Die Gibbs-Energie (auch freie Enthalpie), benannt nach Josiah Willard Gibbs, ist ein thermodynamisches Potential, also eine Zustandsgröße in der Thermodynamik. Sie ist eine extensive Größe mit der Dimension Energie. Im SI-Einheitensystem wird sie in der Einheit Joule gemessen. Ihr Formelzeichen ist und ihre natürlichen Variablen sind die Temperatur, der Druck und die Teilchenzahlen .
| Physikalische Größe | |
|---|---|
| Name | Freie Enthalpie, Gibbs-Energie |
| Größenart | Energie |
| Formelzeichen | |
Die Gibbs-Energie eines Systems ergibt sich aus dessen Enthalpie durch eine Legendre-Transformation bezüglich der Entropie, indem die Enthalpie um das Produkt aus der absoluten Temperatur und der Entropie verringert wird:
oder von der inneren Energie ausgehend:
wobei das Volumen des Systems ist.
Die molare Gibbs-Energie (Einheit: J/mol) ist die auf die Stoffmenge bezogene Gibbs-Energie:
Die spezifische Gibbs-Energie (Einheit: J/kg) ist die auf die Masse bezogene Gibbs-Energie:
Die molare und die spezifische Gibbs-Energie sind intensive Größen: Haben zwei identische Teilsysteme die gleiche molare oder spezifische Gibbs-Energie, dann hat auch das aus ihnen gebildete Gesamtsystem diese molare bzw. spezifische Gibbs-Energie.
Ãœberblick Bearbeiten
Die Gibbs-Energie wird in Joule gemessen, sie ist aber keine eigenständige Energieform, wie beispielsweise die kinetische Energie, die im System enthaltene innere Energie oder eine umgesetzte Reaktionsenthalpie. Sie darf bei der Berechnung der Gesamtenergie nicht mitsummiert werden. Sie ist lediglich eine Abkürzung für den häufig auftretenden Ausdruck . Mit ihrer Hilfe lassen sich Aussagen über das Verhalten des Systems machen, wie beispielsweise über die Richtung freiwillig ablaufender Prozesse oder die Lage von Gleichgewichtszuständen.
Gibbs-Energie als Gleichgewichtskriterium Bearbeiten
Ein Prozess in einem gegebenen thermodynamischen System läuft genau dann freiwillig ab, wenn er mit einer Zunahme der Gesamtentropie des Systems und seiner Umgebung verbunden ist. Beschränkt man sich auf Prozesse, die bei konstant gehaltener Temperatur und konstant gehaltenem Druck ablaufen, dann sind die Prozesse, welche die Entropie von System und Umgebung erhöhen, genau diejenigen, welche die Gibbs-Energie des Systems verringern. Ein auf konstanter Temperatur und unter konstantem Druck gehaltenes geschlossenes System nimmt daher jenen Zustand als Gleichgewichtszustand an, in dem seine Gibbs-Energie den kleinsten möglichen Wert besitzt. Befindet sich das System nicht im Gleichgewicht, geht es freiwillig (sofern keine anderweitigen Hemmungen vorliegen) in Zustände geringerer Gibbs-Energie über, bis das Gleichgewicht erreicht ist. Da zahlreiche physikalische und chemische Prozesse bei konstanter Temperatur (isotherm) und konstantem Druck (isobar) ablaufen, liefert die Gibbs-Energie ein häufig anwendbares Kriterium für die Richtung, in welcher der Prozess freiwillig abläuft und für die Lage des Gleichgewichts.
So gilt beispielsweise für eine isotherme und isobare chemische Reaktion:
- Ist die Gibbs-Energie der Reaktionsprodukte kleiner als die Gibbs-Energie der Ausgangsstoffe (), dann läuft die Reaktion in Richtung der Produkte ab.
- Ist die Gibbs-Energie der Reaktionsprodukte größer als die Gibbs-Energie der Ausgangsstoffe (), dann läuft die Reaktion in umgekehrter Richtung ab.
- Die Gibbs-Energie des Gemischs aus Ausgangsstoffen und Produkten hängt in der Regel von der Mischung ab und ändert sich daher im Verlaufe einer Reaktion. Durchläuft sie dabei ein Minimum, ist also bei Erreichen einer bestimmten Mischung (), dann laufen in diesem Zustand die Hin- und die Rückreaktion mit gleicher Geschwindigkeit ab, das reagierende System hat ein chemisches Gleichgewicht erreicht.
Zwei Phasen einer Substanz stehen genau dann im Gleichgewicht miteinander, wenn die molaren (oder die spezifischen) Gibbs-Energien der Substanz in beiden Phasen gleich sind. Sind die molaren Gibbs-Energien der beteiligten Phasen bekannt, lässt sich also sofort erkennen, ob Gleichgewicht vorliegt oder nicht. Umgekehrt ist bei Vorliegen eines Gleichgewichts die molare Gibbs-Energie aller Phasen bekannt, sobald sie für eine Phase bekannt ist. Liegt beispielsweise flüssiges Wasser im Gleichgewicht mit seinem Dampf vor, dann haben die beiden Phasen dieselbe molare Gibbs-Energie. Diejenige des Dampfes lässt sich (näherungsweise als ideales Gas betrachtet) leicht berechnen, der gefundene Zahlenwert gilt auch für das flüssige Wasser.
Bestehen die Phasen aus Mischungen mehrerer Substanzen, gilt das Gleichgewichtskriterium für jede in der Mischung enthaltene Substanz separat.
Chemisches Potential Bearbeiten
In einem Einkomponentensystem ist das chemische Potential identisch mit der molaren Gibbs-Energie des Systems. In einem Mehrkomponentensystem sind die chemischen Potentiale identisch mit den partiellen molaren Gibbs-Energien des Systems.
Änderung der Gibbs-Energie eines Systems Bearbeiten
Ändert man die Temperatur eines Systems bei konstantem Druck und konstanten Stoffmengen, ändert sich die Gibbs-Energie des Systems proportional zur Temperaturänderung, die Proportionalitätskonstante ist das Negative der Entropie des Systems; ändert man unter gleichen Bedingungen den Druck, so ändert sich die Gibbs-Energie proportional zur Druckänderung (Proportionalitätskonstante: Volumen des Systems).
Ändert man die Stoffmenge einer der im System enthaltenen Substanzen bei konstanter Temperatur, konstantem Druck und konstanten Stoffmengen der übrigen Substanzen, ändert sich die Gibbs-Energie des Systems proportional zur Stoffmengenänderung, die Proportionalitätskonstante ist das chemische Potential der betreffenden Substanz unter den im System herrschenden Bedingungen.
