In Kugelkoordinaten oder raumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben Bei Punkten auf einer Kugeloberflache Sphare um den Koordinatenursprung ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt konstant Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel sie werden dann als spharische Koordinaten oder Kugelflachenkoordinaten 1 2 bezeichnet Der Begriff Kugelkoordinaten kann als Oberbegriff fur den allgemeinen Fall und die spharischen Koordinaten angesehen werden Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum Sie lassen sich auch weiter auf Raume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Ubliche Konvention 1 1 Definition 1 2 Umrechnungen 2 Anwendungen 3 Andere Konventionen 4 Koordinatenlinien und Koordinatenflachen 5 Transformation von Differentialen 5 1 Jacobi Matrix 5 2 Differentiale Volumenelement Flachenelement Linienelement 5 3 Metrik und Rotationsmatrix 6 Transformation von Vektorfeldern und Operatoren 6 1 Transformation der Vektorraumbasis 6 2 Transformation eines Vektorfeldes 6 3 Transformation der partiellen Ableitungen 6 4 Transformation des Nabla Operators 6 5 Transformation des Laplace Operators 7 Verallgemeinerung auf n dimensionale Kugelkoordinaten 7 1 Jacobi Matrix 7 1 1 Beispiele 7 2 Beispiel 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseUbliche Konvention BearbeitenDefinition Bearbeiten nbsp Kugelkoordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp eines Punktes P displaystyle P nbsp und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x y z displaystyle x y z nbsp Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl eines Zentrums O displaystyle O nbsp Ursprung einer gerichteten Gerade durch das Zentrum Polachse die die Polrichtung oder Zenitrichtung angibt und durch diese festgelegt die Aquatorebene die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verlauft und einer Bezugsrichtung in der Aquatorebene Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewahlt die z Achse als Polachse und damit die x y Ebene als Aquatorebene und die x Achse als Bezugsrichtung In der Version der Kugelkoordinaten die in der Mathematik und in der Physik ublich ist wird ein Punkt P displaystyle P nbsp durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt r displaystyle r nbsp der Radius ist der Abstand des Punktes P displaystyle P nbsp von O displaystyle O nbsp hiermit wird die Kugeloberflache festgelegt auf der sich P displaystyle P nbsp befindet 8 displaystyle theta nbsp oder ϑ displaystyle vartheta nbsp 3 der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel 4 ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke O P displaystyle OP nbsp gezahlt von 0 displaystyle 0 nbsp bis p displaystyle pi nbsp 0 bis 180 hierdurch wird der Ort des Punktes P displaystyle P nbsp auf eine Kreislinie der Kugeloberflache festgelegt f displaystyle varphi nbsp oder ϕ displaystyle phi nbsp 3 der Azimutwinkel 4 ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke O P displaystyle OP nbsp gezahlt von p displaystyle pi nbsp bis p displaystyle pi nbsp 180 bis 180 oder von 0 bis 2 p displaystyle 2 pi nbsp 0 bis 360 gegen den Uhrzeigersinn Hierdurch wird der Ort des Punktes P displaystyle P nbsp auf der Kreislinie eindeutig definiert Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt P displaystyle P nbsp mit den Kugelkoordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp Die beiden Winkelgrossen 8 displaystyle theta nbsp und f displaystyle varphi nbsp werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet Umrechnungen Bearbeiten Jedem Koordinatentripel r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet Parametrisierung Wahlt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden x r sin 8 cos f y r sin 8 sin f z r cos 8 