Maxwell Boltzmann Verteilung Parameter a gt 0 displaystyle a gt 0 Definitionsbereich x 0 displaystyle x in 0 infty Wahrscheinlichkeitsdichte 2 p x 2 e x 2 2 a 2 a 3 displaystyle sqrt frac 2 pi frac x 2 e x 2 2a 2 a 3 Kumulierte Verteilungsfunktion erf x 2 a 2 p x e x 2 2 a 2 a displaystyle operatorname erf left frac x sqrt 2 a right sqrt frac 2 pi frac xe x 2 2a 2 a Erwartungswert m 2 a 2 p displaystyle mu 2a sqrt frac 2 pi Modus 2 a displaystyle sqrt 2 a Varianz s 2 a 2 3 p 8 p displaystyle sigma 2 frac a 2 3 pi 8 pi Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit 3 a displaystyle sqrt 3 a Schiefe g 1 2 2 16 5 p 3 p 8 3 2 0 49 displaystyle gamma 1 frac 2 sqrt 2 16 5 pi 3 pi 8 3 2 approx 0 49 Wolbung g 2 4 96 40 p 3 p 2 3 p 8 2 0 11 displaystyle gamma 2 4 frac 96 40 pi 3 pi 2 3 pi 8 2 approx 0 11 Entropie in nats ln a 2 p g 1 2 displaystyle ln left a sqrt 2 pi right gamma frac 1 2 g displaystyle gamma Euler Mascheroni Konstante Die Maxwell Boltzmann Verteilung oder auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte der statistischen Physik und spielt in der Thermodynamik speziell der kinetischen Gastheorie eine wichtige Rolle Sie beschreibt die statistische Verteilung des Betrags v v displaystyle v vec v der Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas im thermodynamischen Gleichgewicht bei ruhendem Schwerpunkt Benannt wird sie nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann die sie 1860 erstmals hergeleitet haben Sie ergibt sich aus der Boltzmann Statistik Wegen der vereinfachenden Voraussetzung eines idealen Gases zeigt die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines realen Gases Abweichungen Jedoch ist bei geringer Dichte und hoher Temperatur die Maxwell Boltzmann Verteilung fur die meisten Betrachtungen ausreichend Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung der Geschwindigkeitsverteilung in der kinetischen Gastheorie 1 1 Herleitung mit Hilfe des Boltzmann Faktors 1 2 Herleitung mit Hilfe der Normalverteilung der Komponenten der Geschwindigkeit 2 Bedeutung und Anwendungsbereich 2 1 Folgerungen aus den Gleichungen 2 2 Bedeutung fur die Thermodynamik 3 Teilchengeschwindigkeiten 3 1 Wahrscheinlichste Geschwindigkeit 3 2 Mittlere Geschwindigkeit 3 3 Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit 3 4 Harmonischer Mittelwert 3 5 Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten 4 Herleitung im kanonischen Ensemble 5 Siehe auch 6 Einzelnachweise 7 WeblinksHerleitung der Geschwindigkeitsverteilung in der kinetischen Gastheorie BearbeitenHerleitung mit Hilfe des Boltzmann Faktors Bearbeiten Die kinetische Energie eines Teilchenzustands im idealen Gas ist durch E kin m v 2 2 displaystyle E text kin frac mv 2 2 nbsp gegeben und die Wahrscheinlichkeit dass er im thermodynamischen Gleichgewichtszustand des Teilchensystems von einem Teilchen besetzt ist durch den Boltzmann Faktor W E e E kin k B T displaystyle W E propto e frac E text kin k mathrm B T nbsp Darin ist m displaystyle m nbsp die Masse des Teilchens k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante und T displaystyle T nbsp die absolute Temperatur Gefragt ist nach dem Anteil von Molekulen mit Betrag der Geschwindigkeit in einem Intervall v v d v displaystyle v v mathord dv nbsp Die entsprechende Zustandsdichte