Ziel des Hamilton Jacobi Formalismus benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi der Klassischen Mechanik ist es die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation q p q p displaystyle q p rightarrow q p zu vereinfachen Dadurch wird eine neue Hamilton Funktion erzeugt die identisch Null ist H q p t 0 displaystyle tilde H q p t 0 Dies hat zur Folge dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten q displaystyle q als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten p displaystyle p Erhaltungsgrossen sind dass also alle dynamischen Grossen in der neuen Hamilton Funktion zyklische Koordinaten sind H p k q k 0 q k c o n s t H q k p k 0 p k c o n s t displaystyle begin aligned frac partial tilde H partial p k amp dot q k 0 quad Leftrightarrow quad q k mathrm const frac partial tilde H partial q k amp dot p k 0 quad Leftrightarrow quad p k mathrm const end aligned Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden S displaystyle S Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton Funktion addiert erhalt man die transformierte Hamilton Funktion H q p t H q p t S t 0 displaystyle tilde H q p t H q p t frac partial S partial t 0 Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion S q p t displaystyle S q p t gewahlt die von den alten Ortskoordinaten q displaystyle q und den neuen konstanten Impulsen p displaystyle p abhangt so dass p k S q k p k t q k q k S q k p k t p k displaystyle p k frac partial S q k p k t partial q k quad q k frac partial S q k p k t partial p k Eingesetzt in H 0 displaystyle tilde H 0 ergibt sich die Hamilton Jacobi Differentialgleichung fur S displaystyle S H q k S q k t S t 0 displaystyle H left q k frac partial S partial q k t right frac partial S partial t 0 Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen q k displaystyle q k und t displaystyle t fur die Hamiltonsche Wirkungsfunktion S displaystyle S die Verwendung des Begriffs Wirkung wird weiter unten begrundet Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung der Hamilton Jacobi Gleichung aus dem Wirkungsintegral 2 Hamilton Jacobi Formalismus fur nicht explizit zeitabhangige Hamilton Funktion 3 Beispiel Der eindimensionale harmonische Oszillator 4 LiteraturHerleitung der Hamilton Jacobi Gleichung aus dem Wirkungsintegral BearbeitenZur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional S q t 0 t L s q s q s d s displaystyle S q t int 0 t L s q s dot q s ds nbsp mit der Lagrange Funktion L displaystyle L nbsp Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange Funktion zuruck d h d S d t L displaystyle frac dS dt L nbsp Sieht man S displaystyle S nbsp jedoch als Funktion der Koordinaten q displaystyle q nbsp und t displaystyle t nbsp an so ergibt sich fur das totale Zeit Differential d S d t S t S q k d q k d t S t S q k q k displaystyle frac dS dt frac partial S partial t sum frac partial S partial q k frac dq k dt frac partial S partial t sum frac partial S partial q k dot q k nbsp Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler Lagrange Gleichungen S q k 0 t L q k d s 0 t d d s L q k d s L q k p k displaystyle frac partial S partial q k int 0 t frac partial L partial q k ds int 0 t frac d ds frac partial L partial dot q k ds frac partial L partial dot q k p k nbsp mit den kanonischen Impulsen p k displaystyle p k nbsp Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von S displaystyle S nbsp erhalt man somit d S d t L S t p k q k displaystyle frac dS dt L frac partial S partial t sum p k dot q k nbsp woraus nach der Definition der Hamilton Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt Hamilton Jacobi Formalismus fur nicht explizit zeitabhangige Hamilton Funktion BearbeitenFur konservative Systeme d h H displaystyle H nbsp nicht explizit zeitabhangig H q p H t displaystyle H q p neq H t nbsp wird zur ursprunglichen Hamilton Funktion die von den alten Impulsen und Orten abhangt eine erzeugende Funktion S q p displaystyle S q p nbsp konstruiert die sie in eine neue Hamilton Funktion transformiert welche nur noch von den neuen konstanten Impulsen abhangt H q p H p displaystyle H q p Rightarrow tilde H p nbsp Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung p H p q 0 p c o n s t displaystyle dot p frac partial tilde H p partial q 0 Leftrightarrow p mathrm const nbsp die neuen Orte andern sich nur linear mit der Zeit q H p p C q C t b displaystyle dot q frac partial tilde H p partial p C Leftrightarrow q Ct b nbsp mit C b c o n s t displaystyle C b mathrm const nbsp Fur S q p displaystyle S q p nbsp muss gelten p S q p q displaystyle p frac partial S q p partial q nbsp q S q p p displaystyle q frac partial S q p partial p nbsp Eingesetzt in die Hamilton Funktion ergibt sich die Hamilton Jacobi Differentialgleichung fur S q p displaystyle S q p nbsp fur konservative Systeme H q p H q S q p q H p displaystyle H q p Rightarrow H left q frac partial S q p partial q right tilde H p nbsp Zur Veranschaulichung von S displaystyle S nbsp wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet d d t S q p S q q S p p p q q p p q w e g e n p 0 displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d t S q p amp frac partial S partial q dot q frac partial S partial p dot p amp p dot q q dot p amp p dot q quad quad quad mathrm wegen dot p 0 end aligned nbsp Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen mit Lagrangefunktion L T V displaystyle L T V nbsp wobei T displaystyle T nbsp die kinetische Energie ist V q displaystyle V q nbsp das Potential d d t S q p L q q T q q 2 T displaystyle frac mathrm d mathrm d t S q p frac partial L partial dot q dot q frac partial T partial dot q dot q 2T nbsp Die zeitliche Integration liefert S t 1 t 2 2 T d t W displaystyle S int t 1 t 2 2T mathrm d t W nbsp also ist S q p displaystyle S q p nbsp mit dem Wirkungsintegral identisch Beispiel Der eindimensionale harmonische Oszillator BearbeitenSei U U q displaystyle U U q nbsp ein beliebiges Potential Die Hamilton Funktion lautet H p q p 2 2 m U q displaystyle H p q frac p 2 2m U q nbsp die Hamilton Jacobi Gleichung 1 2 m S q p q 2 U q H E displaystyle frac 1 2m left frac partial S q p partial q right 2 U q tilde H E nbsp Beim eindimensionalen Oszillator ist H displaystyle tilde H nbsp die einzige Konstante der Bewegung Da p displaystyle p nbsp ebenfalls konstant sein muss setzt man p H E displaystyle p tilde H E nbsp was fur alle konservativen Systeme moglich ist S q p q 2 2 m U q 2 m p displaystyle left frac partial S q p partial q right 2 2mU q 2mp nbsp Durch Integrieren folgt S q p 2 m q 0 q p U q d q displaystyle S q p sqrt 2m int q 0 q sqrt p U tilde q mathrm d tilde q nbsp mit q S q p p displaystyle q frac partial S q p partial p nbsp q m 2 m q 0 q d q p U q displaystyle q frac m sqrt 2m int q 0 q frac mathrm d tilde q sqrt p U tilde q nbsp Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt ausserdem q H p p E p p p 1 displaystyle dot q frac partial tilde H p partial p frac partial E partial p frac partial p partial p 1 nbsp q t t 0 displaystyle Rightarrow q t t 0 nbsp Um die Bewegung in p t displaystyle p t nbsp und q t displaystyle q t nbsp darstellen zu konnen muss zu den alten Koordinaten zurucktransformiert werden p t S q p q 2 m p U q displaystyle p t frac partial S q p partial q sqrt 2m p U q nbsp q t t 0 m 2 m q 0 q d q E U q displaystyle q t t 0 frac m sqrt 2m int q 0 q frac mathrm d tilde q sqrt E U tilde q nbsp Fur den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit U q 1 2 a q 2 displaystyle U q frac 1 2 aq 2 nbsp p t 2 m E 1 2 a q 2 displaystyle p t sqrt 2m left E frac 1 2 aq 2 right nbsp q t t 0 m 2 m q 0 q d q E 1 2 a q 2 displaystyle q t t 0 frac m sqrt 2m int q 0 q frac mathrm d tilde q sqrt E frac 1 2 a tilde q 2 nbsp Somit fur den Fall q 0 0 displaystyle q 0 0 nbsp t t 0 m a arcsin a 2 E q displaystyle t t 0 sqrt frac m a arcsin sqrt frac a 2E q nbsp und letztlich q t 2 E a sin a m t t 0 displaystyle q t sqrt frac 2E a sin sqrt frac a m t t 0 nbsp p t 2 m E cos a m t t 0 displaystyle p t sqrt 2mE cos sqrt frac a m t t 0 nbsp Literatur BearbeitenHerbert Goldstein Charles P Poole Jr John L Safko Klassische Mechanik 3 Auflage Wiley VCH Weinheim 2006 ISBN 3 527 40589 5 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik 7 Auflage Springer Heidelberg 2006 ISBN 3 540 30660 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hamilton Jacobi Formalismus amp oldid 215964675
