Die erste Fundamentalform oder metrische Grundform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Theorie der Flachen im dreidimensionalen euklidischen Raum einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie Die erste Fundamentalform ermoglicht unter anderem die Behandlung folgender Aufgaben Berechnung der Lange einer Kurve auf der gegebenen Flache Berechnung des Winkels unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Flache schneiden Berechnung des Flacheninhalts eines Flachenstucks der gegebenen FlacheFerner lassen sich aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform und ihren partiellen Ableitungen die gausssche Krummung Formel von Brioschi und die Christoffelsymbole zweiter Art bestimmen Diejenigen Eigenschaften einer Flache die sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform untersuchen lassen fasst man unter der Bezeichnung innere Geometrie zusammen Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Eigenschaften 2 Lange einer Flachenkurve 3 Inhalt eines Flachenstucks 4 Beispiel Kugeloberflache 5 Spezialfall Graph einer Funktion 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 LiteraturDefinition und Eigenschaften BearbeitenEine Flache sei durch eine auf einer offenen Teilmenge U R 2 displaystyle U subset mathbb R 2 nbsp definierte Abbildung X U R 3 u v X u v displaystyle X colon U to mathbb R 3 quad u v mapsto X u v nbsp gegeben also durch u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp parametrisiert Fur den durch die Parameterwerte u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp bestimmten Punkt der Flache sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermassen definiert E u v X u u v X u u v X u u v 2 displaystyle E u v X u u v cdot X u u v X u u v 2 nbsp F u v X u u v X v u v displaystyle F u v X u u v cdot X v u v nbsp G u v X v u v X v u v X v u v 2 displaystyle G u v X v u v cdot X v u v X v u v 2 nbsp Dabei sind die Vektoren X u u v X u u v und X v u v X v u v displaystyle X u u v frac partial X partial u u v quad text und quad X v u v frac partial X partial v u v nbsp die ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern u displaystyle u nbsp bzw v displaystyle v nbsp Die Malpunkte bezeichnen das Skalarprodukt der Vektoren Zur Vereinfachung lasst man haufig die Argumente weg und schreibt nur E displaystyle E nbsp F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp fur die Koeffizienten Die erste Fundamentalform ist dann die quadratische Form I R 2 R w 1 w 2 E w 1 2 2 F w 1 w 2 G w 2 2 displaystyle I colon mathbb R 2 to mathbb R w 1 w 2 mapsto E w 1 2 2F w 1 w 2 G w 2 2 nbsp Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet d s 2 E d u 2 2 F d u d v G d v 2 displaystyle ds 2 E du 2 2F du dv G dv 2 nbsp Eine weitere modernere Schreibweise ist g 11 E g 12 g 21 F g 22 G displaystyle g 11 E quad g 12 g 21 F quad g 22 G nbsp Setzt man X 1 X u displaystyle X 1 X u nbsp und X 2 X v displaystyle X 2 X v nbsp so gilt g i j X i X j displaystyle g ij X i cdot X j nbsp fur i j 1 2 displaystyle i j 1 2 nbsp Die Zahlen g i j displaystyle g ij nbsp sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors Dieser hat also die Matrixdarstellung g i j E F F G displaystyle g ij begin pmatrix E amp F F amp G end pmatrix nbsp Oft bezeichnet man auch diesen Tensor also die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform als erste Fundamentalform g displaystyle g nbsp Fur die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt E 0 G 0 E G F 2 0 displaystyle E geq 0 quad G geq 0 quad EG F 2 geq 0 nbsp Dabei ist E G F 2 displaystyle EG F 2 nbsp die Diskriminante also die Determinante der Darstellungsmatrix der ersten Fundamentalform Gilt daruber hinaus E G F 2 gt 0 displaystyle EG F 2 gt 0 nbsp so folgt daraus auch E gt 0 displaystyle E gt 0 nbsp und G gt 0 displaystyle G gt 0 nbsp und die erste Fundamentalform