displaystyle begin array cll x amp amp r cdot sin theta cdot cos varphi y amp amp r cdot sin theta cdot sin varphi z amp amp r cdot cos theta end array nbsp Bei diesen Gleichungen konnen fur r displaystyle r nbsp 8 displaystyle theta nbsp und f displaystyle varphi nbsp beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind muss man den Wertebereich der Koordinaten einschranken Ublicherweise wird der Radius r displaystyle r nbsp auf nichtnegative Werte beschrankt der Winkel 8 displaystyle theta nbsp auf das Intervall 0 p displaystyle 0 pi nbsp bzw 0 180 und der Winkel f displaystyle varphi nbsp entweder auf das Intervall p p displaystyle pi pi nbsp bzw 180 180 oder das Intervall 0 2 p displaystyle 0 2 pi nbsp bzw 0 360 Auch dann gibt es ausgeartete Punkte fur die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind Fur Punkte auf der z Achse ist der Winkel f displaystyle varphi nbsp nicht festgelegt also beliebig Fur den Ursprung ist auch 8 displaystyle theta nbsp beliebig Um Eindeutigkeit zu erreichen kann man fur diese Punkte f 0 displaystyle varphi 0 nbsp festlegen und fur den Ursprung zusatzlich 8 0 displaystyle theta 0 nbsp Fur die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp aus den kartesischen Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp durch die folgenden Gleichungen berechnen 5 r x 2 y 2 z 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 z 2 nbsp 8 arccos z x 2 y 2 z 2 arccos z r arccot z x 2 y 2 displaystyle theta arccos frac z sqrt x 2 y 2 z 2 arccos frac z r operatorname arccot frac z sqrt x 2 y 2 nbsp f atan2 y x arctan y x wenn x gt 0 p 2 sgn y wenn x 0 arctan y x p wenn x lt 0 y 0 arctan y x p wenn x lt 0 y lt 0 displaystyle varphi operatorname atan2 y x begin cases arctan left frac y x right amp text wenn x gt 0 frac pi 2 operatorname sgn y amp text wenn x 0 arctan left frac y x right pi amp text wenn x lt 0 land y geq 0 arctan left frac y x right pi amp text wenn x lt 0 land y lt 0 end cases nbsp Die angegebenen Gleichungen fur den Winkel f displaystyle varphi nbsp gelten wenn f displaystyle varphi nbsp zwischen p displaystyle pi nbsp und p displaystyle pi nbsp gewahlt wird Wahlt man f displaystyle varphi nbsp zwischen 0 und 2 p displaystyle 2 pi nbsp so sind sie geeignet zu modifizieren In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten Winkel meist im Bogenmass angegeben Anwendungen BearbeitenKugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet die rotationssymmetrisch bezuglich eines Punktes sind Beispiele sind Volumenintegrale uber Kugeln die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder wie z B das Gravitationsfeld eines kugelformigen Himmelskorpers das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel siehe Beispiele zum Oberflachenintegral Die betrachteten Grossen hangen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab was viele Formeln vereinfacht Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace Gleichung oder die Helmholtzgleichung konnen in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelost werden Andere Konventionen BearbeitenDie obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik Manchmal werden die Zeichen 8 displaystyle theta nbsp und f displaystyle varphi nbsp aber im umgekehrten Sinne verwendet insbesondere in der amerikanischen Literatur Der Polarwinkel 8 displaystyle theta nbsp ist nicht die geographische Breite sondern lasst sich mit der Kobreite identifizieren Die geographische Breite ist der Winkel zwischen der Aquatorialebene und dem Ortsvektor und nimmt Werte zwischen 90 displaystyle 90 circ nbsp und 90 displaystyle 90 circ nbsp an Wird sie mit ϕ displaystyle phi nbsp bezeichnet so ist ϕ 90 8 8 90 ϕ displaystyle phi 90 circ theta theta 90 circ phi nbsp Hingegen kann man das