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Harmonische Funktion In der Analysis heißt eine reellwertige zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch wenn di

Harmonische Funktion

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

Definition Bearbeiten

Sei eine offene Teilmenge. Eine Funktion heißt harmonisch in , falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle

gilt. Dabei bezeichnet den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft Bearbeiten

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

für alle Kugeln mit . Hierbei bezeichnet den Flächeninhalt der -dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss , so werden Maximum und Minimum auf dem Rand angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei harmonisch in . Dann gilt für die Ableitungen

    wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge gibt es eine Konstante , die nur von dem Gebiet abhängt, so dass für jede in harmonische und nichtnegative Funktion

    gilt.
  • Im Sonderfall für ein einfach zusammenhängendes Gebiet können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Beispiel Bearbeiten

Die Grundlösung

ist eine auf harmonische Funktion, worin das Maß der Einheitssphäre im bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

Für (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

Literatur Bearbeiten

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).
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In der Analysis heisst eine reellwertige zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch wenn die Anwendung des Laplace Operators auf die Funktion null ergibt die Funktion also eine Losung der Laplace Gleichung ist Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen ubertragen Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Mittelwerteigenschaft 3 Weitere Eigenschaften 4 Beispiel 5 Verallgemeinerungen 6 LiteraturDefinition BearbeitenSei U R n displaystyle U subseteq mathbb R n nbsp eine offene Teilmenge Eine Funktion f U R displaystyle f colon U rightarrow mathbb R nbsp heisst harmonisch in U displaystyle U nbsp falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und fur alle x U displaystyle x in U nbsp D f x 0 displaystyle Delta f x 0 nbsp gilt Dabei bezeichnet D 2 x 1 2 2 x 2 2 2 x n 2 displaystyle Delta tfrac partial 2 partial x 1 2 tfrac partial 2 partial x 2 2 cdots tfrac partial 2 partial x n 2 nbsp den Laplace Operator Mittelwerteigenschaft BearbeitenDie wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft welche aquivalent ist zur Definition Eine stetige Funktion f U R displaystyle f colon U rightarrow mathbb R nbsp ist genau dann harmonisch wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfullt das heisst wenn f x 1 r n 1 w n 1 B x r f y d s y displaystyle f x frac 1 r n 1 omega n 1 int partial B x r f y mathrm d sigma y nbsp fur alle Kugeln B x r displaystyle B x r nbsp mit B x r U displaystyle overline B x r subset U nbsp Hierbei bezeichnet w n 1 displaystyle omega n 1 nbsp den Flacheninhalt der n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionalen Einheitssphare siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphare Weitere Eigenschaften BearbeitenDie weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind grosstenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft Maximumprinzip Im Innern eines zusammenhangenden Definitionsgebietes U displaystyle U nbsp nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an ausser wenn sie konstant ist Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss U displaystyle overline U nbsp so werden Maximum und Minimum auf dem Rand U displaystyle partial U nbsp angenommen Glattheit Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird Abschatzung der Ableitungen Sei f displaystyle f nbsp harmonisch in U displaystyle U nbsp Dann gilt fur die Ableitungen D a f x 2 n 1 n a a v n f L 1 B x r displaystyle left D alpha f x right leq frac left 2 n 1 n alpha right alpha v n left f right L 1 B x r nbsp wobei v n displaystyle v n nbsp das Volumen der n displaystyle n nbsp dimensionalen Einheitskugel bezeichnet Analytizitat Aus der Abschatzung der Ableitungen folgt dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann Satz von Liouville Eine beschrankte harmonische Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp ist konstant Harnack Ungleichung Fur jede zusammenhangende offene und relativ kompakte Teilmenge V U displaystyle V subset subset U nbsp gibt es eine Konstante C 0 displaystyle C geq 0 nbsp die nur von dem Gebiet V displaystyle V nbsp abhangt so dass fur jede in U displaystyle U nbsp harmonische und nichtnegative Funktion f displaystyle f nbsp sup V f C inf V f displaystyle sup V f leq C inf V f nbsp gilt Im Sonderfall n 2 displaystyle n 2 nbsp fur ein einfach zusammenhangendes Gebiet U R 2 C displaystyle U subset mathbb R 2 cong mathbb C nbsp konnen die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion Beispiel BearbeitenDie Grundlosung S x 1 2 p ln x n 2 1 n 2 w n 1 x n 2 n 3 displaystyle S x left begin array ll frac 1 2 pi ln x amp n 2 frac 1 n 2 omega n frac 1 x n 2 amp n geq 3 end array right nbsp ist eine auf R n 0 displaystyle mathbb R n setminus 0 nbsp harmonische Funktion worin w n displaystyle omega n nbsp das Mass der Einheitssphare im R n displaystyle mathbb R n nbsp bezeichnet Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlosung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson Gleichung Verallgemeinerungen BearbeitenPolyharmonische Funktionen sind bis zur 2m ten Ordnung der Ableitung stetige Losungen der Differentialgleichung D m f 0 displaystyle Delta m f 0 nbsp Fur m 2 displaystyle m 2 nbsp Biharmonische Funktion taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf Gustav Kirchhoff Literatur BearbeitenLawrence C Evans Partial Differential Equations Reprinted with corrections American Mathematical Society Providence RI 2002 ISBN 0 8218 0772 2 Graduate studies in mathematics 19 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Harmonische Funktion amp oldid 231068103