 D u 0 displaystyle Delta u 0 in G displaystyle G erfullen also harmonische Funktionen sind 2 3 4 Dabei wird vorausgesetzt dass die Funktionen u displaystyle u in G displaystyle G und auf dem Rand von G displaystyle G stetig sind und in G displaystyle G stetig differenzierbar sind u C 0 G C 1 G displaystyle u in C 0 bar G cap C 1 G siehe fur C 0 displaystyle C 0 und C 1 displaystyle C 1 Differentiationsklasse Manchmal wird auch noch eine Eindeutigkeitsaussage fur die Funktion und das Minimum des Dirichletintegrals hinzugefugt 5 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Beweisskizze 3 Literatur 4 Einzelnachweise und AnmerkungenGeschichte BearbeitenEs wurde von Georg Friedrich Bernhard Riemann zur Begrundung seiner Theorie riemannscher Flachen verwendet insbesondere fur den Beweis der Existenz analytischer Funktionen auf diesen Flachen der es nach seinem Lehrer Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Es taucht zwar nicht explizit in den Schriften von Dirichlet auf wurde von ihm aber in seinen Vorlesungen verwendet aus denen Riemann es kannte Bei analytischen Funktionen erfullen der Real und Imaginarteil separat die Laplacegleichung Durch die Kritik von Karl Weierstrass der ein Beispiel eines ahnlichen Variationsproblems gab bei dem keine Funktion existierte die das Minimum annahm war das Dirichlet Prinzip im 19 Jahrhundert in Misskredit geraten Erst insbesondere durch die Arbeiten von David Hilbert 1904 der sogenannte direkte Methoden der Variationsrechnung verwendete wurde es rehabilitiert und dann haufig z B von Richard Courant in der Theorie der konformen Abbildungen und in der Theorie der Minimalflachen verwendet Das Dirichlet Prinzip liefert eine Methode fur die Losung des fur die mathematische Physik fundamentalen Dirichlet Problems namlich die Laplace Gleichung in einem vorgegebenen Gebiet G displaystyle G nbsp zu vorgegebenen Werten der Funktion auf dem Rand Dirichlet Randbedingung zu losen Dieses Problem wird namlich nun dadurch charakterisiert einen Minimierer fur ein geeignetes Funktional aufzufinden Letztere Fragestellung gehort zum mathematischen Gebiet der Variationsrechnung Die Auffassung des Dirichlet Integrals als potentielle Energie und dass die Funktionen die das Dirichlet Integral minimieren den Gleichgewichtslagen eines Systems entsprechen war Dirichlet bewusst 6 Da das Dirichlet Integral grosser oder gleich Null ist wurde die Existenz einer Minimallosung als evident betrachtet Dirichlet hatte bei seinem Prinzip auch Vorlaufer bei William Thomson und Carl Friedrich Gauss 7 Beweisskizze BearbeitenSei v displaystyle v nbsp eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit v 0 displaystyle v 0 nbsp auf dem Rand von G displaystyle G nbsp Dann gilt fur alle e R displaystyle varepsilon in mathbb R nbsp D u e v D u 2 e G u v d l n e 2 D v displaystyle D u varepsilon v D u 2 varepsilon int G nabla u nabla v mathrm d lambda n varepsilon 2 D v nbsp Insbesondere existiert der Limes lim e 0 D u e v D u e 2 G u v d l n displaystyle lim varepsilon rightarrow 0 frac D u varepsilon v D u varepsilon 2 int G nabla u nabla v mathrm d lambda n nbsp Da das Funktional D displaystyle D nbsp in u displaystyle u nbsp ein Minimum annimmt ist D u e v D u e 0 displaystyle frac D u varepsilon v D u varepsilon geq 0 nbsp fur e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp und D u e v D u e 0 displaystyle frac D u varepsilon v D u varepsilon leq 0 nbsp fur e lt 0 displaystyle varepsilon lt 0 nbsp Also muss der Grenzwert 0 sein d h 0 2 G u v d l n displaystyle 0 2 int G nabla u nabla v mathrm d lambda n nbsp Die erste greensche Formel liefert 0 G u v d l n G v u d l n G v u n d s G v u d l n displaystyle 0 int G nabla u nabla v mathrm d lambda n int G v triangle u mathrm d lambda n int partial G v frac partial u partial nu mathrm d sigma int G v triangle u mathrm d lambda n nbsp wobei v 0 displaystyle v 0 nbsp auf dem Rand G displaystyle partial G nbsp benutzt wurde Da v displaystyle v nbsp bis auf die oben angegebenen Einschrankungen beliebig war folgt aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung dass u displaystyle u nbsp die Laplace Gleichung in G displaystyle G nbsp erfullen muss displaystyle Box nbsp Vorsicht Vorausgesetzt wurden hierbei dass man a priori wusste dass u displaystyle u nbsp zweimal stetig differenzierbar ist und dass auf dem Gebiet G displaystyle G nbsp der gausssche Integralsatz gilt Letzteres ist keine grosse Restriktion hingegen ist die erste implizite Voraussetzung delikaterer Natur Literatur BearbeitenLars Garding The Dirichlet problem In Mathematical Intelligencer 2 Nr 1 1979 ISSN 0343 6993 S 42 52 Stefan Hildebrandt Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip In Hermann Weyl Die Idee der Riemannschen Flache Teubner Leipzig u a 1913 S 197 Mathematische Vorlesungen an der Universitat Gottingen 5 ZDB ID 978485 8 Nachdruck erweitert um einen Anhang Herausgegeben von Reinhold Remmert Teubner Stuttgart u a 1997 ISBN 3 8154 2096 2 Teubner Archiv zur Mathematik Supplement 5 A F Monna Dirichlet s Principle A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis Oosthoek Scheltema amp Holkema Utrecht 1975 ISBN 90 313 0175 2 Richard Courant Dirichlet s Principle Conformal Mapping and Minimal Surfaces Interscience 1950Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Das beinhaltet auch die Aussage dass u displaystyle u nbsp in G displaystyle G nbsp zweimal stetig differenzierbar ist Courant Dirichlet s principle Conformal Mapping and Minimal Surfaces 1950 S 6 Dirichlet s Principle Mathworld Hildebrandt Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip in Weyl Die Idee der Riemannschen Flache Springer 1997 S 197 Hildebrandt loc cit S 197 Hildebrandt loc cit S 199 Courant Dirichlet s principle conformal mappings and minimal surfaces 1905 S 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichlet Prinzip amp oldid 229414879