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Helmholtz Gleichung Die nach Hermann von Helmholtz 1 ist eine partielle Differentialgleichung Sie lautet Δ φ λ φ display

Helmholtz-Gleichung

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

in einem Gebiet mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand . Dabei ist der Laplace-Operator, die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. Im Spezialfall kartesischer Koordinaten mit dem Index und der Anzahl der (räumlichen) Dimensionen besitzt der Laplace-Operator die Gestalt

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit. Im eindimensionalen Fall ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

In Fall reduziert sich die Gleichung zur Laplace-Gleichung. Wird die rechte Seite der Gleichung durch eine Funktion ersetzt, so wird die resultierende Gleichung, eine Poisson-Gleichung, inhomogen.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen Bearbeiten

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential sowie für das magnetische Vektorpotential :

(hier für die einzelnen Komponenten mit: )

Exemplarisch wird nun die Lösung für durchgeführt, die Herleitung für geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von und bezüglich :

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

Für die homogene Wellengleichung erkennen wir mit die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung kann eine Greensche Funktion verwendet werden, welche die Gleichung

erfüllt.

Diese lautet:

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von ein und erhalten

Mit folgt:

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für folgt analog:

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit am Ort beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit am Ort verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte Lösung Bearbeiten

Noch steht das Vorzeichen im Argument nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei erst zu einem späteren Zeitpunkt bei beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online). Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.
  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online). In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.

Weblinks Bearbeiten

Anmerkung Bearbeiten

  1. In der mathematischen Physik wird der Name Helmholtz-Gleichung sehr selten verwendet. Auch ist keine Arbeit von Helmholtz bekannt, die diese Namensgebung rechtfertigen würde.