Wird an einem auf konstanter Temperatur und unter konstantem Druck gehaltenen geschlossenen System ein bestimmter Betrag reversibler physikalischer Arbeit (außer Volumenänderungsarbeit ) geleistet, nimmt die Gibbs-Energie des Systems um den betreffenden Betrag zu. So lässt sich die Gibbs-Energie eines Systems gezielt erhöhen, indem beispielsweise ein bekannter Betrag an Hubarbeit oder elektrischer Arbeit am System geleistet wird. Leistet umgekehrt das System unter den genannten Bedingungen Arbeit (außer Volumenänderungsarbeit), nimmt seine Gibbs-Energie um den betreffenden Betrag ab.
Die Gleichheit der Beträge von umgesetzter Arbeit und Änderung der Gibbs-Energie gilt nur im Fall reversibel geleisteter Arbeit. Im irreversiblen Fall ist je nach dem Ausmaß der Irreversibilität die am System zu leistende Arbeit größer beziehungsweise die vom System geleistete Arbeit geringer als die Änderung der Gibbs-Energie.
In diesem Zusammenhang liefert die Gibbs-Energie ein Maß für die „Triebkraft“ des Prozesses, wie beispielsweise die „Affinität“ der Reaktanden in einer chemischen Reaktion.
Als Fundamentalgleichung Bearbeiten
Aus der Gibbs-Energie lässt sich die gesamte thermodynamische Information über das System ableiten. Voraussetzung ist jedoch, dass sie als Funktion der Variablen Temperatur , Druck und Molzahlen der im System enthaltenen chemischen Komponenten gegeben ist. Dies sind die „natürlichen Variablen“ der Gibbs-Energie. Sie lässt sich auch als Funktion anderer Variablen ansetzen, enthält dann aber nicht mehr die vollständige thermodynamische Information.
Minimumsprinzip der Gibbs-Energie Bearbeiten
Gemäß dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nimmt ein abgeschlossenes System unter den erreichbaren Zuständen denjenigen als Gleichgewichtszustand ein, der bei der gegebenen inneren Energie die höchste Entropie besitzt. Aus diesem Maximumsprinzip der Entropie lassen sich auch andere, gleichbedeutende Extremalprinzipien ableiten, wie beispielsweise ein Minimumsprinzip der inneren Energie::132ff. Bei konstant gehaltener Entropie nimmt ein System denjenigen Zustand als Gleichgewichtszustand ein, der die geringste innere Energie besitzt.
Ein ähnliches Minimumsprinzip existiert für die Gibbs-Energie: Ein System, dessen Temperatur und Druck konstant gehalten werden und das keine Arbeit leistet außer Volumenänderungsarbeit, nimmt von allen erreichbaren Zuständen mit dieser Temperatur und diesem Druck denjenigen als Gleichgewichtszustand ein, in dem die Gibbs-Energie den kleinstmöglichen Wert hat.:157
Zum Beweis betrachte man ein geschlossenes System, dessen Temperatur und Druck auf einem jeweils konstanten Wert gehalten werden. Die Temperatur kann konstant gehalten werden, indem das betrachtete System über eine wärmedurchlässige Wand in Kontakt mit einem zweiten System steht, das unveränderlich die gewünschte Temperatur aufweist (in thermodynamischer Ausdrucksweise: ein Wärmereservoir). Über einen Wärmestrom durch die Kontaktwand kann das betrachtete System im Falle eines Temperaturunterschieds so lange Wärme mit dem Wärmereservoir austauschen, bis es seine Temperatur wieder derjenigen des Reservoirs angeglichen hat. Der Druck kann konstant gehalten werden, indem das System über eine wärmeundurchlässige aber flexible Wand mit einem System in Kontakt steht, das unveränderlich den gewünschten Druck aufweist (ein Volumenreservoir). Durch Verformung der flexiblen Wand kann das betrachtete System im Falle eines Druckunterschieds so lange mit dem Volumenreservoir „Volumen austauschen“, bis es seinen Druck wieder dem des Volumenreservoirs angeglichen hat.
Im Verlaufe eines beliebigen Prozesses ändern sich in der Regel die Entropien des Systems und des Wärmereservoirs (das Volumenreservoir tauscht mit dem betrachteten System keine Wärme und keine Materie, also auch keine Entropie aus). Gemäß dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik nimmt die Entropie des aus betrachtetem System und Wärmereservoir gebildeten abgeschlossenen Gesamtsystems zu oder bleibt bestenfalls gleich:
oder
Das „größer“-Zeichen gilt für Prozesse, welche die Entropie des Gesamtsystems vermehren und daher freiwillig aus eigenem Antrieb ablaufen. Diese Prozesse laufen von selbst (sofern keine anderweitige Hemmung vorliegt) in Richtung des Gleichgewichtszustands ab. Das Gleichheitszeichen gilt, wenn das Gesamtsystem die größte unter den gegebenen Bedingungen erreichbare Entropie angenommen und damit den thermischen Gleichgewichtszustand erreicht hat.
Die Entropieänderung des Reservoirs steht mit der in das Reservoir fließenden Wärme und der Temperatur des Reservoirs definitionsgemäß in der Beziehung
Weil das Reservoir und das betrachtete System die Wärme ausschließlich untereinander austauschen, ist , und da das System und das Reservoir laut Voraussetzung dieselbe Temperatur aufweisen, ist . Daher folgt aus obiger Ungleichung
Damit ist es gelungen, das Entropiekriterium, das die Entropien von System und Reservoir betrachtet, ausschließlich unter Verwendung von Größen des betrachteten Systems zu formulieren, was die Anwendung stark erleichtert. Da keine Unterscheidung mehr nötig ist, werden die Indizes an den Größen des Systems nun fortgelassen und die Ungleichung lautet
Ferner sei nun vorausgesetzt, dass das System unter konstantem Druck gehalten wird (isobarer Prozess, ) und dass das System außerdem so beschaffen sei, dass es außer Volumenänderungsarbeit keine anderen Arten von Arbeit leisten kann. Dann ist die zu- oder abgeführte Wärmemenge zahlenmäßig gleich der Enthalpieänderung des Systems (, siehe → Enthalpie), und aus der Clausiusschen Ungleichung folgt
oder umgestellt
Andererseits ist die Änderung der Gibbs-Energie des Systems gemäß ihrer Definition
was sich im vorliegenden Fall wegen der vorausgesetzten Konstanz der Temperatur () und des Drucks () zu
vereinfacht. Vergleich der markierten Gleichungen liefert schließlich die Aussage:
Das „kleiner“-Zeichen gilt für Prozesse, die freiwillig ablaufen. Das Gleichheitszeichen gilt, sobald das System den Gleichgewichtszustand erreicht hat.
