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Thermodynamisches Potential Thermodynamische Potentiale sind in der Thermodynamik Größen die von ihrem Informationsgehal

Thermodynamisches Potential

Thermodynamische Potentiale sind in der Thermodynamik Größen, die von ihrem Informationsgehalt her das Verhalten eines thermodynamischen Systems im Gleichgewicht vollständig beschreiben. Die unabhängigen Zustandsvariablen eines thermodynamischen Potentials bezeichnet man dann als dessen natürliche Variablen, wenn deren Ableitung des Potentials gleich einer der abhängigen Zustandsvariablen ist (beispielsweise: ). Ein thermodynamisches Potential entspricht vom Informationsgehalt der inneren Energie , deren natürliche Variablen alle extensiv sind (Fundamentalgleichung).

Thermodynamische Potentiale, die Energien sind, lassen sich durch Legendre-Transformation aus der inneren Energie herleiten, haben jedoch anders als diese eine oder mehrere intensive Größen als natürliche Variablen . Die intensiven Größen entstehen bei der Koordinatentransformation als Ableitungen der inneren Energie nach ihren extensiven Variablen.

Daneben gibt es weitere thermodynamische Potentiale, die keine Energien sind, beispielsweise die Entropie .

Der Begriff des thermodynamischen Potentials wurde von Gottfried Falk zum Begriff der Massieu-Gibbs-Funktionen (nach Josiah Willard Gibbs) verallgemeinert, bei denen es sich um entsprechende Zustandsfunktionen in nicht notwendigerweise thermodynamischen Systemen handelt.

Physikalische Bedeutung Bearbeiten

Ein Extremwert (nicht immer ein Minimum) eines thermodynamischen Potentials zeigt das thermodynamische Gleichgewicht an.

So hat sich nach dem Anschluss eines abgeschlossenen Systems an ein anderes ein thermodynamisches Gleichgewicht eingestellt, sobald die Entropie des Gesamtsystems maximal ist. In diesem Fall sind auch alle intensiven Parameter der beiden Systeme jeweils gleich:

Außerdem fassen thermodynamische Potentiale die Zustandsgleichungen des Systems zusammen, da diese durch Differenzieren eines thermodynamischen Potentiales nach seinen abhängigen Variablen zugänglich sind.

Beschreibung Bearbeiten

Die innere Energie und die aus ihr mittels Legendre-Transformation hervorgehenden Funktionen sind thermodynamische Potentiale (bis auf die Ausnahme , s. u.). Die Legendre-Transformation transformiert die Potentiale

Aufgrund dieser 3 Variablenpaare gibt es mögliche thermodynamische Potentiale:

Thermodynamische Potentiale
Name (Alternativname) Formelzeichen natürliche Variablen
(intensive fett) 		Charakteristische Funktion f Zusammenhänge
Innere Energie
(Eulergleichung für die innere Energie)
Freie Energie
(Helmholtz-Potential)
Enthalpie
Gibbs-Energie
(Freie Enthalpie)
-
Großkanonisches Potential
-
-
Nicht sinnvoll, da die Gibbs-Duhem-Relation die unabhängige Vorgabe der Variablen verbietet.
Guggenheim-Quadrat

Alle sinnvollen thermodynamischen Potentiale, die aus U(S,V,N) durch Legendre-Transformation hervorgehen, liefern die gleiche, vollständige Information über ein System. Die einfachste Beschreibung des Systems liefert jedoch je nach Ensemble nur eines der Potentiale; dies ist im Gleichgewicht extremal.

Eine Möglichkeit, sich die thermodynamischen Potentiale mit ihren natürlichen Variablen zu merken, ist das Guggenheim-Quadrat.

Beispiel für Transformation Bearbeiten

Exemplarisch soll der Wechsel von einem Potential zum anderen mittels charakteristischer Funktionen (totaler Differentiale) durchgeführt werden.

Ziel ist, von der inneren Energie U mit den natürlichen Variablen auf ein neues Potential mit den natürlichen Variablen zu transformieren. Wir beginnen bei der inneren Energie:

Mit

folgt

Nun bringe auf die linke Seite:

Das neue Potential hängt nun von den natürlichen Variablen ab und wird „freie Energie “ genannt. Es ist die Legendretransformierte von U(S,V,N) bezüglich der Variablen S.

Zustandsgleichungen Bearbeiten

Sei ein beliebiges thermodynamisches Potential, dann kann sein totales Differential geschrieben werden als

wobei

  • die natürlichen Variablen von sind und
  • die jeweils dazu konjugierten Variablen.