oben benutzte f displaystyle varphi nbsp ohne weiteres mit der geographischen Lange l displaystyle lambda nbsp ostlich von Greenwich gleichsetzen siehe geographische Koordinaten Die obige Konstruktion ist in gewisser Hinsicht inkonsistent mit dem Aufbau der ebenen Polarkoordinaten Fur manche Probleme ist es praktischer die Darstellung x r cos ϕ cos f displaystyle x r cos phi cos varphi nbsp y r cos ϕ sin f displaystyle y r cos phi sin varphi nbsp z r sin ϕ displaystyle z r sin phi quad nbsp zu benutzen In dieser Darstellung entspricht ϕ displaystyle phi nbsp der geographischen Breite Die Rucktransformation des Punktes bzw Vektors p displaystyle vec p nbsp in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit ϕ arcsin z r displaystyle phi arcsin z r nbsp f atan2 y x displaystyle varphi operatorname atan2 y x nbsp wobei r p displaystyle r vec p nbsp Koordinatenlinien und Koordinatenflachen BearbeitenAus der Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor r displaystyle vec r nbsp r x y z r sin 8 cos f r sin 8 sin f r cos 8 displaystyle vec r begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix r sin theta cos varphi r sin theta sin varphi r cos theta end pmatrix nbsp ergeben sich die Koordinatenlinien indem man jeweils zwei der drei Koordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp fest lasst und die dritte den Kurvenparameter darstellt die Koordinatenflachen indem man eine der drei Koordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp fest lasst und die beiden anderen die Flache parametrisieren Fur Kugelkoordinaten sind die Koordinatenlinien durch den Punkt r 0 8 0 f 0 displaystyle r 0 mid theta 0 mid varphi 0 nbsp fur den Parameter r displaystyle r nbsp eine Halbgerade die im Koordinatenursprung beginnt fur den Parameter 8 displaystyle theta nbsp ein Halbkreis Meridian mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius r 0 displaystyle r 0 nbsp fur den Parameter f displaystyle varphi nbsp ein Kreis Breitenkreis mit Radius r 0 sin 8 0 displaystyle r 0 sin theta 0 nbsp senkrecht zur z Achse Als Koordinatenflache durch den Punkt r 0 8 0 f 0 displaystyle r 0 mid theta 0 mid varphi 0 nbsp ergibt sich fur konstanten Radius r 0 displaystyle r 0 nbsp eine Kugelflache mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt fur festen Winkel 8 0 displaystyle theta 0 nbsp eine Kegeloberflache mit der Spitze im Ursprung und der Polachse als Kegelachse die fur 8 0 p 2 displaystyle theta 0 pi 2 nbsp zu einer Ebene durch den Aquator wird und fur 8 0 0 displaystyle theta 0 0 nbsp zu einer Geraden durch den Nordpol und fur 8 0 p displaystyle theta 0 pi nbsp zu einer Geraden durch den Sudpol entartet fur konstanten Wert von f 0 displaystyle varphi 0 nbsp eine Halbebene mit der Polachse als Rand Zwei unterschiedliche Koordinatenflachen durch einen Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie Koordinatenlinien und Koordinatenflachen dienen dazu die lokalen Basisvektoren zu berechnen In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unterschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarianten und kontravarianten Basisvektoren die kovarianten Basisvektoren an einem Punkt sind jeweils tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet die kontravarianten Basisvektoren an einem Punkt stehen jeweils senkrecht auf den Koordinatenflachen Transformation von Differentialen BearbeitenJacobi Matrix Bearbeiten Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi Matrix beschrieben Fur die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese J x y z r 8 f sin 8 cos f r cos 8 cos f r sin 8 sin f sin 8 sin f r cos 8 sin f r sin 8 cos f cos 8 r sin 8 0 displaystyle J frac partial x y z partial r theta varphi begin pmatrix sin theta cos varphi amp r cos theta