ist aus der Grundannahme zu ermitteln dass die Zustandsdichte im dreidimensionalen Raum der Geschwindigkeitskomponenten v x v y v z displaystyle v x v y v z nbsp konstant ist Nach v 2 v x 2 v y 2 v z 2 displaystyle v 2 mathord v x 2 mathord v y 2 mathord v z 2 nbsp haben alle Zustande gleicher kinetischer Energie den Abstand v displaystyle v nbsp vom Ursprung fullen hier also eine Kugeloberflache der Grosse 4 p v 2 displaystyle 4 pi v 2 nbsp Zum Intervall v v d v displaystyle v v mathord dv nbsp gehort dann das Volumenelement 4 p v 2 d v displaystyle 4 pi v 2 dv nbsp Folglich ist der gesuchte Anteil von Molekulen gleich dem Produkt aus dem Volumenelement dem fur das ganze Volumenelement konstanten Boltzmann Faktor und einem konstanten Normierungsfaktor c displaystyle c nbsp 1 p v d v c 4 p v 2 e m v 2 2 k B T d v displaystyle p v mathrm d v c cdot 4 pi v 2 cdot e frac mv 2 2 k mathrm B T mathrm d v nbsp Der Normierungsfaktor c displaystyle c nbsp ergibt sich daraus dass das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte 0 p v d v displaystyle int 0 infty p v mathrm d v nbsp den Wert 1 hat Herleitung mit Hilfe der Normalverteilung der Komponenten der Geschwindigkeit Bearbeiten Nach der kinetischen Gastheorie bewegen sich in einem idealen Gas bei Temperatur T displaystyle T nbsp in Kelvin nicht alle Gasteilchen mit der gleichen Geschwindigkeit sondern zufallig verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten Es wird hierbei keine Raumrichtung bevorzugt Mathematisch lasst sich dies so formulieren dass die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v displaystyle vec v nbsp der Gasteilchen der Masse m displaystyle m nbsp unabhangig voneinander und normalverteilt sind mit den Parametern mittlere Geschwindigkeit m 0 displaystyle mu 0 nbsp und Streuung der Geschwindigkeiten s k B T m displaystyle sigma sqrt frac k mathrm B T m nbsp Die Dichte der Verteilung von v displaystyle vec v nbsp im dreidimensionalen Geschwindigkeitsraum hier mit p v displaystyle tilde p vec v nbsp bezeichnet ergibt sich somit als das Produkt der Verteilungen der drei Komponenten p v m 2 p k B T 3 2 e m v 2 2 k B T displaystyle tilde p vec v left frac m 2 pi k mathrm B T right 3 2 mathrm e frac m vec v 2 2k mathrm B T nbsp Zur Herleitung der Maxwell Boltzmann Verteilung p v displaystyle p v nbsp muss man uber alle Teilchen mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag integrieren bzw anschaulich diese aufsummieren Diese liegen auf einer Kugelschale mit Radius v displaystyle v nbsp und infinitesimaler Dicke d v 0 displaystyle mathrm d v rightarrow 0 nbsp um die Geschwindigkeit 0 p v d v v lt v lt v d v p v d 3 v displaystyle p v mathrm d v iiint v lt vec v lt v mathrm d v tilde p vec v mathrm d 3 vec v nbsp Dabei bezeichnet v lt v lt v d v d 3 v displaystyle iiint v lt vec v lt v mathrm d v d 3 vec v nbsp das o g Integral uber alle Vektoren v displaystyle vec v nbsp mit Betragen im Intervall v v d v displaystyle v v mathrm d v nbsp Da in die Definition von p v displaystyle tilde p vec v nbsp nur der quadrierte Betrag der Geschwindigkeiten eingeht siehe Definition oben der sich im infinitesimalen Intervall v v d v displaystyle v v mathrm d v nbsp nicht andert ist das Integral einfach umzuformen p v d v m 2 p k B T 3 2 e m v 2 2 k B T v