Aus der Kettenregel folgt:

Hier ist die Menge aller natürlichen Variablen von ohne . Die sind Ausdrücke thermodynamischer Parameter in Abhängigkeit von Ableitungen des thermodynamischen Potentials, das von seinen natürlichen Variablen abhängt. Die sind also gerade die Zustandsfunktionen des Systems.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 6: Statistische Physik. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-68870-9, S. 373 ff., (Google Books).
  2. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik. 6., aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-24119-1, S. 206.
  3. Gottfried Falk: Theoretische Physik. Auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik (= Heidelberger Taschenbücher. ). 2 Bände (Bd. 1: Elementare Punktmechanik. Bd. 2: Allgemeine Dynamik, Thermodynamik. 7 und 27, ISSN 0073-1684). Springer, Berlin u. a. 1966–1968.
  4. Gottfried Falk, Wolfgang Ruppel: Energie und Entropie. Eine Einführung in die Thermodynamik. Springer, Berlin u. a. 1976, ISBN 3-540-07814-2.
  5. Christoph Strunk: Moderne Thermodynamik. 2015, S. 144 ff., (Google Books).
  6. Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker: Thermodynamik und statistische Mechanik (= Theoretische Physik. Bd. 9). 2., völlig überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1993, ISBN 3-8171-1262-9, S. 150.
  7. Callen: Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. 2nd edition. 1985, S. 37.