Das Maximumsprinzip für die Entropie des Gesamtsystems führt also dazu, dass die Gibbs-Energie des betrachteten Systems auf der Untermenge der Zustände mit konstanter Temperatur und konstantem Druck ein Minimum annimmt. Ist das System noch nicht im Gleichgewicht, bewegt es sich (falls isotherme und isobare Bedingungen vorliegen und das System keine Nicht-Volumenarbeit leistet) freiwillig in Zustände niedrigerer Gibbs-Energie. Das Gleichgewicht ist mit dem Zustand erreicht, in dem die Gibbs-Energie den unter den gegebenen Bedingungen kleinstmöglichen Wert besitzt.
Wollte man den Gleichgewichtszustand mit Hilfe des (allgemein und auf makroskopischer Ebene stets gültigen) Entropiekriteriums direkt bestimmen, müsste das Maximum der Gesamtentropie ermittelt werden, also die Summe der Entropien des untersuchten Systems und seiner Umgebung. Es müsste daher nicht nur die Änderung der System-Entropie bei einer Zustandsänderung betrachtet werden, sondern auch die Entropie-Änderung, die das System durch Rückwirkung auf die Umgebung dort erzeugt. Das Gibbs-Energie-Kriterium ist eine Umformulierung des Entropiekriteriums, in welche ausschließlich Eigenschaften des betrachteten Systems eingehen und welche die Rückwirkung auf die Umgebung (unter isothermen und isobaren Bedingungen) durch den Term automatisch berücksichtigt, denn unter den gegebenen Bedingungen ist .:156 Bei Verwendung des Gibbs-Energie-Kriteriums kann die Ermittlung des (isothermen und isobaren) Gleichgewichtszustands sich also auf die Betrachtung des Systems beschränken, was die Untersuchungen merklich erleichtert.
Für einen realen physikalischen oder chemischen Prozess kann oft die Atmosphäre als Wärme- und Volumenreservoir dienen. Wegen ihres großen Volumens ändern sich ihre Temperatur und ihr Druck nicht nennenswert, wenn ein System Wärme oder Volumen auf sie überträgt. Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Minimumsprinzips der Gibbs-Energie sind also insbesondere erfüllt, wenn ein System der freien Atmosphäre ausgesetzt ist und seine Prozesse daher isotherm und isobar ablaufen. Sie sind aber beispielsweise auch erfüllt, wenn ein Teilsystem innerhalb eines größeren Systems betrachtet wird, welches aufgrund seiner Größe ein Wärme- und Volumenreservoir für das Teilsystem (etwa für eine Traube in einem Gärbottich:167) darstellt.
Man vergleiche das Minimumsprinzip der Gibbs-Energie unter isothermen und isobaren Bedingungen mit den Extremalprinzipien anderer thermodynamischer Potentiale, welche die Gleichgewichtsbedingungen in geschlossenen Systemen unter anderen Randbedingungen darstellen::50
| Konstant gehaltene Größen | Gleichgewichtsbedingung |
|---|---|
| Innere Energie und Volumen | Maximum der Entropie |
| Entropie und Volumen | Minimum der inneren Energie |
| Entropie und Druck | Minimum der Enthalpie |
| Temperatur und Volumen | Minimum der freien Energie |
| Temperatur und Druck | Minimum der Gibbs-Energie |
In diesem Abschnitt wurde vorausgesetzt, dass das System keine Arbeit außer Volumenänderungsarbeit leistet. Der folgende Abschnitt behandelt Systeme, die auch andere Formen von Arbeit leisten.
Gibbs-Energie und maximale Nicht-Volumenarbeit Bearbeiten
Im Verlaufe eines Prozesses tauscht ein System in der Regel Wärme und Arbeit mit seiner Umgebung aus. Wie im Folgenden gezeigt wird, ist bei einem isothermen, isobaren und reversiblen Prozess die Abnahme der Gibbs-Energie des Systems zahlenmäßig gleich der vom System an der Umgebung geleisteten Arbeit, wenn die eventuell geleistete Volumenänderungsarbeit nicht berücksichtigt wird.
Maximale Nicht-Volumenarbeit Bearbeiten
Ändert sich die Enthalpie eines Systems im Verlaufe eines Prozesses, so gilt für eine differentielle Enthalpieänderung allgemein
Die Änderung der inneren Energie lässt sich nämlich nach dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik aufspalten in die ausgetauschte Wärme und die ausgetauschte Arbeit . Die Arbeit wiederum lässt sich unterteilen in Volumenänderungsarbeit und andere Formen von Arbeit (beispielsweise mechanische, elektrische, chemische Arbeit), die als Nicht-Volumenarbeit zusammengefasst seien.
Falls der Prozess reversibel verläuft,
- lässt sich nach dem Zweiten Hauptsatz die ausgetauschte Wärme durch die ausgetauschte Entropie ausdrücken: ,
- ist die am System geleistete Volumenänderungsarbeit gegeben durch ,
- wird die für die vorliegende Zustandsänderung maximal mögliche Arbeit am System geleistet und es ist .
In diesem reversiblen Fall lässt sich die obige Gleichung schreiben als
Für die mit dem Prozess verbundene Änderung der Gibbs-Energie des Systems schließlich gilt gemäß deren Definition und unter Verwendung des soeben hergeleiteten Ausdrucks für :
Falls der Prozess unter isothermen () und isobaren () Bedingungen verläuft, vereinfacht sich dies zu
Möchte man die vom System geleistete und der Umgebung zur Verfügung gestellte Arbeit positiv zählen, ist ihr Vorzeichen umzukehren
und es ist die freigesetzte Arbeit
Ändert sich also im Zuge eines isothermen, isobaren und reversiblen Prozesses die Gibbs-Energie eines Systems, dann ist die Abnahme der Gibbs-Energie des Systems gleich der vom System während des Prozesses an die Umgebung abgegebenen Nicht-Volumenarbeit. Wird umgekehrt Nicht-Volumenarbeit am System geleistet, nimmt dessen Gibbs-Energie um den entsprechenden Betrag zu.