lt v lt v d v d 3 v displaystyle p v mathrm d v left frac m 2 pi k mathrm B T right 3 2 mathrm e frac mv 2 2k mathrm B T iiint v lt vec v lt v mathrm d v mathrm d 3 vec v nbsp Hierin bleibt nur noch das einfache Volumenintegral zu losen Es ergibt gerade das Volumen der infinitesimalen Kugelschale 4 p v 2 d v displaystyle 4 pi v 2 cdot mathrm d v nbsp und man erhalt so die gesuchte Maxwell Boltzmann Verteilung p v 4 p m 2 p k B T 3 2 v 2 exp m v 2 2 k B T displaystyle p v 4 pi left frac m 2 pi k mathrm B T right 3 2 v 2 exp left frac mv 2 2k mathrm B T right nbsp Bedeutung und Anwendungsbereich BearbeitenFolgerungen aus den Gleichungen Bearbeiten nbsp Stoffabhangigkeit der Geschwindigkeitsverteilung bei 0 C fur Wasserstoff H2 Helium He und Stickstoff N2 nbsp Temperaturabhangigkeit der Geschwindigkeitsverteilung fur StickstoffAus obigen Gleichungen folgt dass der Anteil f displaystyle f nbsp der Teilchen im Geschwindigkeitsintervall D n displaystyle Delta nu nbsp direkt proportional zu D n displaystyle Delta nu nbsp selbst ist solange F n displaystyle F nu nbsp konstant bleibt Wird D n displaystyle Delta nu nbsp also geringfugig erhoht bzw bezieht man mehr Geschwindigkeiten mit in das Intervall ein unter der zusatzlichen Annahme Temperatur und molare Masse seien konstant so steigt die Anzahl der in ihm befindlichen Teilchen bis auf geringe Abweichungen proportional zu D n displaystyle Delta nu nbsp an Mit anderen Worten Die Verteilungsfunktion ist differenzierbar Die Verteilungsfunktion besitzt eine abfallende Exponentialfunktion der Form e x displaystyle e x nbsp mit x M v 2 2 R T displaystyle x Mv 2 2RT nbsp Da der Ausdruck x displaystyle x nbsp sich bei konstanter Temperatur und konstanter molarer Masse direkt proportional zum Quadrat der Teilchengeschwindigkeit v 2 displaystyle v 2 nbsp verhalt lasst sich hieraus schlussfolgern dass die Exponentialfunktion und damit in eingeschranktem Umfang auch der Anteil der Molekule fur grosse Geschwindigkeiten sehr klein und dementsprechend fur kleine Geschwindigkeiten sehr gross wird fur den exakten Zusammenhang siehe die Abbildungen zur Rechten Fur Gase mit einer grossen molaren Masse M displaystyle M nbsp wird der Ausdruck x displaystyle x nbsp unter Annahme einer konstanten Temperatur ebenfalls sehr gross und die Exponentialfunktion nimmt folglich schneller ab Dies bedeutet dass die Wahrscheinlichkeit schwere Molekule bei grossen Geschwindigkeiten anzutreffen sehr klein ist und dementsprechend sehr gross fur leichtere Molekule mit einer geringen molaren Masse siehe Abbildung oben rechts Im gegensatzlichen Fall einer grossen Temperatur und einer konstanten molaren Masse wird der Ausdruck x displaystyle x nbsp sehr klein und die Exponentialfunktion geht dementsprechend bei einer ansteigenden Geschwindigkeit langsamer gegen Null Bei einer sehr hohen Temperatur ist der Anteil der schnellen Teilchen daher grosser als bei einer niedrigeren Temperatur siehe Abbildung unten rechts Je geringer die Geschwindigkeit desto starker nimmt der quadratische Ausdruck v 2 displaystyle v 2 nbsp ausserhalb der Exponentialfunktion ab Dies bedeutet dass auch der Anteil der schnelleren Molekule bei geringen Geschwindigkeiten schneller abnimmt als die Geschwindigkeit selbst im Gegenzug jedoch auch dass dieser bei einer