cos varphi amp r sin theta sin varphi sin theta sin varphi amp r cos theta sin varphi amp r sin theta cos varphi cos theta amp r sin theta amp 0 end pmatrix nbsp Die zugehorige Funktionaldeterminante lautet det J r 2 sin 8 displaystyle det J r 2 sin theta nbsp Man berechnet die Jacobi Matrix der entgegengesetzten Transformation am einfachsten als Inverse von J displaystyle J nbsp J 1 r 8 f x y z sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 1 r cos 8 cos f 1 r cos 8 sin f 1 r sin 8 1 r sin f sin 8 1 r cos f sin 8 0 displaystyle J 1 frac partial r theta varphi partial x y z begin pmatrix sin theta cos varphi amp sin theta sin varphi amp cos theta frac 1 r cos theta cos varphi amp frac 1 r cos theta sin varphi amp frac 1 r sin theta frac 1 r frac sin varphi sin theta amp frac 1 r frac cos varphi sin theta amp 0 end pmatrix nbsp Einige Komponenten dieser Matrix sind Bruche an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei r 0 displaystyle textstyle r 0 nbsp und bei sin 8 0 displaystyle textstyle sin theta 0 nbsp also 8 0 displaystyle textstyle theta 0 nbsp oder p displaystyle textstyle pi nbsp erkennt Weniger gebrauchlich ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten J 1 x r y r z r x z r 2 x 2 y 2 y z r 2 x 2 y 2 x 2 y 2 r 2 x 2 y 2 y x 2 y 2 x x 2 y 2 0 displaystyle J 1 begin pmatrix frac x r amp frac y r amp frac z r frac xz r 2 sqrt x 2 y 2 amp frac yz r 2 sqrt x 2 y 2 amp frac x 2 y 2 r 2 sqrt x 2 y 2 frac y x 2 y 2 amp frac x x 2 y 2 amp 0 end pmatrix nbsp Differentiale Volumenelement Flachenelement Linienelement Bearbeiten Die Jacobi Matrix erlaubt es die Umrechnung von Differentialen ubersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben d x d y d z J d r d 8 d f displaystyle begin pmatrix mathrm d x mathrm d y mathrm d z end pmatrix J cdot begin pmatrix mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi end pmatrix nbsp beziehungsweise d r d 8 d f J 1 d x d y d z displaystyle begin pmatrix mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi end pmatrix J 1 cdot begin pmatrix mathrm d x mathrm d y mathrm d z end pmatrix nbsp Das Volumenelement d V d x d y d z displaystyle mathrm d V mathrm d x mathrm d y mathrm d z nbsp lasst sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante det J r 2 sin 8 displaystyle det J r 2 sin theta nbsp umrechnen d V r 2 sin 8 d f d 8 d r displaystyle mathrm d V r 2 sin theta mathrm d varphi mathrm d theta mathrm d r nbsp Durch Differentiation d V d r displaystyle frac mathrm d V mathrm d r nbsp erhalt man fur das Flachenelement d A displaystyle mathrm d A nbsp auf einer Sphare mit Radius r displaystyle r nbsp d A r 2 sin 8 d f d 8 displaystyle mathrm d A r 2 sin theta mathrm d varphi mathrm d theta nbsp Das Linienelement d s displaystyle mathrm d s nbsp errechnet man gemass d s 2 d x 2 d y 2 d z 2 d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle mathrm d s 2 mathrm d x 2 mathrm d y 2 mathrm d z 2 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 r 2 sin 2 theta mathrm d varphi 2 nbsp Metrik und Rotationsmatrix Bearbeiten Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement d s displaystyle mathrm d s nbsp spiegelt sich wider dass der metrische Tensor g J T J 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 8 displaystyle g J T J begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp r 2 amp 0 0 amp 0 amp r 2 sin 2 theta end pmatrix nbsp auch in Kugelkoordinaten keine Ausserdiagonalelemente hat Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix h diag 1 r r sin 8 displaystyle h operatorname diag 1 r r sin theta nbsp Mit Hilfe dieser Matrix lasst sich die Jacobi Matrix als J S h displaystyle J Sh nbsp schreiben wobei S displaystyle S nbsp die Rotationsmatrix S sin 8 cos f cos 8 cos f