Dieser Zusammenhang lässt sich beispielsweise zur Berechnung der elektrischen Arbeit nutzen, die aus elektrochemischen Zellen oder aus Brennstoffzellen gewonnen werden kann. Umgekehrt kann aus der Messung der elektrischen Arbeit einer Reaktion deren Gibbssche Reaktionsenergie bestimmt werden, falls sich mit dieser Reaktion eine elektrochemische Zelle betreiben lässt. Durch Anlegen einer geeignet gewählten Gegenspannung lässt sich die Zelle nahe dem Gleichgewichtszustand betreiben, so dass die elektrochemische Reaktion praktisch reversibel abläuft und die maximal mögliche elektrische Arbeit liefert.
Mit einem ähnlichen Argument wie oben lässt sich zeigen, dass derselbe Zusammenhang zwischen Nicht-Volumenarbeit und Gibbs-Energie auch für Prozesse gilt, die vorübergehend andere, vom Anfangs- und Endzustand abweichende Temperaturen und Drücke annehmen.:68, 72ff Dies ist beispielsweise der Fall bei Verbrennungsreaktionen. Wählt man als Endzustand einen Zustand, in dem das System nach der Verbrennung wieder die Ausgangstemperatur – beispielsweise 20 °C – angenommen hat, dann wird der Gesamtprozess inklusive Aufheizung und Abkühlung durch die Gibbs-Energien der Ausgangsstoffe und Produkte bei 20 °C beschrieben. Allerdings ist eine freie Verbrennung eine Reaktion, die fernab vom Gleichgewichtszustand und damit irreversibel stattfindet, so dass sie nicht die maximal mögliche Arbeitsleistung liefern kann. Soll ein Prozess, in dem das System vorübergehend auch andere Temperaturen als die Temperatur von Anfangs- und Endzustand und andere Drücke als den Druck von Anfangs- und Endzustand annimmt, reversibel geführt werden, so ist insbesondere sicherzustellen, dass trotz der Veränderlichkeit von Temperatur und Druck der Wärmeaustausch mit dem Wärmereservoir bei der Temperatur und der Volumenaustausch mit dem Druckreservoir beim Druck stattfindet.
Läuft ein isothermer, isobarer und nicht reversibler Prozess ab, dann wird nicht die gesamte Abnahme der Gibbs-Energie in Nicht-Volumenarbeit umgesetzt, ein Teil wird als Wärme abgegeben. In diesem Fall ist die Ausbeute an Nicht-Volumenarbeit geringer:
Erstes Beispiel Bearbeiten
Als Beispiel für die maximale Nicht-Volumenarbeit einer chemischen Reaktion sei ermittelt, welche Nicht-Volumenarbeit ein Organismus bei einer Körpertemperatur von 37 °C und Atmosphärendruck aus der Verbrennung von einem Mol Glucose gewinnen kann, um damit seine Funktionen (wie etwa die letztlich elektrische Nerven- und Muskeltätigkeit) aufrechtzuerhalten. Aus einschlägigen Tabellen entnimmt man für Glucose die Verbrennungsenthalpie
(der Index c steht für combustion) und die mit der Verbrennung verbundene Entropieänderung
Die Zahlen gelten streng genommen für 25 °C und werden hier näherungsweise für 37 °C verwendet. Da Enthalpie und Entropie Zustandsgrößen sind und daher nur vom Anfangs- und Endzustand abhängen, gelten diese Zahlenwerte für die Oxidation von Glucose unabhängig davon, ob sie in einer offenen Verbrennung oder – wie hier – in einer enzymatisch katalysierten Reaktion erfolgt. Die Gibbssche Reaktionsenthalpie ist
Aus der Verbrennung von einem Mol Glucose können also maximal Nicht-Volumenarbeit gewonnen werden. Läuft der Verbrennungsprozess nicht-reversibel ab, ist die gewinnbare Arbeit je nach Ausmaß der Irreversibilität geringer.
Zweites Beispiel Bearbeiten
In der weiter unten diskutierten Herleitung der barometrischen Höhenformel tritt neben einem druckabhängigen Term auch ein höhenabhängiger auf: Die Gibbs-Energie des betrachteten Volumenelements erhöht sich um den Betrag der Hubarbeit, die beim Hochheben des Volumenelements im Schwerefeld geleistet wird.
Prozesse ohne Nicht-Volumenarbeit Bearbeiten
Läuft ein isothermer, isobarer und reversibler Prozess ab, in dessen Verlauf das System keine Nicht-Volumenarbeit leistet (also keinerlei Arbeit, außer eventuell Volumenänderungsarbeit), dann ändert sich bei diesem Prozess die freie Energie des Systems nicht:
Wird beispielsweise ein Teil einer gegebenen Menge Wasser durch Zuführen von Latentwärme in eine Dampfphase überführt, die mit dem restlichen Wasser bei gleicher Temperatur und gleichem Druck im Gleichgewicht steht, dann ist dieser isotherme, isobare und reversible Prozess zwar (wegen der Ausdehnung des Wassers beim Verdampfen) mit Volumenänderungsarbeit verbunden, er leistet aber keine Nicht-Volumenarbeit. Folglich hat der Dampf dieselbe molare Gibbs-Energie wie das Wasser, mit dem er im Gleichgewicht steht.:86 Die Gleichheit der molaren Gibbs-Energie in verschiedenen Phasen einer Substanz, die miteinander im Gleichgewicht stehen, wird später noch eingehender behandelt.
Läuft ein isothermer, isobarer und irreversibler Prozess ab, in dessen Verlauf das System keine Nicht-Volumenarbeit leistet
dann gilt die Ungleichung (siehe oben)
oder
Spontan ablaufende Prozesse sind stets irreversibel. Läuft also ein isothermer und isobarer Prozess, in dessen Verlauf das System keine Nicht-Volumenarbeit leistet, spontan ab, dann ist er mit einer Abnahme der Gibbs-Energie verbunden.:90 Dieses Ergebnis ist bereits aus dem vorigen Abschnitt bekannt.
Ableitungen der Gibbs-Energie Bearbeiten
Das totale Differential der Gibbs-Energie als Funktion ihrer natürlichen Variablen ist einerseits formal
und andererseits, unter Benutzung ihrer Definition und Verwendung des totalen Differentials der inneren Energie :
so dass aus dem Vergleich der Koeffizienten in den markierten Gleichungen folgt
sowie
und
Diese einfachen Zusammenhänge werden in den folgenden Abschnitten näher diskutiert.
