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Volumenintegral Ein oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung d

Volumenintegral

Ein Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung, der vor allem in der Physik Anwendung findet. Es erweitert das Oberflächenintegral auf die Integration über ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet, wobei eine Funktion dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Koordinate eines dreidimensionalen Raumes. Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Körpers handeln. Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das Volumenelement angedeutet:

wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen für eine (kartesische) Beschreibung im dreidimensionalen Raum abhängt, es sind aber auch höherdimensionale Räume möglich. Beachte, dass hier in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird, das Integrationsgebiet.

Begriffe Bearbeiten

Es handelt sich um ein skalares Volumenintegral, wenn der Integrand skalar ist. Bei einem vektoriellen Integranden, z. B. einem Vektorfeld , ist das Volumenintegral ein Vektor aus den drei eindimensionalen Volumenintegralen der einzelnen Komponenten von .

Das Integrationsgebiet ist das dreidimensionale Integrationsvolumen . Das Differential im Volumenintegral, z. B. , ist ebenso dreidimensional und kann anschaulich als infinitesimales, unendlich kleines Volumen aufgefasst werden. Anschaulich gesprochen summiert das Volumenintegral alle Funktionswerte von , gewichtet mit dem jeweiligen Volumenelement. Man stellt sich das Volumen in kleine Elemente zerlegt vor, in denen die Funktion näherungsweise konstant ist, und bildet den Grenzwert (Riemannsches Integral):

In der Physik wird diese Technik häufig benutzt, zum Beispiel um die Masse eines Körpers mit ungleich verteilter Dichte zu berechnen. Setzt man , ergibt sich das Volumen des Integrationsgebiets selbst.

Parametrisierung Bearbeiten

Spezielle Volumenintegrale mit Koordinatentransformation Bearbeiten

Kartesische und Kugelkoordinaten Bearbeiten

Mit der Definition

wird das Volumenelement in Kugelkoordinaten zu

Mit der Definition

lautet das Volumenintegral dann

Kartesisch zu Zylinderkoordinaten Bearbeiten

Für Zylinderkoordinaten gilt

Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird damit

Mit der Definition

wird das Volumenintegral :

Anwendung Bearbeiten

Volumenintegrale finden bei vielen physikalischen Problemen Anwendung. So lassen sich aus allen Dichten bei einer Volumenintegration die jeweils zugrundeliegenden Größen berechnen, beispielsweise die elektrische Ladung aus der Ladungsdichte oder die Masse aus der (Massen-)Dichte. Auch der gaußsche Integralsatz, der insbesondere in der Elektrodynamik wichtig ist, basiert auf einem Volumenintegral. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags bei der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt sich durch Volumenintegration über die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors – dies ist ein Beispiel für ein Volumenintegral über ein nicht-geometrisches Volumen.

Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man eine Formel für das Volumenmaß

Beispiele Bearbeiten

Beispiele für den Umgang mit Volumenintegralen finden sich hier:

Weiterführendes Bearbeiten

  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 978-3-8171-2006-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2005-2, S. 492.
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Ein Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung der vor allem in der Physik Anwendung findet Es erweitert das Oberflachenintegral auf die Integration uber ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet wobei eine Funktion f r displaystyle f vec r dreimal hintereinander integriert wird jeweils uber eine Koordinate eines dreidimensionalen Raumes Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Korpers handeln Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das Volumenelement d 3 r d V displaystyle mathrm d 3 r mathrm d V angedeutet V f r d 3 r V f r d V displaystyle iiint V f vec r mathrm mathrm d 3 r displaystyle int V f vec r mathrm d V wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen r x y z displaystyle vec r x y z fur eine kartesische Beschreibung im dreidimensionalen Raum R 3 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Volumenintegral z B d V displaystyle mathrm d V nbsp ist ebenso dreidimensional und kann anschaulich als infinitesimales unendlich kleines Volumen aufgefasst werden Anschaulich gesprochen summiert das Volumenintegral alle Funktionswerte von f displaystyle f nbsp gewichtet mit dem jeweiligen Volumenelement Man stellt sich das Volumen in N displaystyle N nbsp kleine Elemente D V i displaystyle Delta V i nbsp zerlegt vor in denen die Funktion naherungsweise konstant ist und bildet den Grenzwert Riemannsches Integral 1 V f d V lim N D V i 0 i 1 N f r i D V i displaystyle int V f mathrm d V lim N to infty atop Delta V i to 0 sum i 1 N f r i Delta V i nbsp In der Physik wird diese Technik haufig benutzt zum Beispiel um die Masse eines Korpers mit ungleich verteilter Dichte zu berechnen Setzt man f 1 displaystyle f 1 nbsp ergibt sich das Volumen des Integrationsgebiets selbst Parametrisierung BearbeitenSpezielle Volumenintegrale mit Koordinatentransformation Bearbeiten Kartesische und Kugelkoordinaten Bearbeiten Mit der Definition x y z r sin 8 cos f r sin 8 sin f r cos 8 displaystyle begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix r sin theta cos varphi r sin theta sin varphi r cos theta end pmatrix nbsp wird das Volumenelement in Kugelkoordinaten zu d V r 2 sin 8 d r d 8 d f displaystyle mathrm d V r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi nbsp Mit der Definition f r 8 f f x y z displaystyle tilde f r theta varphi f x y z nbsp lautet das Volumenintegral dann V K a r t f x y z d x d y d z V K u g f r 8 f r 2 sin 8 d r d 8 d f displaystyle iiint V mathrm Kart f x y z mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint V mathrm Kug tilde f r theta varphi cdot r 2 sin theta mathrm d r mathrm d theta mathrm d varphi nbsp Kartesisch zu Zylinderkoordinaten Bearbeiten Fur Zylinderkoordinaten r f z displaystyle rho varphi z nbsp gilt x y z r cos f r sin f z displaystyle begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix rho cos varphi rho sin varphi z end pmatrix nbsp Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten wird damit d V r d r d f d z displaystyle mathrm d V rho mathrm d rho mathrm d varphi mathrm d z nbsp Mit der Definition f r f z f x y z displaystyle tilde f rho varphi z f x y z nbsp wird das Volumenintegral V K a r t f x y z d x d y d z V Z y l f r f z r d r d f d z displaystyle iiint V Kart f x y z mathrm d x mathrm d y mathrm d z iiint V mathrm Zyl tilde f rho varphi z cdot rho mathrm d rho mathrm d varphi mathrm d z nbsp Anwendung BearbeitenVolumenintegrale finden bei vielen physikalischen Problemen Anwendung So lassen sich aus allen Dichten bei einer Volumenintegration die jeweils zugrundeliegenden Grossen berechnen beispielsweise die elektrische Ladung aus der Ladungsdichte oder die Masse aus der Massen Dichte Auch der gausssche Integralsatz der insbesondere in der Elektrodynamik wichtig ist basiert auf einem Volumenintegral Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags bei der Maxwell Boltzmann Verteilung ergibt sich durch Volumenintegration uber die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors dies ist ein Beispiel fur ein Volumenintegral uber ein nicht geometrisches Volumen Verwendet man als Integrand die Funktion die auf dem Integrationvolumen konstant gleich 1 ist so erhalt man eine Formel fur das Volumenmass v o l V V d V displaystyle mathrm vol V iiint V mathrm d V nbsp Beispiele BearbeitenBeispiele fur den Umgang mit Volumenintegralen finden sich hier Berechnung des Volumens einer Kugel Berechnung des Tragheitmoments einer homogenen Vollkugel Herleitung der Geschwindigkeitsverteilung der Maxwell Boltzmann VerteilungWeiterfuhrendes BearbeitenI N Bronstein K A Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 6 Auflage Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main 2006 ISBN 978 3 8171 2006 2 Einzelnachweise Bearbeiten Ilja Nikolajewitsch Bronstein Konstantin Adolfowitsch Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 5 Auflage Verlag Harri Deutsch ISBN 3 8171 2005 2 S 492 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Volumenintegral amp oldid 231125551