Geschwindigkeitszunahme quadratisch zunimmt Alle anderen Grossen bedingen dass sich der Anteil der Teilchen bei einer bestimmten Geschwindigkeit immer im Intervall zwischen null und eins bewegt 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Die beiden Abbildungen zur Rechten verdeutlichen die Abhangigkeit der Maxwell Boltzmann Verteilung von Teilchenmasse und Temperatur des Gases Mit steigender Temperatur T displaystyle T nbsp nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und die Verteilung wird gleichzeitig breiter Mit steigender Teilchenmasse m M displaystyle m M nbsp hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab und die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeitig schmaler Dieser Zusammenhang zwischen Teilchengeschwindigkeit und Temperatur bzw Teilchengeschwindigkeit und Teilchenmasse molare Masse ist hierbei auch quantitativ beschreibbar Siehe hierzu den Abschnitt quadratisch gemittelte Geschwindigkeit Bedeutung fur die Thermodynamik Bearbeiten Die Maxwell Boltzmann Verteilung erklart beispielsweise den Prozess der Verdunstung Beispielsweise kann feuchte Wasche bei Temperaturen von 20 C trocknen da es in dieser Verteilungskurve einen geringen Anteil von Molekulen mit der erforderlich hohen Geschwindigkeit gibt welche sich aus dem Flussigkeitsverband losen konnen Es wird also auch bei niedrigen Temperaturen immer einige Molekule geben die schnell genug sind die Anziehungskrafte durch ihre Nachbarn zu uberwinden und vom flussigen oder festen Aggregatzustand in den gasformigen Aggregatzustand uberzugehen was man als Verdampfung bzw Sublimation bezeichnet Umgekehrt gibt es aber auch unter den vergleichsweise schnellen Teilchen des Gases immer einige die keine ausreichende Geschwindigkeit besitzen und daher wieder vom gasformigen in den flussigen oder festen Aggregatzustand wechseln was man als Kondensation bzw Resublimation bezeichnet Diese Vorgange werden unter dem Begriff der Phasenumwandlung zusammengefasst wobei sich zwischen Teilchen die in die Gasphase eintreten und Teilchen die aus der Gasphase austreten insofern es keine Storungen von aussen gibt ein dynamisches Gleichgewicht einstellt Dieses ist Untersuchungsgegenstand der Gleichgewichtsthermodynamik daher nennt man es auch thermodynamisches Gleichgewicht Die Teilchen der gasformigen Phase uben hierbei im Gleichgewichtszustand einen Druck aus den man als Sattigungsdampfdruck bezeichnet Grafisch dargestellt wird das Phasenverhalten von Stoffen in deren Phasendiagramm Siehe auch Zustandsgleichung Fundamentalgleichung Thermodynamisches Potenzial Ideales Gas Reales Gas Tripelpunkt Kritischer PunktTeilchengeschwindigkeiten BearbeitenBei allen Verteilungen wird vorausgesetzt dass ein Bezugspunkt gewahlt wird der sich gegenuber dem Schwerpunkt des Gases nicht bewegt anderenfalls lage keine Symmetrie der Geschwindigkeitsverteilung vor und die Gasmasse bewegt sich als Ganzes Die Berechnungen erfolgen mit der kontinuierlichen Funktion p v displaystyle p v nbsp fur die Wahrscheinlichkeitsdichte vorangestellt wird zur Klarung der Bedeutung die Definition die fur endliche Teilchenzahl N displaystyle N nbsp gilt Wahrscheinlichste Geschwindigkeit Bearbeiten Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v 2 k B T m 2 R T M displaystyle hat v sqrt frac 2k mathrm