sin f sin 8 sin f cos 8 sin f cos f cos 8 sin 8 0 displaystyle S begin pmatrix sin theta cos varphi amp cos theta cos varphi amp sin varphi sin theta sin varphi amp cos theta sin varphi amp cos varphi cos theta amp sin theta amp 0 end pmatrix nbsp ist Transformation von Vektorfeldern und Operatoren Bearbeiten nbsp Kugelkoordinaten mit zugehoriger vom Ort abhangigen Orthogonalbasis e r e 8 e f displaystyle mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi nbsp Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur fur Punkte ausserhalb der z Achse fur die die Jacobi Determinante ungleich null ist Transformation der Vektorraumbasis Bearbeiten Der Basisvektor e f displaystyle mathbf e varphi nbsp zur Koordinate f displaystyle varphi nbsp gibt an in welche Richtung sich ein Punkt P r 8 f displaystyle P r theta varphi nbsp bewegt wenn die Koordinate f displaystyle varphi nbsp um einen infinitesimalen Betrag d f displaystyle d varphi nbsp verandert wird e f P f displaystyle mathbf e varphi sim frac partial mathrm P partial varphi nbsp Daraus erhalt man e f P f x f e x y f e y z f e z r sin 8 sin f e x r sin 8 cos f e y displaystyle mathbf e varphi sim frac partial mathrm P partial varphi frac partial x partial varphi mathbf e x frac partial y partial varphi mathbf e y frac partial z partial varphi mathbf e z r sin theta sin varphi mathbf e x r sin theta cos varphi mathbf e y nbsp Um eine orthonormale Basis zu erhalten muss e f displaystyle e varphi nbsp noch auf die Lange 1 displaystyle 1 nbsp normiert werden e f sin f e x cos f e y displaystyle mathbf e varphi sin varphi mathbf e x cos varphi mathbf e y nbsp Auf gleiche Weise erhalt man die Basisvektoren e r displaystyle e r nbsp und e 8 displaystyle e theta nbsp e r sin 8 cos f e x sin 8 sin f e y cos 8 e z displaystyle mathbf e r sin theta cos varphi mathbf e x sin theta sin varphi mathbf e y cos theta mathbf e z nbsp e 8 cos 8 cos f e x cos 8 sin f e y sin 8 e z displaystyle mathbf e theta cos theta cos varphi mathbf e x cos theta sin varphi mathbf e y sin theta mathbf e z nbsp Als Spaltenvektoren geschrieben e r sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 e 8 cos 8 cos f cos 8 sin f sin 8 e f sin f cos f 0 displaystyle mathbf e r begin pmatrix sin theta cos varphi sin theta sin varphi cos theta end pmatrix qquad mathbf e theta begin pmatrix cos theta cos varphi cos theta sin varphi sin theta end pmatrix qquad mathbf e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix nbsp Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge e r e 8 e f displaystyle mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi nbsp ein Rechtssystem Die zugehorigen Richtungen werden auch radial meridional und azimutal genannt Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften z B Geographie Geologie oder Geophysik eine zentrale Rolle sondern auch in Mathematik Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen Hertzscher Dipol durch eine in z Richtung aufgespannte Antenne wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt wahrend elektrisches bzw magnetisches Feld in meridionaler bzw azimutaler Richtung schwingen Mithilfe der oben eingefuhrten Rotationsmatrix S displaystyle S nbsp lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen e r e 8 e f e x e y e z S displaystyle mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi mathbf e x mathbf e y mathbf e z cdot S nbsp In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann e x e y e z e r e 8 e f S T displaystyle mathbf e x mathbf e y mathbf e z mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi cdot S T nbsp Dabei wird verwendet dass S displaystyle S nbsp orthogonal ist und deshalb S 1 S T displaystyle S 1 S T nbsp Transformation eines Vektorfeldes Bearbeiten Ein