Literatur Bearbeiten

  • Herbert B. Callen: Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. 2nd edition. Wiley & Sons, New York NY u. a. 1985, ISBN 0-471-86256-8.
  • Ulrich Nickel: Lehrbuch der Thermodynamik. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete Auflage. PhysChem, Erlangen 2019, ISBN 978-3-937744-07-0.
  • Christoph Strunk: Moderne Thermodynamik. Von einfachen Systemen zu Nanostrukturen. de Gruyter, Berlin u. a. 2015, ISBN 978-3-11-037105-5, (Google Books).
  • Klaus Stierstadt: Thermodynamische Potenziale und Zustandssumme – Ein Überblick über die Definitionen in der Thermodynamik. Springer Spektrum, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-28992-8, ISBN 978-3-658-28993-5 (E-Book), https://doi.org/10.1007/978-3-658-28993-5.
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Veröffentlichungsdatum:
Thermodynamische Potentiale sind in der Thermodynamik Grossen die von ihrem Informationsgehalt her das Verhalten eines thermodynamischen Systems im Gleichgewicht vollstandig beschreiben 1 Die unabhangigen Zustandsvariablen eines thermodynamischen Potentials bezeichnet man dann als dessen naturliche Variablen wenn deren Ableitung des Potentials gleich einer der abhangigen Zustandsvariablen ist beispielsweise U S V N T displaystyle left partial U partial S right V N T 2 Ein thermodynamisches Potential entspricht vom Informationsgehalt der inneren Energie U displaystyle U 1 deren naturliche Variablen S V N displaystyle S V N alle extensiv sind Fundamentalgleichung Thermodynamische Potentiale die Energien sind lassen sich durch Legendre Transformation aus der inneren Energie U S V N displaystyle U S V N herleiten haben jedoch anders als diese eine oder mehrere intensive Grossen als naturliche Variablen T p m displaystyle T p mu Die intensiven Grossen entstehen bei der Koordinatentransformation als Ableitungen der inneren Energie nach ihren extensiven Variablen Daneben gibt es weitere thermodynamische Potentiale die keine Energien sind beispielsweise die Entropie S U V N displaystyle S U V N 1 Der Begriff des thermodynamischen Potentials wurde von Gottfried Falk zum Begriff der Massieu Gibbs Funktionen nach Josiah Willard Gibbs verallgemeinert bei denen es sich um entsprechende Zustandsfunktionen in nicht notwendigerweise thermodynamischen Systemen handelt 3 4 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Bedeutung 2 Beschreibung 3 Beispiel fur Transformation 4 Zustandsgleichungen 5 Einzelnachweise 6 LiteraturPhysikalische Bedeutung BearbeitenEin Extremwert nicht immer ein Minimum eines thermodynamischen Potentials zeigt das thermodynamische Gleichgewicht an So hat sich nach dem Anschluss eines abgeschlossenen Systems an ein anderes ein thermodynamisches Gleichgewicht eingestellt sobald die Entropie des Gesamtsystems maximal ist In diesem Fall sind auch alle intensiven Parameter der beiden Systeme jeweils gleich T 1 T 2 p 1 p 2 m 1 m 2 displaystyle begin aligned T 1 amp T 2 p 1 amp p 2 mu 1 amp mu 2 end aligned nbsp Ausserdem fassen thermodynamische Potentiale die Zustandsgleichungen des Systems zusammen da diese durch Differenzieren eines thermodynamischen Potentiales nach seinen abhangigen Variablen zuganglich sind 5 Beschreibung BearbeitenDie innere Energie U S V N displaystyle U S V N nbsp und die aus ihr mittels Legendre Transformation hervorgehenden Funktionen sind thermodynamische Potentiale bis auf die Ausnahme K displaystyle K nbsp s u Die Legendre Transformation transformiert die Potentiale von Entropie S displaystyle S nbsp nach Temperatur T displaystyle T nbsp da U S T displaystyle frac partial U partial S T nbsp von Volumen V displaystyle V nbsp nach Druck p displaystyle p nbsp da U V p displaystyle frac partial U partial V p nbsp von Teilchenzahl N displaystyle N nbsp nach chemisches Potential m displaystyle mu nbsp da U N m displaystyle frac partial U partial N mu nbsp Aufgrund dieser 3 Variablenpaare gibt es 2 3 8 displaystyle 2 3 8 nbsp mogliche thermodynamische Potentiale Thermodynamische Potentiale Name Alternativname Formelzeichen naturliche Variablen intensive fett Charakteristische Funktion f ZusammenhangeInnere Energie U displaystyle U nbsp S V N displaystyle S V N nbsp d U T d S p d V m d N displaystyle mathrm d U TdS pdV mu d N nbsp U S V N T S p V i 1 K m i N i displaystyle U S V N TS pV sum i 1 K mu i N i nbsp Eulergleichung fur die innere Energie Freie Energie Helmholtz Potential F displaystyle F nbsp T V N displaystyle boldsymbol T V N nbsp d F S d T p d V m d N displaystyle mathrm d F SdT pdV mu d N nbsp F U S V N T S displaystyle F U S V N TS nbsp Enthalpie H displaystyle H nbsp S p N displaystyle S boldsymbol p N nbsp d H T d S V d p m d N displaystyle mathrm d H TdS Vdp mu d N nbsp H U S V N p V displaystyle H U S V N qquad pV nbsp Gibbs Energie Freie Enthalpie G displaystyle G nbsp T p 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Phi nbsp sind und x i displaystyle x i nbsp die jeweils dazu konjugierten Variablen Aus der Kettenregel folgt x j F y j y i j displaystyle x j frac partial Phi partial y j Bigg y i neq j nbsp Hier ist y i j displaystyle y i neq j nbsp die Menge aller naturlichen Variablen von F displaystyle Phi nbsp ohne y i displaystyle y i nbsp Die x j displaystyle x j nbsp sind Ausdrucke thermodynamischer Parameter in Abhangigkeit von Ableitungen des thermodynamischen Potentials das von seinen naturlichen Variablen abhangt Die x j displaystyle x j nbsp sind also gerade die Zustandsfunktionen des Systems 7 Einzelnachweise Bearbeiten a b c Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik Band 6 Statistische Physik 6 Auflage Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 68870 9 S 373 ff Google Books Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik Band 4 Spezielle Relativitatstheorie Thermodynamik 6 aktualisierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 24119 1 S 206 Gottfried Falk Theoretische Physik Auf der Grundlage einer allgemeinen Dynamik Heidelberger Taschenbucher 2 Bande Bd 1 Elementare Punktmechanik Bd 2 Allgemeine Dynamik Thermodynamik 7 und 27 ISSN 0073 1684 Springer Berlin u a 1966 1968 Gottfried Falk Wolfgang Ruppel Energie und Entropie Eine Einfuhrung in die Thermodynamik Springer Berlin u a 1976 ISBN 3 540 07814 2 Christoph Strunk Moderne Thermodynamik 2015 S 144 ff Google Books Walter Greiner Ludwig Neise Horst Stocker Thermodynamik und statistische Mechanik Theoretische Physik Bd 9 2 vollig uberarbeitete und erweiterte Auflage Deutsch Thun u a 1993 ISBN 3 8171 1262 9 S 150 Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics 2nd edition 1985 S 37 Literatur BearbeitenHerbert B Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics 2nd edition Wiley amp Sons New York NY u a 1985 ISBN 0 471 86256 8 Ulrich Nickel Lehrbuch der Thermodynamik Eine anschauliche Einfuhrung 3 uberarbeitete Auflage PhysChem Erlangen 2019 ISBN 978 3 937744 07 0 Christoph Strunk Moderne Thermodynamik Von einfachen Systemen zu Nanostrukturen de Gruyter Berlin u a 2015 ISBN 978 3 11 037105 5 Google Books Klaus Stierstadt Thermodynamische Potenziale und Zustandssumme Ein Uberblick uber die Definitionen in der Thermodynamik Springer Spektrum Wiesbaden 2020 ISBN 978 3 658 28992 8 ISBN 978 3 658 28993 5 E Book https doi org 10 1007 978 3 658 28993 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Thermodynamisches Potential amp oldid 237187495