B T m sqrt frac 2RT M nbsp ist die Geschwindigkeit an der die Dichtefunktion p v displaystyle p v nbsp ihren maximalen Wert hat Sie kann aus der Forderung d p v d v 0 displaystyle frac text d p v text d v 0 nbsp berechnet werden m displaystyle m nbsp ist hierbei die Teilchenmasse und M displaystyle M nbsp ist die molare Masse des Stoffes Mittlere Geschwindigkeit Bearbeiten Die mittlere Geschwindigkeit v displaystyle bar v nbsp ist der Durchschnittswert v v 1 v 2 v 3 v N N displaystyle bar v frac v 1 v 2 v 3 ldots v N N nbsp Hierbei ist N displaystyle N nbsp die Gesamtzahl der Teilchen und die v n displaystyle v n nbsp n 1 2 3 N displaystyle n 1 2 3 ldots N nbsp ihre einzelnen Geschwindigkeiten Fasst man die Teilchen mit jeweils gleicher Geschwindigkeit zusammen ergibt sich v 0 v p v d v displaystyle bar v int 0 infty v p v text d v nbsp Als Losung des Integrals erhalt man v 8 k B T p m 8 R T p M displaystyle bar v sqrt frac 8k mathrm B T pi m sqrt frac 8RT pi M nbsp Quadratisch gemittelte Geschwindigkeit Bearbeiten Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp ist definiert durch v 2 v 1 2 v 2 2 v 3 2 v N 2 N displaystyle sqrt overline v 2 sqrt frac v 1 2 v 2 2 v 3 2 ldots v N 2 N nbsp Aus der kinetischen Gastheorie ergibt sich folgende Zustandsgleichung p V 1 3 N m v 2 displaystyle pV frac 1 3 Nm overline v 2 nbsp Die empirisch ermittelte Zustandsgleichung idealer Gase ist hierbei p V N k B T displaystyle pV Nk mathrm B T nbsp Setzt man den Ausdruck p V displaystyle pV nbsp gleich erhalt man 1 3 N m v 2 N k B T displaystyle frac 1 3 Nm overline v 2 Nk mathrm B T nbsp Umgestellt nach der Wurzel aus v 2 displaystyle overline v 2 nbsp erhalt man schliesslich v 2 3 k B T m 3 R T M displaystyle sqrt overline v 2 sqrt frac 3k mathrm B T m sqrt frac 3RT M nbsp Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit der Gasteilchen ist damit direkt proportional zur Quadratwurzel der Temperatur sofern die Molekulmasse sich nicht z B durch eine chemische Reaktion andert Eine Verdopplung der Temperatur auf der Kelvin Skala fuhrt zu einer Erhohung der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit um den Faktor 2 1 4 displaystyle sqrt 2 approx 1 4 nbsp Umgekehrt ist auf diesem Wege die Temperatur durch die kinetische Gastheorie definierbar Zum gleichen Ergebnis kommt man auch wenn man p v displaystyle p v nbsp in folgender Gleichung substituiert und anschliessend von 0 bis displaystyle infty nbsp integriert v 2 0 v 2 p v d v displaystyle sqrt overline v 2 sqrt int 0 infty v 2 p v dv nbsp Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist dabei auch ein Mass fur die mittlere kinetische Energie Ekin der Molekule E k i n 1 2 m v 2 3 2 k B T displaystyle overline E mathrm kin frac 1 2 m overline v 2 frac 3 2 k mathrm B T nbsp Diese Aussage kann auch unter Benutzung des Gleichverteilungssatzes gewonnen werden da es sich um einen Ensemblemittelwert fur ein Gasteilchen mit N 3 displaystyle N 3 nbsp drei Freiheitsgraden handelt Harmonischer Mittelwert Bearbeiten Fur Zwecke der Stosszeiten usw benotigt man einen weiteren Mittelwert harmonischer Mittelwert genannt Der harmonische Mittelwert v displaystyle breve v nbsp ist definiert durch 1 v 1 N 1 v 1 1 v 2 1 v 3 1 v N displaystyle frac 1 breve v frac 1 N cdot left frac 1 v 1 frac 1 v 2 frac 