Die Herleitung zeigt gleichzeitig, wie die Addition der Terme und die Liste der unabhängigen Variablen von in ändert, indem dadurch im totalen Differential die von und abhängigen Terme entfernt und dafür von und abhängige Terme hinzugefügt werden.
Die zweite der markierten Gleichungen ist eine „differentielle Fundamentalfunktion“,:13, 48 nämlich die häufig benötigte differentielle Gibbs-Energie als Funktion ihrer natürlichen Variablen.
Gibbs-Energie und chemisches Potential Bearbeiten
Man betrachte eine homogene Phase mit der Temperatur und dem Druck , die aus einer Mischung von Substanzen besteht, wobei jeweils die -te Substanz in der Menge vorhanden ist. Aus der oben hergeleiteten Gleichung
folgt eine anschauliche Interpretation des chemischen Potentials :
Das chemische Potential der -ten Komponente der Phase gibt an, um welchen (infinitesimalen) Betrag sich die Gibbs-Energie der Phase ändert, wenn die Menge der -ten Komponente in der Phase sich um den (infinitesimalen) Betrag ändert, wobei die Temperatur , der Druck und die Mengen der übrigen Komponenten konstant gehalten werden. Die Menge der -ten Komponente kann sich beispielsweise im Zuge einer in der Phase ablaufenden chemischen Reaktion ändern, oder weil sie der Phase aus der Umgebung (das kann auch eine andere Phase des Systems sein) zugeführt wird.
Der Übergang von der infinitesimalen Größe zur gesamten Gibbs-Energie des Systems scheint zunächst eine Integration zu erfordern. Diese wäre außerdem schwierig, weil in komplizierter Weise von den vorhandenen Substanzmengen abhängen kann, die sich ihrerseits im Verlaufe des Prozesses in komplizierter Weise ändern können. Es stellt sich jedoch heraus, dass der Zusammenhang zwischen (beziehungsweise den ) und überraschend einfach ist.
Ausgangspunkt der Betrachtungen:93 ist die oben hergeleitete allgemeingültige differentielle Fundamentalfunktion
Man denke sich nun die Größe der Phase vervielfacht. Bei diesem Vorgang bleiben die Temperatur und der Druck unverändert, da sie intensive Größen sind. In diesem Fall sind also und und das Differential vereinfacht sich zu
Da die chemischen Potentiale ebenfalls intensive Größen sind, bleiben sie auch unverändert. Die direkte Integration des Differentials liefert daher
weil die als konstante Größen vor die jeweiligen Integrale gezogen werden können.
Wird die Phase auf -fache Größe vermehrt, dann nehmen auch die Zahlenwerte der extensiven Größen , … auf das -fache zu und es gilt
Einsetzen in die vorhergehende Gleichung führt auf
und damit
Es besteht also ein einfacher Zusammenhang zwischen der Gibbs-Energie der Phase und den chemischen Potentialen der in der Phase enthaltenen Substanzen:
Sowohl als auch die sind dabei jeweils nur bis auf eine Konstante bestimmt.
Division durch die Gesamt-Stoffmenge der Phase liefert die oft benutzte molare Gibbs-Energie
mit den Stoffmengenanteilen .
Für ein System, das nur aus einer einzigen Substanz besteht () ist insbesondere
In einem Mehrkomponentensystem sind die chemischen Potentiale also identisch mit den partiellen molaren Gibbs-Energien des Systems. In einem Einkomponentensystem ist das chemische Potential identisch mit der molaren Gibbs-Energie des Systems.:168
Chemisches Potential in Phasen, die im Gleichgewicht stehen Bearbeiten
Thermodynamische Potentiale nehmen in der Regel in den verschiedenen Phasen eines Systems unterschiedliche Werte an. Beispielsweise unterscheiden sich die molaren Enthalpien von Wasser und Wasserdampf, die im Gleichgewicht stehen, um den Betrag der Verdampfungsenthalpie des Wassers. Das chemische Potential hingegen nimmt in allen Phasen eines im Gleichgewicht stehenden Systems denselben Wert an.
Zum Beweis betrachte man ein einkomponentiges aus mehreren Phasen bestehendes, im Gleichgewicht befindliches System und nehme zunächst an, das chemische Potential habe an verschiedenen Orten und im System unterschiedliche Werte beziehungsweise . Denkt man sich eine Substanzmenge von Ort nach Ort transportiert, ändert sich die Gibbs-Energie an Ort um den Betrag und an Ort um den Betrag , die gesamte Gibbs-Energie des Systems ändert sich also um . Ist , dann ist die Änderung der Gibbs-Energie negativ und der Transport läuft spontan ab, im Widerspruch zur Annahme, dass sich das System bereits im Gleichgewicht befinde. Das System kann sich also nur im Gleichgewicht befinden, wenn ist.
Da die beiden verglichenen Orte in verschiedenen Phasen aber auch in derselben Phase liegen können, folgt die Gleichheit des chemischen Potentials in allen Phasen, aber auch an allen Stellen innerhalb jeder Phase.
Da im betrachteten Fall einer einzelnen Substanz das chemische Potential identisch ist mit der molaren Gibbs-Energie, folgt auch die Konstanz der molaren Gibbs-Energie in allen Phasen.
Temperaturabhängigkeit der Gibbs-Energie Bearbeiten
Temperaturabhängigkeit Bearbeiten
Aus der oben hergeleiteten Gleichung
folgt unmittelbar, dass die Temperaturabhängigkeit der Gibbs-Energie bei konstantem Druck und konstanten Stoffmengen gegeben ist durch das Negative der Entropie des Systems. Da die Entropie nach dem Dritten Hauptsatz der Thermodynamik stets positiv ist, nimmt die Gibbs-Energie unter diesen Bedingungen stets ab, wenn die Temperatur zunimmt. Bei Gasen mit ihrer hohen Entropie ist die Temperaturabhängigkeit der Gibbs-Energie größer als bei Flüssigkeiten oder Festkörpern.
