Koordinatenflachen sind Flachen in einem Koordinatensystem die entstehen wenn an einem Punkt eine Koordinate konstant gehalten wird und die ubrigen variabel bleiben In krummlinigen Koordinatensystemen stehen die lokalen Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflachen und konnen auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden Stehen diese Basisvektoren paarweise aufeinander senkrecht so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem Inhaltsverzeichnis 1 Definition mit kartesischen Koordinaten im R3 2 Verallgemeinerung 3 Bemerkungen 4 Koordinatenflachen in speziellen Koordinatensystemen 5 Lokale Basisvektoren 5 1 Beispiel Zylinderkoordinaten 6 Siehe auch 7 LiteraturDefinition mit kartesischen Koordinaten im R3 BearbeitenSei x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 mid y 0 mid z 0 nbsp ein Punkt des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Die Koordinatenflachen durch diesen Punkt sind die drei Ebenen K 1 x y x y z 0 x y R K 2 x z x y 0 z x z R K 3 y z x 0 y z y z R displaystyle K 1 x y begin pmatrix x y z 0 end pmatrix x y in mathbb R quad K 2 x z begin pmatrix x y 0 z end pmatrix x z in mathbb R quad K 3 y z begin pmatrix x 0 y z end pmatrix y z in mathbb R nbsp Das bedeutet eine der drei Koordinaten ist konstant und die beiden anderen parametrisieren die Flache Verallgemeinerung BearbeitenDie Definition der Koordinatenflache kann in entsprechender Weise eine Koordinate bleibt jeweils konstant auf andere Koordinatensysteme und Raume hoherer Dimension sowie auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden Die Koordinatenflachen sind stets Hyperflachen des Raumes bzw der Mannigfaltigkeit Bemerkungen BearbeitenIn zweidimensionalen Raumen sind die Koordinatenflachen mit den Koordinatenlinien identisch Krummlinige Koordinaten gehen aus den kartesischen Koordinaten durch eine umkehrbar eindeutige Koordinatentransformation hervor Dabei konnen allerdings Koordinatensingularitaten auftreten d h es gibt singulare Punkte die in krummlinigen Koordinaten nicht eindeutig darstellbar sind An diesen Punkten ist die entsprechende Funktionaldeterminante gleich null Zwei Koordinatenflachen an einem Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie Koordinatenflachen in speziellen Koordinatensystemen BearbeitenGeradlinige Koordinatensysteme In kartesischen Koordinatensystemen und affinen Koordinatensystemen sind alle Koordinatenflachen Ebenen die parallel zu den Koordinatenebenen liegen Krummlinige KoordinatensystemeZylinderkoordinaten mit Koordinaten r f z displaystyle r varphi z nbsp Fur Punkte auf der z Achse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung hier ist r 0 displaystyle r 0 nbsp aber f displaystyle varphi nbsp beliebig Als Koordinatenflache durch den Punkt r 0 f 0 z 0 displaystyle r 0 mid varphi 0 mid z 0 nbsp ergibt sich fur konstanten Radius r 0 displaystyle r 0 nbsp eine Zylinderflache mit der z Achse als Zylinderachse fur festen Winkel f 0 displaystyle varphi 0 nbsp eine Halbebene mit der z Achse als Rand fur konstanten Wert von z 0 displaystyle z 0 nbsp eine Ebene senkrecht zur z Achse dd dd Kugelkoordinaten mit Koordinaten r 8 f displaystyle r theta varphi nbsp Fur Punkte auf der Polachse gibt es keine eindeutige Koordinatendarstellung hier ist 8 0 displaystyle theta 0 nbsp oder 8 p displaystyle theta pi nbsp aber f displaystyle varphi nbsp beliebig Als Koordinatenflache durch den Punkt r 0 8 0 f 0 displaystyle r 0 mid theta 0 mid varphi 0 nbsp ergibt sich fur konstanten Radius r 0 displaystyle r 0 nbsp eine Kugelflache mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt fur festen Winkel 8 0 displaystyle theta 0 nbsp eine Kegelflache mit der Polachse 8 0 displaystyle theta 0 nbsp als Kegelachse die fur 8 0 p 2 displaystyle theta 0 pi 2 nbsp zu einer Ebene durch den Aquator wird und fur 8 0 0 displaystyle theta 0 0 nbsp zu einer Geraden durch den Nordpol und fur 8 0 