Vektor als ein geometrisches Objekt muss vom Koordinatensystem unabhangig sein A x e x A y e y A z e z A A r e r A 8 e 8 A f e f displaystyle A x mathbf e x A y mathbf e y A z mathbf e z mathbf A A r mathbf e r A theta mathbf e theta A varphi mathbf e varphi nbsp Diese Bedingung wird erfullt durch A x A y A z S A r A 8 A f displaystyle begin pmatrix A x A y A z end pmatrix S cdot begin pmatrix A r A theta A varphi end pmatrix nbsp beziehungsweise A r A 8 A f S T A x A y A z displaystyle begin pmatrix A r A theta A varphi end pmatrix S T cdot begin pmatrix A x A y A z end pmatrix nbsp Transformation der partiellen Ableitungen Bearbeiten Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren aber ohne Normierung Man kann genau wie oben rechnen nur lasst man den Punkt P displaystyle P nbsp im Zahler weg tatsachlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt und verwendet die Jacobi Matrix J S h displaystyle J Sh nbsp anstelle der Rotationsmatrix S displaystyle S nbsp Die Transformation lautet also r 8 f x y z J displaystyle left frac partial partial r frac partial partial theta frac partial partial varphi right left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right cdot J nbsp und in die Gegenrichtung x y z r 8 f J 1 displaystyle left frac partial partial x frac partial partial y frac partial partial z right left frac partial partial r frac partial partial theta frac partial partial varphi right cdot J 1 nbsp Transformation des Nabla Operators Bearbeiten Der Nabla Operator displaystyle nabla nbsp hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form e x x e y y e z z displaystyle mathbf nabla mathbf e x frac partial partial x mathbf e y frac partial partial y mathbf e z frac partial partial z nbsp Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren Man findet e r r e 8 1 r 8 e f 1 r sin 8 f displaystyle mathbf nabla mathbf e r frac partial partial r mathbf e theta frac 1 r frac partial partial theta mathbf e varphi frac 1 r sin theta frac partial partial varphi nbsp In dieser Form kann der transformierte Nabla Operator unmittelbar angewandt werden um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen ist hingegen zu berucksichtigen dass displaystyle nabla nbsp nicht nur auf die Koeffizienten A r A 8 A f displaystyle A r A theta A varphi nbsp wirkt sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren e r e 8 e f displaystyle mathbf e r mathbf e theta mathbf e varphi nbsp A 1 r 2 r r 2 A r 1 r sin 8 8 sin 8 A 8 1 r sin 8 f A f displaystyle mathbf nabla cdot mathbf A frac 1 r 2 frac partial partial r r 2 A r frac 1 r sin theta frac partial partial theta sin theta A theta frac 1 r sin theta frac partial partial varphi A varphi nbsp Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen ist dasselbe zu berucksichtigen A 1 r sin 8 8 A f sin 8 A 8 f e r 1 r 1 sin 8 A r f r r A f e 8 1 r r r A 8 A r 8 e f displaystyle mathbf nabla times mathbf A 1 over r sin theta left partial over partial theta A varphi sin theta partial A theta over partial varphi right mathbf e r 1 over r left 1 over sin theta partial A r over partial varphi partial over partial r rA varphi right mathbf e theta 1 over r left partial over partial r rA theta partial A r over partial theta right mathbf e varphi nbsp Transformation des Laplace Operators Bearbeiten Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator displaystyle nabla nbsp einsetzt findet man den Laplace Operator D 2 1 r 2 r r 2 r 1 r 2 sin 8 8 sin 8 8 1 r 2 sin 2 8 2 f 2 displaystyle mathbf Delta mathbf nabla 2 frac 1 r 2 frac partial partial r left r 2 frac partial partial r right frac 1 r 2 sin theta frac partial partial theta left sin theta frac partial partial theta right frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 nbsp