Division durch die Stoffmenge der Phase liefert die entsprechende Gleichung für die molaren Größen der Phase:
Beispiel Bearbeiten
Als ein Beispiel für die Temperaturabhängigkeit betrachte man Eis und flüssiges Wasser, die im Gleichgewicht stehen. Die den beiden Phasen gemeinsame Temperatur sei also die dem gemeinsamen Druck entsprechende Schmelztemperatur (beispielsweise 0 °C, wenn der Druck der Atmosphärendruck ist). Da Gleichgewicht vorausgesetzt wird, haben beide Phasen dieselbe molare Gibbs-Energie:
Erhöht man bei konstant gehaltenem Druck die Temperatur, dann ändern sich die molaren Gibbs-Energien proportional zum Negativen ihrer jeweiligen molaren Entropien:
Da das flüssige Wasser im Vergleich zum Eis mit seiner Gitterstruktur die größere molare Entropie besitzt, nimmt seine molare Gibbs-Energie bei Temperaturerhöhung schneller ab, und es hat bei der erhöhten Endtemperatur schließlich eine kleinere molare Gibbs-Energie als das Eis. Das Gleichgewicht zwischen beiden Phasen ist also gestört. Es könnte wiederhergestellt werden, indem entweder das Eis schmilzt und die kleinere molare Gibbs-Energie von Wasser annimmt, oder indem das Wasser gefriert und die größere molare Gibbs-Energie von Eis annimmt. Da beim Schmelzvorgang (bei konstantem Druck und konstant gehaltener neuer Temperatur) die Gibbs-Energie des Gesamtsystems abnimmt, ist es der Schmelzprozess, den das System auswählt und spontan durchläuft, bis sich ein neues Gleichgewicht eingestellt hat.
Wird umgekehrt die Temperatur verringert, nimmt die molare Gibbs-Energie des Wassers stärker zu als die des Eises und das gestörte Gleichgewicht wird spontan wiederhergestellt, indem das Wasser gefriert und sich der kleineren molaren Gibbs-Energie des Eises angleicht.
Druckabhängigkeit der Gibbs-Energie Bearbeiten
Druckabhängigkeit Bearbeiten
Aus der oben hergeleiteten Gleichung
folgt unmittelbar, dass die Druckabhängigkeit der Gibbs-Energie bei konstanter Temperatur und konstanten Stoffmengen durch das Volumen des Systems gegeben ist. Da das Volumen immer positiv ist, nimmt die Gibbs-Energie unter diesen Bedingungen stets zu, wenn der Druck zunimmt.
Division durch die Stoffmenge der Phase liefert die entsprechende Gleichung für die molaren Größen der Phase:
Beispiel Bearbeiten
Als ein Beispiel für die Druckabhängigkeit betrachte man wieder Eis und flüssiges Wasser, die im Gleichgewicht stehen. Da Gleichgewicht vorausgesetzt wird, haben beide Phasen dieselbe molare Gibbs-Energie:
Erhöht man bei konstant gehaltener Temperatur den Druck, dann ändern sich die molaren Gibbs-Energien proportional zum jeweiligen molaren Volumen:
Da das Eis im Vergleich zum flüssigen Wasser das größere molare Volumen besitzt, nimmt seine molare Gibbs-Energie bei Druckerhöhung schneller zu, und es hat beim erhöhten Enddruck schließlich eine höhere molare Gibbs-Energie als das Wasser. Das Gleichgewicht zwischen beiden Phasen ist gestört. Es wird wiederhergestellt, indem das Eis schmilzt und die kleinere molare Gibbs-Energie von Wasser annimmt. Da durch diesen Schmelzvorgang (bei konstanter Temperatur und konstant gehaltenem neuem Druck) die gesamte Gibbs-Energie des Systems abnimmt, läuft das Schmelzen spontan ab.
Trotz konstant gehaltener Temperatur liegt das unter erhöhtem Druck stehende System jetzt vollständig flüssig vor. Die Temperatur müsste also verringert werden, um beim neuen Druck wieder ein Gleichgewicht zwischen flüssigem Wasser und Eis zu ermöglichen: Durch die Druckerhöhung wurde die Schmelztemperatur gesenkt. Die Eigenschaften der Zustandsgröße Gibbs-Energie erlaubten diese Schlussfolgerung allein aus der Kenntnis der molaren Volumina von Eis und flüssigem Wasser.
Wird umgekehrt der Druck verringert, nimmt die molare Gibbs-Energie des Eises schneller ab als die des Wassers und das gestörte Gleichgewicht wird spontan wiederhergestellt, indem das Wasser gefriert und sich der kleineren molaren Gibbs-Energie des Eises angleicht.
Folgerungen Bearbeiten
Ist die Gibbs-Energie bei einem Referenzdruck, beispielsweise dem Standarddruck bekannt, lässt sie sich für beliebige andere Drücke durch Integration ermitteln:
Für die molare Gibbs-Energie gilt entsprechend:
Bei Flüssigkeiten und Festkörpern ist das molare Volumen nur in geringem Maße mit dem Druck veränderlich. kann dann näherungsweise als konstant angesehen und vor das Integral gezogen werden:
Bei nicht allzu extremen Druckzunahmen ist in der Regel vernachlässigbar und die Gibbs-Energie von Flüssigkeiten und Festkörpern ist praktisch druckunabhängig:
Bei Gasen andererseits ist das molare Volumen zu stark veränderlich, als dass es konstant gesetzt werden dürfte. Hier muss das Integral ausgewertet werden.
Gibbs-Energie des idealen Gases Bearbeiten
Bei idealen Gasen lässt sich das Integral sofort berechnen, da das molare Volumen als
ausgedrückt und in das Integral eingesetzt werden kann:
Für ein System, das nur aus einer einzigen Substanz besteht, ist die molare Gibbs-Energie identisch mit dem chemischen Potential der Substanz (siehe oben) und es gilt
worin die molare Gibbs-Energie der Substanz im Standardzustand, , jetzt als chemisches Potential der Substanz im Standardzustand, , bezeichnet wird.
Das chemische Potential eines idealen Gases lässt sich also leicht in Abhängigkeit vom Druck berechnen. Dies findet vielfältige Anwendung, denn es lässt sich auf diese Weise nicht nur das chemische Potential näherungsweise idealer Gase ermitteln. Betrachtet man beispielsweise eine Flüssigkeit, die mit ihrem Dampf im Gleichgewicht steht, dann ist die molare Gibbs-Energie – und damit auch das chemische Potential – in beiden Phasen identisch (siehe oben), und das chemische Potential der Flüssigkeit ist daher bekannt, sofern der Dampf in hinreichend guter Näherung als ideales Gas behandelt werden darf.