1 v 3 ldots frac 1 v N right nbsp Hierbei sind v n displaystyle v n nbsp n 1 2 3 N displaystyle n 1 2 3 ldots N nbsp die einzelnen Geschwindigkeiten der Teilchen und N displaystyle N nbsp deren Gesamtzahl 1 v 0 p v v d v displaystyle frac 1 breve v int 0 infty frac p v v text d v nbsp Durch Substitution von m v 2 2 k B T z displaystyle frac mv 2 2k mathrm B T z nbsp und v d v k B T m d z displaystyle v dv frac k mathrm B T m dz nbsp und Integration erhalt man 1 v 2 p m k B T 2 m p k B T displaystyle frac 1 breve v sqrt frac 2 pi cdot sqrt frac m k mathrm B T sqrt frac 2m pi k mathrm B T nbsp oder v p k B T 2 m p R T 2 M displaystyle breve v sqrt frac pi k mathrm B T 2m sqrt frac pi RT 2 text M nbsp Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten Bearbeiten nbsp Maxwell Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung fur StickstoffIm Bild zur Rechten ist die maxwell boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung fur Stickstoff N2 bei drei verschiedenen Temperaturen abgebildet Es ist auch die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v displaystyle hat v nbsp und die mittlere Geschwindigkeit v displaystyle bar v nbsp eingezeichnet Dabei gilt immer dass die wahrscheinlichste Geschwindigkeit kleiner als die mittlere Geschwindigkeit ist Allgemein gilt v lt v lt v 2 displaystyle hat v lt bar v lt sqrt overline v 2 nbsp Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ergibt sich dabei aus v 8 3 p v 2 0 921 v 2 displaystyle bar v sqrt 8 over 3 pi cdot sqrt overline v 2 approx 0 921 cdot sqrt overline v 2 nbsp Umrechnungsfaktoren zwischen den verschiedenen Teilchengeschwindigkeiten gerundet nach von v displaystyle hat v nbsp v displaystyle bar v nbsp v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp v displaystyle breve v nbsp v displaystyle hat v nbsp 1 0 886 0 816 1 128v displaystyle bar v nbsp 1 128 1 0 921 1 273v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp 1 225 1 085 1 1 382v displaystyle breve v nbsp 0 886 0 785 0 724 1Beispielwerte fur die verschiedenen Teilchengeschwindigkeiten fur Stickstoff T v v displaystyle hat v nbsp v displaystyle bar v nbsp v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp v displaystyle breve v nbsp 100 K 173 15 C 243 15 m s 274 36 m s 297 79 m s 215 43 m s300 K 26 85 C 421 15 m s 475 20 m s 515 78 m s 373 14 m s800 K 526 85 C 687 74 m s 776 02 m s 842 29 m s 609 34 m sUmrechnungsfaktoren zwischen den verschiedenen Teilchengeschwindigkeiten genau nach von v displaystyle hat v nbsp v displaystyle bar v nbsp v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp v displaystyle breve v nbsp v displaystyle hat v nbsp 1 p 2 displaystyle frac sqrt pi 2 nbsp 2 3 displaystyle sqrt frac 2 3 nbsp 2 p displaystyle frac 2 sqrt pi nbsp v displaystyle bar v nbsp 2 p displaystyle frac 2 sqrt pi nbsp 1 8 3 p displaystyle sqrt frac 8 3 pi nbsp 4 p displaystyle frac 4 pi nbsp v 2 displaystyle sqrt overline v 2 nbsp 3 2 displaystyle sqrt frac 3 2 nbsp 3 p 8 displaystyle sqrt frac 3 pi 8 nbsp 1 6 p displaystyle sqrt frac 6 pi nbsp v displaystyle breve v nbsp p 2 displaystyle frac sqrt pi 2 nbsp p 4 displaystyle frac pi 4 nbsp p 6 displaystyle sqrt frac pi 6 nbsp 1k B T m displaystyle sqrt frac k mathrm B T m nbsp 2 displaystyle sqrt 2 nbsp 8 p displaystyle sqrt frac 8 pi nbsp 