p displaystyle theta 0 pi nbsp zu einer Geraden durch den Sudpol entartet fur konstanten Wert von f 0 displaystyle varphi 0 nbsp eine Halbebene mit der Polachse als Rand dd dd Lokale Basisvektoren BearbeitenIn geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis fur den gesamten Vektorraum in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unterschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarianten und kontravarianten Basisvektoren Die kovarianten Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet siehe Beispielrechnung fur Kugelkoordinaten Die kontravarianten lokalen Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflachen und konnen durch Bildung des Gradienten berechnet werden Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Winkel zwischen den Basisvektoren bestimmt werden Die Polar Zylinder und Kugelkoordinaten erweisen sich dabei als orthogonale Koordinatensysteme Beispiel Zylinderkoordinaten Bearbeiten Die Koordinatentransformation von Zylinderkoordinaten r f z displaystyle r varphi z nbsp zu kartesischen Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp lautet r x 2 y 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 nbsp f arctan y x displaystyle varphi arctan frac y x nbsp z z displaystyle z z nbsp Die lokalen kontravarianten Basisvektoren b 1 b 2 displaystyle textstyle vec b 1 vec b 2 nbsp und b 3 displaystyle textstyle vec b 3 nbsp an einem Punkt werden in der Tensorschreibweise mit einem oben stehenden Index versehen und stehen senkrecht auf den Koordinatenflachen Rechnerisch ergeben sie sich als Gradienten der drei Funktionen der Koordinatentransformation denn der Gradient steht stets senkrecht auf den Niveauflachen r konst f displaystyle varphi nbsp konst z konst und zeigt in Richtung des starksten Anstieges Wegen r x 1 2 1 x 2 y 2 2 x x r r cos f r cos f displaystyle frac partial r partial x frac 1 2 frac 1 sqrt x 2 y 2 2x frac x r frac r cos varphi r cos varphi nbsp f x 1 1 y 2 x 2 y x 2 y x 2 y 2 y r 2 r sin f r 2 1 r sin f displaystyle frac partial varphi partial x frac 1 1 frac y 2 x 2 frac y x 2 frac y x 2 y 2 frac y r 2 frac r sin varphi r 2 frac 1 r sin varphi nbsp und ahnlichen Rechnungen ergeben sich die kontravarianten Basisvektoren b 1 r x r y r z cos f sin f 0 b 2 f x f y f z 1 r sin f cos f 0 b 3 z x z y z z 0 0 1 displaystyle vec b 1 begin pmatrix frac partial r partial x frac partial r partial y frac partial r partial z end pmatrix begin pmatrix cos varphi sin varphi 0 end pmatrix quad vec b 2 begin pmatrix frac partial varphi partial x frac partial varphi partial y frac partial varphi partial z end pmatrix frac 1 r begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix quad vec b 3 begin pmatrix frac partial z partial x frac partial z partial y frac partial z partial z end pmatrix begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix nbsp an den entsprechenden Punkten Die Basisvektoren haben die Langen b 1 b 1 b 1 1 b 2 b 2 b 2 1 r b 3 b 3 b 3 1 displaystyle vec b 1 sqrt vec b 1 vec b 1 1 quad vec b 2 sqrt vec b 2 vec b 2 frac 1 r quad vec b 3 sqrt vec b 3 vec b 3 1 nbsp und sind paarweise zueinander orthogonal denn es gilt b i b j 0 i j 1 2 3 i j displaystyle vec b i vec b j 0 quad i j in 1 2 3 i neq j nbsp Die Zylinderkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem Siehe auch BearbeitenKovariante Basis bei krummlinigen Koordinaten Kontravariante Basis bei krummlinigen Koordinaten FunktionaldeterminanteLiteratur BearbeitenW Werner Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik Band 1 Springer Vieweg ISBN 978 3 658 25271 7 K Endl W Luh Analysis Band 1 Akademische Verlagsgesellschaft 1972 ISBN 3 400 00185 6 K Endl W Luh Analysis Band 2 Akademische Verlagsgesellschaft 1973 ISBN 3 400 00206 2 K Endl W Luh Analysis Band 3 Akademische Verlagsgesellschaft 1974 ISBN 3 400 00236 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatenflache amp oldid 228819082