Gibbs-Energie eines Lösungsmittels Bearbeiten
Als Beispiel hierfür sei eine Lösung betrachtet, also eine Mischung aus einem Lösungsmittel und einer darin gelösten Substanz. Gemäß dem Raoultschen Gesetz ist der Dampfdruck des Lösungsmittels proportional zum Stoffmengenanteil , mit dem es in der Lösung vertreten ist:
(In den meisten Fällen gilt das Raoultsche Gesetz nur im Grenzfall stark verdünnter Lösungen; es sei im Folgenden die Gültigkeit für die betrachtete Lösung vorausgesetzt.) Ändert man den Stoffmengenanteil des Lösungsmittels von auf , verhalten sich die zugehörigen Dampfdrücke und also wie die Stoffmengenanteile:
Setzt man ferner voraus, dass der Lösungsmitteldampf in hinreichender Näherung als ideales Gas behandelt werden darf, dann ist die Formel aus dem letzten Abschnitt anwendbar und für die chemischen Potentiale und des Dampfes über den beiden betrachteten Lösungsmittelanteilen gilt:
Wählt man als Ausgangspunkt das reine Lösungsmittel (durch einen Stern gekennzeichnet), dann ist wegen das chemische Potential des Lösungsmitteldampfs über dem Lösungsmittel mit Anteil :125ff
Weil das Lösungsmittel mit seinem Dampf im Gleichgewicht steht, besitzt es dasselbe chemische Potential. Da der Stoffmengenanteil des Lösungsmittels kleiner als Eins ist, hat sein Logarithmus negatives Vorzeichen. Die Anwesenheit einer gelösten Substanz verringert also unter den genannten Voraussetzungen das chemische Potential des Lösungsmittels. Dies ist die Ursache für Erscheinungen wie Osmose, Gefrierpunktserniedrigung in Lösungen und Ähnliches.
Wird der Stoffmengenanteil der gelösten Substanz mit bezeichnet, dann wird
das chemische Potential des Lösungsmittels nimmt also proportional zum Stoffmengenanteil der gelösten Substanz ab.:125ff Man beachte, dass die Änderung des chemischen Potentials des Lösungsmittels nicht von der Natur der gelösten Substanz abhängt, sondern nur von ihrem Stoffmengenanteil, siehe → kolligative Eigenschaft.
Gibbssche Mischungsenergie idealer Gase Bearbeiten
Man betrachte einen Behälter mit zwei Kammern, in denen sich die reinen Gase beziehungsweise befinden. Ihre Stoffmengen seien beziehungsweise (mit ). Ihre Temperaturen seien gleich, ebenso ihre Drücke . Da die Gibbs-Energie eine extensive Größe ist, berechnet sich die Gibbs-Energie des Gesamtsystems als Summe der Gibbs-Energien beider Teilsysteme. Benutzt man die molaren Gibbs-Energien, die wiederum identisch mit den chemischen Potentialen sind, ergibt sich
Handelt es sich insbesondere um ideale Gase, dann ist die Gibbs-Energie unter Verwendung der im vorigen Abschnitt abgeleiteten Formel für das chemische Potential eines idealen Gases:
Entfernt man die Trennwand zwischen den Kammern, vermischen sich die Gase. Sie haben im vermischten Zustand die Partialdrücke beziehungsweise (mit ). Mit diesen Drücken wird die Gibbs-Energie des Systems im vermischten Endzustand
Die Differenz zwischen den Gibbs-Energien im End- und Anfangszustand ist die Gibbssche Mischungsenergie :
Gemäß dem Daltonschen Gesetz lässt sich der Partialdruck ausdrücken als das Produkt aus Stoffmengenanteil und Gesamtdruck :
Außerdem ist aufgrund der Definition des Stoffmengenanteils
und entsprechende Ausdrücke gelten jeweils auch für Gas . Damit wird die Gibbssche Mischungsenergie idealer Gase:
Da die Stoffmengenanteile gemäß ihrer Definition im betrachteten Fall immer kleiner als Eins sind, werden die Logarithmen stets negativ, und auch die Gibbssche Mischungsenergie ist immer negativ. Die Gibbs-Energie des Gesamtsystems idealer Gase nimmt beim Vermischen also immer ab und das Vermischen idealer Gase ist daher ein freiwillig ablaufender Vorgang, was auch der Erfahrung mit realen aber näherungsweise idealen Gasen entspricht.
Mischt man stark nicht-ideale Substanzen, ergeben sich andere Formeln für die Gibbssche Mischungsenergie. Sie kann dann unter Umständen sogar positive Werte annehmen. In einem solchen Fall entmischt sich eine Mischung freiwillig, die beteiligten Komponenten sind nicht mischbar. Nimmt die Gibbssche Mischungsenergie nur in einem bestimmten Bereich von Zusammensetzungen der Mischung positive Werte an, ist die Mischung nur für diese Zusammensetzungen instabil – es liegt eine Mischungslücke vor.
Im betrachteten Fall nicht-reagierender idealer Gase blieben die Stoffmengen beider Komponenten beim Mischungsvorgang konstant. Wenn die gemischten Substanzen chemisch miteinander reagieren können, sind die Stoffmengen variabel. Sie stellen sich dann freiwillig so ein, dass die Gibbssche Mischungsenergie den kleinsten mit den Bedingungen der Reaktion verträglichen Wert annimmt. Der Zustand, der sich auf diese Weise einstellt, ist der Zustand chemischen Gleichgewichts. Die Lage dieses Gleichgewichtszustands lässt sich bei Kenntnis der Gibbsschen Mischungsenergie des Systems also vorherberechnen.
Anwendung Bearbeiten
Osmose Bearbeiten
Der Effekt der Osmose zeigt sich beispielsweise, wenn ein Lösungsmittel, das gelöste Stoffe enthält, durch eine für das Lösungsmittel durchlässige aber für die gelösten Stoffe undurchlässige Membran von reinem Lösungsmittel getrennt ist. Reines Lösungsmittel fließt dann spontan durch die Membran in die Lösung, auch ohne dass ein Druckunterschied anliegt.
Zur näheren Erläuterung betrachte man eine Phase, die eine Mischung aus einem Lösungsmittel und gelösten Stoffen ist. Sie stehe über eine semipermeable, nur für das Lösungsmittel durchlässige Membran in Kontakt mit einer zweiten Phase, die aus dem reinen Lösungsmittel besteht. Ein Beispiel wären eine Phase mit Zuckerwasser und eine Phase mit reinem Wasser, die durch eine Cellophanfolie voneinander getrennt sind. Temperatur und Druck seien auf beiden Seiten identisch.
In der Mischung hat das Lösungsmittel ein kleineres chemisches Potential als im reinen Zustand (man vergleiche die obige Diskussion der Gibbs-Energie eines Lösungsmittels). Die unterschiedlichen chemischen Potentiale des Lösungsmittels in den beiden Phasen setzen einen ausgleichenden Lösungsmittelfluss in Gang, der Lösungsmittel von der Seite mit dem höheren chemischen Potential auf die Seite mit dem geringeren chemischen Potential (nämlich auf die Seite mit der Mischung) transportiert.