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Veröffentlichungsdatum:
Die Helmholtz Gleichung nach Hermann von Helmholtz 1 ist eine partielle Differentialgleichung Sie lautet D f l f displaystyle Delta varphi lambda cdot varphi in einem Gebiet W displaystyle Omega mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand W displaystyle partial Omega Dabei ist D displaystyle Delta der Laplace Operator f displaystyle varphi die Losungsfunktion Eigenfunktion und l displaystyle lambda der Eigenwert Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehorigen Eigenfunktionen gelost Im Spezialfall kartesischer Koordinaten x k displaystyle x k mit dem Index k 1 2 n displaystyle k 1 2 dotsc n und der Anzahl der raumlichen Dimensionen n displaystyle n besitzt der Laplace Operator die Gestalt D k 1 n 2 x k 2 displaystyle Delta sum k 1 n partial 2 over partial x k 2 Die Helmholtz Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung PDGL zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL Sie ergibt sich auch z B aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhangigkeit Im eindimensionalen Fall n 1 displaystyle n 1 ist die Gleichung vom Typ einer gewohnlichen Differentialgleichung In Fall l 0 displaystyle lambda 0 reduziert sich die Gleichung zur Laplace Gleichung Wird die rechte Seite der Gleichung durch eine Funktion d displaystyle delta ersetzt so wird die resultierende Gleichung eine Poisson Gleichung inhomogen Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel Partikulare Losung der inhomogenen Maxwellgleichungen 1 1 Diskussion Retardierte und avancierte Losung 2 Siehe auch 3 Literatur 4 Weblinks 5 AnmerkungBeispiel Partikulare Losung der inhomogenen Maxwellgleichungen BearbeitenEine Anwendung aus der Physik ist z B die Losung der inhomogenen Maxwellgleichungen Maxwellgleichungen mit Stromen und Ladungen Aus diesen folgen in Gaussschen Einheiten mit der Lorenz Eichung A 1 c 2 F t 0 displaystyle vec nabla cdot vec A frac 1 c 2 frac partial Phi partial t 0 nbsp die inhomogenen Wellengleichungen fur das elektrische Skalarpotential F displaystyle Phi nbsp sowie fur das magnetische Vektorpotential A displaystyle vec A nbsp D F r t 1 c 2 2 F r t t 2 4 p ϱ r t displaystyle Delta Phi vec r t frac 1 c 2 frac partial 2 Phi vec r t partial t 2 4 pi varrho vec r t nbsp D A i r t 1 c 2 2 A i r t t 2 4 p c j i r t displaystyle Delta A i vec r t frac 1 c 2 frac partial 2 A i vec r t partial t 2 frac 4 pi c j i vec r t nbsp hier fur die einzelnen Komponenten mit A i 1 3 A i e i displaystyle vec A sum i 1 3 A i hat e i nbsp Exemplarisch wird nun die Losung fur F displaystyle Phi nbsp durchgefuhrt die Herleitung fur A displaystyle vec A nbsp geht analog Die allgemeine Losung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Losung der dazugehorigen homogenen DGL sowie einer partikularen Losung der inhomogenen DGL F F h o m F p a r t displaystyle Phi Phi mathrm hom Phi mathrm part nbsp Die Losung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen wir beschranken uns hier auf die Herleitung einer partikularen Losung Um die Wellengleichung auf die Helmholtz Gleichung zuruckzufuhren betrachten wir die Fourier Transformation von F displaystyle Phi nbsp und ϱ displaystyle varrho nbsp bezuglich t displaystyle t nbsp F r t 1 2 p d w F w r e i w t displaystyle Phi vec r t frac 1 sqrt 2 pi int d omega Phi omega vec r e i omega t nbsp ϱ r t 1 2 p d w ϱ w r e i w t displaystyle varrho vec r t frac 1 sqrt 2 pi int d omega varrho omega vec r e i omega t nbsp Einsetzen in die Wellengleichung liefert D d w F w r e i w t 1 c 2 2 t 2 d w F w r e i w t 4 p d w ϱ w r e i w t displaystyle Delta int d omega Phi omega vec r e i omega t frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 int d omega Phi omega vec r e i omega t 4 pi int d omega varrho omega vec r e i omega t nbsp d w D 1 c 2 2 2 t F w r e i w t 4 p d w ϱ w r e i w t displaystyle Rightarrow int d omega left Delta frac 1 c 2 frac partial 2 partial 2 t 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delta vec r vec r nbsp erfullt Diese lautet G r r exp i w r r c r r displaystyle G vec r vec r frac exp pm i omega vec r vec r c vec r vec r nbsp Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle Damit erhalten wir fur die gesamte Ladungsverteilung F w r d 3 r ϱ w r G r r d 3 r ϱ w r exp i w r r c r r displaystyle Phi omega vec r int d 3 r varrho omega vec r G vec r vec r int d 3 r varrho omega vec r frac exp pm i omega vec r vec r c vec r vec r nbsp Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von F r t displaystyle Phi vec r t nbsp ein und erhalten F r t 1 2 p d w d 3 r ϱ w r exp i w r r c r r e i w t 1 2 p d w d 3 r ϱ w r r r exp i w r r c t displaystyle begin aligned Phi vec r t amp frac 1 sqrt 2 pi int d omega int d 3 r varrho omega vec r frac exp pm i omega vec r vec r c vec r vec r e i omega t amp frac 1 sqrt 2 pi int d omega int d 3 r frac varrho omega vec r vec r vec r exp left i omega mp vec r vec r c t right end aligned nbsp Mit t t r r c displaystyle t t mp vec 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Retardierte und avancierte Losung Bearbeiten Noch steht das Vorzeichen im Argument t r r c displaystyle t pm vec r vec r c nbsp nicht fest Physikalisch scheint aber plausibel dass die zeitliche Anderung einer Ladungsverteilung bei r displaystyle vec r nbsp erst zu einem spateren Zeitpunkt bei r displaystyle vec r nbsp beobachtet werden kann da sich elektromagnetische Wellen mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp ausbreiten Daher wahlen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Losung F r t r e t d 3 r ϱ r t r r c r r displaystyle Phi vec r t mathrm ret int d 3 r frac varrho vec r t vec r vec r c vec r vec r nbsp Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential Wahlt man das Pluszeichen so spricht man vom avancierten Potential Siehe auch BearbeitenBessel StrahlLiteratur BearbeitenRichard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik I Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band XII Julius Springer Berlin 1924 450 S online Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S 221 Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u a im Abschnitt 7 dieses Kapitels unter der Uberschrift Die schwingende Membran ab S 245 behandelt Der Name Helmholtz Gleichung tritt nicht auf Richard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik II Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band XLVIII Julius Springer Berlin 1937 549 S online In diesem Band werden praktische Losungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erlautert Insbesondere sei auf das Kapitel VII Losungen der Rand und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S 471 verwiesen Weblinks BearbeitenHelmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld engl Anmerkung Bearbeiten In der mathematischen Physik wird der Name Helmholtz Gleichung sehr selten verwendet Auch ist keine Arbeit von Helmholtz bekannt die diese Namensgebung rechtfertigen wurde Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Helmholtz Gleichung amp oldid 220024350