3 displaystyle sqrt 3 nbsp p 2 displaystyle sqrt frac pi 2 nbsp Herleitung im kanonischen Ensemble BearbeitenDie Maxwell Boltzmann Verteilung lasst sich mit den Methoden der statistischen Physik herleiten Man betrachtet ein N displaystyle N nbsp Teilchensystem mit der Hamilton Funktion H i 1 N p i 2 2 m U x 1 x N displaystyle H sum i 1 N frac p i 2 2m U vec x 1 ldots vec x N nbsp Zur Herleitung wird nur die Annahme gemacht dass das Potential U displaystyle U nbsp konservativ also von den p i displaystyle p i nbsp unabhangig ist Daher gilt die folgende Herleitung auch fur reale Gase Das System befinde sich im kanonischen Zustand mit der Phasenraumdichte w 1 Z b e b H x 1 p 1 x N p N displaystyle w frac 1 Z beta e beta H vec x 1 vec p 1 ldots vec x N vec p N nbsp und der kanonischen Zustandssumme Z b R 6 N e b H x 1 p 1 x N p N d t displaystyle Z beta int mathbb R 6N e beta H vec x 1 vec p 1 ldots vec x N vec p N text d tau nbsp mit d t 1 N 2 p ℏ 3 N d 3 x 1 d 3 p 1 d 3 x N d 3 p N displaystyle text d tau frac 1 N 2 pi hbar 3N text d 3 x 1 text d 3 p 1 ldots text d 3 x N text d 3 p N nbsp Der Parameter b displaystyle beta nbsp ist proportional zur inversen Temperatur b 1 k B T displaystyle beta frac 1 k rm B T nbsp Der Erwartungswert einer klassischen Observablen ist gegeben durch o R 6 N o w d t displaystyle langle o rangle int mathbb R 6N o w text d tau nbsp Fur die Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten gilt Gegeben sei eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp und eine Wahrscheinlichkeitsdichte P X R n R displaystyle mathcal P X mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp und eine Abbildung Y R n R m displaystyle Y mathbb R n rightarrow mathbb R m nbsp Dann ist P Y y R n d y Y x P X x d x d y Y x displaystyle mathcal P Y y int mathbb R n delta y Y x mathcal P X x text d x langle delta y Y x rangle nbsp die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen Y displaystyle Y nbsp Nun konnen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Impuls p displaystyle vec p nbsp irgendeines Teilchens j 1 N displaystyle j in left 1 ldots N right nbsp des Systems berechnen Nach obigem Transformationssatz gilt P p j p d p j p R 6 N d p j p w d t 1 Z b R 6 N d p j p e b H d t R 6 N d p j p e b H d t R 6 N e b H d t R 3 N e b U d 3 x 1 d 3 x N R 3 N d p j p e b 2 m i 1 N p i 2 d p 1 d 3 p N R 3 N e b U d 3 x 1 d 3 x N R 3 N e b 2 m i 1 N p i 2 d 3 p 1 d 3 p N displaystyle begin aligned mathcal P vec p j vec p amp langle delta vec p j vec p rangle int mathbb R 6N delta vec p j vec p w text d tau frac 1 Z beta int mathbb R 6N delta vec p j vec p e beta H text d tau amp frac int mathbb R 6N delta vec p j vec p e beta H text d tau int mathbb R 6N e beta H text d tau amp frac int mathbb R 3N e beta U text d 3 x 1 ldots text d 3 x N int mathbb R 3N delta vec p j vec p e frac beta 2m sum i 1 N p i 2 text d p 1 ldots text d 3 p N int mathbb R 3N e beta U text d 3 x 1 ldots text d 3 x N int mathbb R 3N e frac beta 2m sum i 1 N p i 2 text d 3 p 1 ldots text d 3 p N end aligned nbsp Alle Orts Integrationen lassen sich kurzen sowie alle Impuls Integrationen fur i j displaystyle i neq j nbsp Somit bleibt nur noch die p j displaystyle p j nbsp Integration ubrig P p j p R 3 d p j p e b 2 m p j 2 d 3 p j R 3 e b 2 m p j 