ist positiv definit Dies ist genau dann der Fall wenn X u displaystyle X u nbsp und X v displaystyle X v nbsp linear unabhangig sind Eine Flache mit positiv definiter erster Fundamentalform heisst differentialgeometrisch regular oder differentialgeometrisch regular parametrisiert Lange einer Flachenkurve BearbeitenEine Kurve auf der gegebenen Flache lasst sich ausdrucken durch zwei reelle Funktionen f 1 displaystyle varphi 1 nbsp und f 2 displaystyle varphi 2 nbsp Jedem moglichen Wert des Parameters t displaystyle t nbsp wird der auf der Flache gelegene Punkt X f 1 t f 2 t displaystyle X varphi 1 t varphi 2 t nbsp zugeordnet Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar so gilt fur die Lange des durch t a b displaystyle t in a b nbsp festgelegten Kurvenstucks l a b I f 1 t f 2 t d t a b E f 1 t 2 2 F f 1 t f 2 t G f 2 t 2 d t displaystyle l int limits a b sqrt I dot varphi 1 t dot varphi 2 t dt int limits a b sqrt E cdot dot varphi 1 t 2 2F cdot dot varphi 1 t dot varphi 2 t G cdot dot varphi 2 t 2 dt nbsp Mit Hilfe des Wegelements d s d s 2 displaystyle ds sqrt ds 2 nbsp ausgedruckt l f d s displaystyle l int varphi ds nbsp Inhalt eines Flachenstucks BearbeitenDer Inhalt eines durch einen Parameterbereich B displaystyle B nbsp gegebenen Flachenstucks lasst sich berechnen durch A B E G F 2 d u v displaystyle A int limits B sqrt EG F 2 d u v nbsp Beispiel Kugeloberflache BearbeitenDie Oberflache einer Kugel mit Radius r displaystyle r nbsp lasst sich in spharischen Koordinaten parametrisieren durch X u v r sin u cos v r sin u sin v r cos u displaystyle X u v begin pmatrix r sin u cos v r sin u sin v r cos u end pmatrix nbsp Fur die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich E X u u v X u u v r cos u cos v r cos u sin v r sin u r cos u cos v r cos u sin v r sin u r 2 displaystyle E X u u v cdot X u u v begin pmatrix r cos u cos v r cos u sin v r sin u end pmatrix cdot begin pmatrix r cos u cos v r cos u sin v r sin u end pmatrix r 2 nbsp F X u u v X v u v r cos u cos v r cos u sin v r sin u r sin u sin v r sin u cos v 0 0 displaystyle F X u u v cdot X v u v begin pmatrix r cos u cos v r cos u sin v r sin u end pmatrix cdot begin pmatrix r sin u sin v r sin u cos v 0 end pmatrix 0 nbsp G X v u v X v u v r sin u sin v r sin u cos v 0 r sin u sin v r sin u cos v 0 r 2 sin 2 u displaystyle G X v u v cdot X v u v begin pmatrix r sin u sin v r sin u cos v 0 end pmatrix cdot begin pmatrix r sin u sin v r sin u cos v 0 end pmatrix r 2 sin 2 u nbsp Die erste Fundamentalform ist demnach d s 2 r 2 d u 2 r 2 sin 2 u d v 2 displaystyle ds 2 r 2 du 2 r 2 sin 2 u dv 2 nbsp Spezialfall Graph einer Funktion BearbeitenIst die betrachtete Flache der Graph einer Funktion f displaystyle f nbsp uber dem Parameterbereich U displaystyle U nbsp also X u v u v f u v displaystyle X u v u v f u v nbsp fur alle u v U displaystyle u v in U nbsp so gilt 1 X u u v 1 0 f u X v u v 0 1 f v displaystyle X u u v 1 0 f u quad X v u v 0 1 f v nbsp und damit E 1 f u 2 F f u f v G 1 f v 2 displaystyle E 1 f u 2 quad F f u f v quad G 1 f v 2 nbsp und E G F 2 1 f u 2 1 f v 2 f u f v 2 1 f u 2 f v 2 displaystyle EG F 2 1 f u 2 1 f v 2 f u f v 2 1 f u 2 f v 2 nbsp Hierbei bezeichnen f u displaystyle f u nbsp und f v displaystyle f v nbsp die partiellen Ableitungen von f displaystyle f nbsp nach u displaystyle u nbsp bzw v displaystyle v nbsp Siehe auch BearbeitenZweite FundamentalformEinzelnachweise Bearbeiten A Hartmann Flachen Gauss Krummung erste und zweite Fundamentalform theorema egregium PDF 12 April 2011 abgerufen am 29 September 2016 Seite 6 Beweis zu Satz 3 4 Literatur BearbeitenManfredo Perdigao do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice Hall Inc Upper Saddle River NJ 1976 ISBN 0 13 212589 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erste Fundamentalform amp oldid 164132074