Will man den osmotischen Transport unterbinden, muss man bewirken, dass das Lösungsmittel sowohl in der reinen Phase als auch in der Mischphase dasselbe chemische Potential hat. Dies kann dadurch geschehen, dass man von der Forderung beidseitig gleichen Drucks abgeht und den Druck in der Mischphase erhöht (während die Temperaturen identisch bleiben). Wie oben erläutert, erhöht eine Druckzunahme das chemische Potential. Der Zusatzdruck , den man anlegen muss, um Gleichgewicht herzustellen heißt osmotischer Druck. Ist der Druck im reinen Lösungsmittel und der Druck in der Mischung, dann ist also im Gleichgewicht
Das chemische Potential des reinen Lösungsmittel sei mit bezeichnet; der Stern kennzeichnet die reine Substanz und der Index den Druck, unter dem die Substanz steht.
Für die Mischphase sei der einfacheren Behandlung wegen angenommen, dass es sich um eine ideale Mischung handelt. Dann ist das chemische Potential des Lösungsmittels (Stoffmengenanteil ) in der Mischphase unter dem Druck gegeben durch:263
Im osmotischen Gleichgewicht sind die beiden chemischen Potentiale gleich:
oder umgestellt und unter Berücksichtigung der Druckabhängigkeit des chemischen Potentials des reinen Lösungsmittels:
wobei das molare Volumen des reinen Lösungsmittels ist. Mit als dem Mittelwert des molaren Volumens über das Druckintervall wird daraus:
Für den osmotischen Druck gilt also:
Mit als der Summe über die Stoffmengenanteile aller gelösten Substanzen ist
was sich für kleines zu
vereinfacht,:264 dem van-’t-Hoff’schen Gesetz. Der osmotische Druck hinreichend verdünnter Lösungen ist also proportional zur Summe der Stoffmengenanteile der gelösten Substanzen.
Clausius-Clapeyron-Gleichung Bearbeiten
Bei der obigen Diskussion der Temperatur- und der Druckabhängigkeit der Gibbs-Energie wurde gezeigt, dass ein bestehendes Gleichgewicht zweier Phasen einer Substanz gestört wird, wenn entweder die Temperatur des Systems bei konstant gehaltenem Druck oder der Druck des Systems bei konstant gehaltener Temperatur geändert wird. Es ist jedoch möglich, Druck und Temperatur gemeinsam so zu ändern, dass die Phasen im Gleichgewicht bleiben, sofern die Änderungen und geeignet aufeinander abgestimmt sind.
Befindet sich das betrachtete System zweier Phasen und einer Substanz anfangs im Gleichgewicht, sind die spezifischen Gibbs-Energien der beiden Phasen gleich. Nach den Änderungen und sollen die Phasen ebenfalls im Gleichgewicht sein, ihre spezifischen Gibbs-Energien müssen daher – in der Regel mit geänderten Zahlenwerten – wiederum gleich sein. Die spezifischen Gibbs-Energien beider Phasen müssen sich also um denselben Betrag geändert haben:
Da das System nur aus einer einzigen Substanz besteht, reduziert sich die differentielle Gibbs-Funktion (siehe oben) auf den Ausdruck , und aus
folgt die Clapeyron-Gleichung
Die Differenz ist der Unterschied der spezifischen Entropien beider Phasen. Sie ist identisch mit der spezifischen Latent-Enthalpie , die einer Masseneinheit der Substanz bei der gegebenen Temperatur und dem gegebenen Druck zugeführt werden muss, um sie reversibel von Phase in Phase zu überführen, dividiert durch die vorliegende Temperatur :
Einsetzen dieses Ausdrucks ergibt die Clausius-Clapeyron-Gleichung::110ff
Dampfdruck über Tropfen Bearbeiten
Der Sättigungsdampfdruck einer Flüssigkeit bei einer gegebenen Temperatur ist jener Druck, bei dem die Flüssigkeit mit ihrem Dampf im Gleichgewicht steht. Dabei wird üblicherweise vorausgesetzt, dass die Flüssigkeitsoberfläche eben ist. Über gekrümmten Oberflächen nimmt der Sättigungsdampfdruck andere Werte an: Er ist über konvex gekrümmten Oberflächen (z. B. über Tropfen) höher und über konkav gekrümmten Oberflächen (z. B. über dem Meniskus in einer teilweise gefüllten Kapillare) geringer als über einer ebenen Oberfläche.
Die Ursache dafür ist der veränderte Druck, unter dem die Flüssigkeit bei gekrümmter Oberfläche steht. Bei ebener Oberfläche ist (da ja Gleichgewicht vorausgesetzt wird) der Druck in der Flüssigphase gleich dem Druck in der Dampfphase. Die Flüssigkeit in einem Tropfen des Radius steht jedoch unter einem höheren Druck, da die Oberflächenspannung einen zusätzlichen kapillaren Druck
im Tropfen erzeugt. Der Gesamtdruck im Tropfen ist die Summe aus dem Kapillardruck und dem von der Dampfphase auf den Tropfen ausgeübten Sättigungsdampfdruck. Gesucht ist der neue Sättigungsdampfdruck, der sich unter diesen veränderten Druckbedingungen über der gekrümmten Oberfläche einstellen muss, um das Gleichgewicht zu erhalten.
Die Druckabhängigkeit des Sättigungsdampfdrucks lässt sich durch Betrachtung der Druckabhängigkeit der chemischen Potentiale der Flüssigkeit und des Dampfes ermitteln (der Index l steht für liquid, der Index g für gas). In jedem Gleichgewicht von Flüssigkeit und Dampf sind die chemischen Potentiale der beiden Phasen gleich:
Geschieht eine Änderung, die in ein neues Gleichgewicht führt, ändern sich im Allgemeinen und , sie bleiben aber untereinander gleich, müssen sich also beide auf dieselbe Weise ändern:
Besteht die Änderung in einer Druckänderung in der Flüssigkeit, dann ändert sich das chemische Potential der Flüssigkeit (siehe Druckabhängigkeit der Gibbs-Energie) dabei um
wobei das molare Volumen der Flüssigkeit ist. Ein entsprechender Ausdruck gilt für die Dampfphase und es folgt
Aus dieser Gleichung lässt sich ermitteln, welche Druckänderung