2 d 3 p j displaystyle mathcal P vec p j vec p frac int mathbb R 3 delta vec p j vec p e frac beta 2m p j 2 text d 3 p j int mathbb R 3 e frac beta 2m p j 2 text d 3 p j nbsp Zur Auswertung dieses Ausdrucks nutzt man im Zahler die Faltungseigenschaft der Delta Distribution R 3 d x x 0 f x d 3 x f x 0 displaystyle int mathbb R 3 delta vec x vec x 0 f vec x text d 3 x f vec x 0 nbsp Im Nenner integriert man uber eine Gauss Funktion die Integration in drei Dimensionen lasst sich auf ein eindimensionales Integral zuruckfuhren mit x 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 displaystyle x 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 nbsp R 3 e a x 2 d 3 x R 3 e a x 1 2 e a x 2 2 e a x 3 2 d x 1 d x 2 d x 3 e a x 2 d x 3 p a 3 2 displaystyle int mathbb R 3 e ax 2 text d 3 x int mathbb R 3 e ax 1 2 e ax 2 2 e ax 3 2 text d x 1 text d x 2 text d x 3 left int infty infty e ax 2 text d x right 3 left frac pi a right frac 3 2 nbsp Man erhalt die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Impuls irgendeines Teilchens P p j p b 2 m p 3 2 e b 2 m p 2 displaystyle mathcal P vec p j vec p left frac beta 2m pi right frac 3 2 e frac beta 2m p 2 nbsp Der Vorfaktor b 2 m p 3 2 l h 3 displaystyle tfrac beta 2m pi 3 2 tfrac lambda h 3 nbsp entspricht im Wesentlichen der thermischen De Broglie Wellenlange l displaystyle lambda nbsp Damit lasst sich die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Geschwindigkeitsbetrag v p m displaystyle v vec p m nbsp mit dem Transformationssatz ermitteln P v R 3 P p j p d v p m d 3 p b 2 m p 3 2 R 3 e b 2 m p 2 d v p m d 3 p displaystyle mathcal P v int mathbb R 3 mathcal P vec p j vec p delta left v frac vec p m right text d 3 p left frac beta 2m pi right frac 3 2 int mathbb R 3 e frac beta 2m p 2 delta v frac vec p m text d 3 p nbsp Die Integration fuhrt man in Kugelkoordinaten durch und verwendet die Beziehung d v p m m d p m v displaystyle delta v vec p m m delta p mv nbsp P v b 2 m p 3 2 4 p 0 p 2 e b 2 m p 2 m d p m v d p displaystyle mathcal P v left frac beta 2m pi right frac 3 2 4 pi int 0 infty p 2 e frac beta 2m p 2 m delta p mv text d p nbsp Nun ist wieder die Faltungseigenschaft der Delta Distribution zu verwenden P v b 2 m p 3 2 4 p m v 2 m e b 2 m m v 2 8 v b m 2 p 3 2 4 p v 2 e b m 2 v 2 8 v displaystyle mathcal P v left frac beta 2m pi right frac 3 2 4 pi mv 2 m e frac beta 2m mv 2 Theta v left frac beta m 2 pi right frac 3 2 4 pi v 2 e beta frac m 2 v 2 Theta v nbsp dabei ist 8 v displaystyle Theta v nbsp die Heaviside Sprungfunktion die die Wahrscheinlichkeit fur negative Betragsgeschwindigkeiten verschwinden lasst Setzt man fur b 1 k B T displaystyle beta frac 1 k rm B T nbsp kommt man zur Maxwell Boltzmann Verteilung P v 2 p m k B T 3 2 v 2 e m v 2 2 k B T 8 v displaystyle mathcal P v sqrt frac 2 pi left frac m k mathrm B T right frac 3 2 v 2 e frac mv 2 2k mathrm B T Theta v nbsp Siehe auch BearbeitenH TheoremEinzelnachweise Bearbeiten Klaus Stierstadt Gunther Fischer Thermodynamik Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap 4 2 Springer Berlin New York 2010 ISBN 978 3 642 05097 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Maxwell Boltzmann distributions Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maxwell Boltzmann Verteilung amp oldid 238572543