bzw D 2 r 2 2 r r 1 r 2 2 8 2 1 r 2 cos 8 sin 8 8 1 r 2 sin 2 8 2 f 2 displaystyle mathbf Delta frac partial 2 partial r 2 frac 2 r frac partial partial r frac 1 r 2 frac partial 2 partial theta 2 frac 1 r 2 frac cos theta sin theta frac partial partial theta frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 partial varphi 2 nbsp Verallgemeinerung auf n dimensionale Kugelkoordinaten BearbeitenEine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf n displaystyle n nbsp Dimensionen x 1 r cos ϕ 1 x 2 r sin ϕ 1 cos ϕ 2 x 3 r sin ϕ 1 sin ϕ 2 cos ϕ 3 x n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 x n r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 displaystyle begin aligned x 1 amp r cos phi 1 x 2 amp r sin phi 1 cos phi 2 x 3 amp r sin phi 1 sin phi 2 cos phi 3 amp vdots x n 1 amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 x n amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 end aligned nbsp Die Winkel entwickeln sich nach tan ϕ n 1 x n x n 1 tan ϕ n 2 x n 2 x n 1 2 x n 2 tan ϕ 1 x n 2 x n 1 2 x 2 2 x 1 displaystyle begin aligned tan phi n 1 amp frac x n x n 1 tan phi n 2 amp frac sqrt x n 2 x n 1 2 x n 2 amp vdots tan phi 1 amp frac sqrt x n 2 x n 1 2 cdots x 2 2 x 1 end aligned nbsp Durch Umnummerierung erhalt man eine Rekursionsformel fur die Winkel x n r cos ϕ n 1 x n 1 r sin ϕ n 1 cos ϕ n 2 x n 2 r sin ϕ n 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 3 x 2 r sin ϕ n 1 sin ϕ 2 cos ϕ 1 x 1 r sin ϕ n 1 sin ϕ 2 sin ϕ 1 displaystyle begin aligned x n amp r cos phi n 1 x n 1 amp r sin phi n 1 cos phi n 2 x n 2 amp r sin phi n 1 sin phi n 2 cos phi n 3 amp vdots x 2 amp r sin phi n 1 cdots sin phi 2 cos phi 1 x 1 amp r sin phi n 1 cdots sin phi 2 sin phi 1 end aligned nbsp Woraus sich die folgenden Winkel ergeben L k sgn x k x k 2 L k 1 2 x k x k x k 2 L k 1 2 displaystyle left Vert vec L k right Vert operatorname sgn x k sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 frac x k left Vert x k right Vert sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 nbsp mit L 0 0 displaystyle left Vert vec L 0 right Vert 0 nbsp und tan ϕ k x k 2 L k 1 2 x k 1 L k x k 1 displaystyle tan phi k frac sqrt x k 2 left Vert vec L k 1 right Vert 2 x k 1 frac left Vert vec L k right Vert x k 1 nbsp Der Radius ist r L n displaystyle r left Vert vec L n right Vert nbsp Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate wobei arctan p 2 displaystyle arctan pm infty pm tfrac pi 2 nbsp ϕ k arctan L k x k 1 p 1 wenn x k 1 lt 0 k n 1 arctan L k x k 1 2 wenn nicht 1 nicht 3 0 3 wenn x k 1 L k 0 displaystyle begin aligned phi k begin cases arctan left frac left Vert vec L k right Vert x k 1 right pi amp text 1 wenn x k 1 lt 0 land k n 1 arctan left frac left Vert vec L k right Vert x k 1 right amp text 2 wenn text nicht 1 land text nicht 3 0 amp text 3 wenn x k 1 left Vert vec L k right Vert 0 end cases end aligned nbsp Dabei fallt auf dass L k displaystyle begin aligned vec L k end aligned nbsp immer ein zweidimensionaler Vektor ist fur k gt 0 displaystyle begin aligned k gt 0 end aligned nbsp Jacobi Matrix Bearbeiten Die Jacobi Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezuglich der als oberes gegebenen Nummerierung J cos ϕ 1 r sin ϕ 1 0 0 0 sin ϕ 1 cos ϕ 2 r cos ϕ 1 cos ϕ 2 r sin ϕ 1 sin ϕ 2 0 0 0 sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 r cos ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 sin ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 r cos ϕ 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n 1 r sin ϕ 1 sin ϕ n 2 cos ϕ n 1 displaystyle J left begin matrix cos phi 1 amp r sin phi 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 sin phi 1 cos phi 2 amp r cos phi 1 cos phi 2 amp r sin phi 1 sin phi 2 amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp vdots vdots amp vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp 0 sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 amp r cos phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 amp cdots amp cdots amp cdots amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 sin phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 amp r cos phi 1 cdots sin phi n 2 sin phi n 1 amp cdots amp cdots amp cdots amp r sin phi 1 cdots sin phi n 2 cos phi n 1 end matrix right nbsp Ihre Determinante betragt det J n r n 1 sin ϕ 1 n 2 sin ϕ 2 n 3 sin ϕ n 2 r n 1 k 2 n 1 sin ϕ n k k 1 n 2 displaystyle det J n r n 1 sin phi 1 n 2 sin phi 2 n 3 cdots sin phi n 2 displaystyle r n 1 cdot prod k 2 n 1 left sin phi n k right k 1 quad n geq 2 nbsp Das Integral uber den Betrag dieser Determinante lasst sich mit der Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp angeben 0 R 0 2 p 0 p 0 p det J n d ϕ 1 d ϕ n 2 d ϕ n 1 d r 2 p R n n k 2 n 1 0 p sin ϕ n k k 1 d ϕ n k 2 p R n n k 2 n 1 p G k 2 G k 1 2 p n R n G n 2 1 n 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi dots int 0 pi det J n text d phi 1 dots text d phi n 2 text d phi n 1 text d r frac 2 pi R n n cdot prod k 2 n 1 int 0 pi sin phi n k k 1 text d phi n k frac 2 pi R n n cdot prod k 2 n 1 frac sqrt pi Gamma left frac k 2 right Gamma left frac k 1 2 right frac sqrt pi n R n Gamma left frac n 2 1 right quad n geq 2 nbsp Dies entspricht dem Kugelvolumen einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Hyperkugel V n R p n R n G n 2 1 displaystyle V n R frac sqrt pi n R n Gamma left frac n 2 1 right nbsp Beispiele Bearbeiten 2D 0 R 0 2 p r d ϕ 1 d r p R 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi r mathrm d phi 1 mathrm d r pi R 2 nbsp 3D 0 R 0 2 p 0 p r 2 sin ϕ 2 d ϕ 2 d ϕ 1 d r 4 p R 3 3 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi r 2 sin phi 2 text d phi 2 text d phi 1 text d r frac 4 pi R 3 3 nbsp 4D 0 R 0 2 p 0 p 0 p r 3 sin 2 ϕ 1 sin ϕ 2 d ϕ 1 d ϕ 2 d ϕ 3 d r p 2 R 4 2 displaystyle int 0 R int 0 2 pi int 0 pi int 0 pi r 3 sin 2 phi 1 sin phi 2 text d phi 1 text d phi 2 text d phi 3 text d r frac pi 2 R 4 2 nbsp Beispiel Bearbeiten Zuordnung am Beispiel n 3 displaystyle n 3 nbsp mit den gelaufigen Koordinatenachsen x y z displaystyle x y z nbsp x 3 z r cos ϕ 2 x 2 x r sin ϕ 2 cos ϕ 1 x 1 y r sin ϕ 2 sin ϕ 1 displaystyle begin aligned x 3 amp z r cos phi 2 x 2 amp x r sin phi 2 cos phi 1 x 1 amp y r sin phi 2 sin phi 1 end aligned nbsp Die Winkel sind dann tan ϕ 2 L 2 x 3 x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 y 2 z tan ϕ 1 L 1 x 2 x 1 2 x 2 y x displaystyle begin aligned tan phi 2 frac left Vert vec L 2 right Vert x 3 amp frac sqrt x 2 2 x 1 2 x 3 frac sqrt x 2 y 2 z tan phi 1 frac left Vert vec L 1 right Vert x 2 amp frac sqrt x 1 2 x 2 frac y x end aligned nbsp Literatur BearbeitenW Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 Springer Vieweg ISBN 978 3 658 25271 7 Weblinks BearbeitenMatroids Matheplanet Einfuhrung in die Vektoranalysis als PDF von Eckard SpechtEinzelnachweise Bearbeiten Richard Doerfling Mathematik fur Ingenieure und Techniker Oldenbourg Verlag Seite 169 F W Schafke Einfuhrung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik Springer 1963 ISBN 978 3 642 94867 1 Seite 129 a b Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik Fehler und Ausgleichsrechnung 4 verbesserte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2001 ISBN 3 528 34937 9 a b Zylinder und Kugelkoordinaten Memento vom 17 Dezember 2012 im Internet Archive PDF 59 kB Skript an der TU Munchen Kugelkoordinaten Mathematik Online Lexikon der Universitat Stuttgart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelkoordinaten amp oldid 233832225
