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Clapeyron Gleichung Die die Émile Clapeyron 1834 entwickelte liefert die Steigung aller Phasengrenzlinien im p T Diagram

Clapeyron-Gleichung

Die Clapeyron-Gleichung, die Émile Clapeyron 1834 entwickelte, liefert die Steigung aller Phasengrenzlinien im p-T-Diagramm eines Reinstoffes, d. h. z. B. auch zwischen zwei festen Phasen. Sie lautet:

mit

Spezifizierung für einzelne Phasenübergänge Bearbeiten

Die Clapeyron-Gleichung lässt sich für verschiedene Phasengrenzen spezifizieren; insbesondere folgende Übergänge werden durch sie bestimmt:

Herleitung Bearbeiten

Die gesuchte Steigung der Phasengrenzlinien im p-T-Diagramm wird durch die noch unbekannte Funktion beschrieben.

An einer Phasengrenzlinie, d. h. bei dem Wertepaar aus Druck p und Temperatur T, bei dem zwei Phasen α und β im thermodynamischen Gleichgewicht koexistieren, besitzen diese beiden Phasen die gleichen chemischen Potentiale μ:

 
 
 (1)
 

Da auf der gesamten Phasengrenzlinie auch bei infinitesimalen Veränderungen von p oder T Gleichung 1 gilt, muss auch die Veränderung der Potentiale immer gleich bleiben:

 
 
 (2)
 

Aus der Gibbs-Duhem-Gleichung ist bekannt

. 
 
 (3)
 

Einsetzen in Gleichung 2 liefert

. 
 
 (4)
 

Ausklammern von dp und dT sowie anschließende Umformung liefert die Clapeyron-Gleichung:

 
 
 (5)
 

mit
und .

Für reversible Vorgänge kann die Umwandlungsentropie aus der dabei umgesetzten Wärmemenge Qrev berechnet werden, die bei isobaren Vorgängen gleich der Änderung der molaren Enthalpie Hm ist:

 
 
 (6)
 

Damit erhält man die Clausius-Clapeyron-Gleichung.

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Die Clapeyron Gleichung die Emile Clapeyron 1834 entwickelte liefert die Steigung aller Phasengrenzlinien im p T Diagramm eines Reinstoffes d h z B auch zwischen zwei festen Phasen Sie lautet d p d T D t r s S D t r s V displaystyle frac mathrm d p mathrm d T frac Delta mathrm trs S Delta mathrm trs V mit p displaystyle p Druck T displaystyle T Temperatur in K D t r s S displaystyle Delta mathrm trs S Anderung der molaren Entropie d h der Entropie pro Stoffmenge beim Phasenubergang D t r s V displaystyle Delta mathrm trs V Anderung des molaren VolumensSpezifizierung fur einzelne Phasenubergange BearbeitenDie Clapeyron Gleichung lasst sich fur verschiedene Phasengrenzen spezifizieren insbesondere folgende Ubergange werden durch sie bestimmt fest flussig siehe Schmelzpunktflussig gasformig Clausius Clapeyron Gleichung Temperaturabhangigkeit des Sattigungsdampfdrucks d p d T D vap H p R T 2 displaystyle frac mathrm d p mathrm d T approx frac Delta text vap H cdot p R cdot T 2 nbsp mit D vap H displaystyle Delta text vap H nbsp molare Verdampfungsenthalpie und R displaystyle R nbsp universelle Gaskonstantefest gasformig Temperaturabhangigkeit des Sublimationsdampfdrucks d ln p d T D sub H R T 2 displaystyle frac mathrm d ln p mathrm d T approx frac Delta text sub H R cdot T 2 nbsp mit D sub H displaystyle Delta text sub H nbsp molare SublimationsenthalpieHerleitung BearbeitenDie gesuchte Steigung der Phasengrenzlinien im p T Diagramm wird durch die noch unbekannte Funktion d p d T displaystyle mathrm d p mathrm d T nbsp beschrieben An einer Phasengrenzlinie d h bei dem Wertepaar aus Druck p und Temperatur T bei dem zwei Phasen a und b im thermodynamischen Gleichgewicht koexistieren besitzen diese beiden Phasen die gleichen chemischen Potentiale m m a p T m b p T displaystyle mu alpha p T mu beta p T nbsp 1 Da auf der gesamten Phasengrenzlinie auch bei infinitesimalen Veranderungen von p oder T Gleichung 1 gilt muss auch die Veranderung der Potentiale immer gleich bleiben d m a d m b displaystyle mathrm d mu alpha mathrm d mu beta nbsp 2 Aus der Gibbs Duhem Gleichung ist bekannt d m S m d T V m d p displaystyle mathrm d mu S text m cdot mathrm d T V text m cdot mathrm d p nbsp 3 Einsetzen in Gleichung 2 liefert S a m d T V a m d p S b m d T V b m d p displaystyle S alpha text m mathrm d T V alpha text m mathrm d p S beta text m mathrm d T V beta text m mathrm d p nbsp 4 Ausklammern von dp und dT sowie anschliessende Umformung liefert die Clapeyron Gleichung d p d T D trs S D trs V displaystyle frac mathrm d p mathrm d T frac Delta text trs S Delta text trs V nbsp 5 mit D trs S S b m S a m displaystyle Delta text trs S S beta text m S alpha text m nbsp und D trs V V b m V a m displaystyle Delta text trs V V beta text m V alpha text m nbsp Fur reversible Vorgange kann die Umwandlungsentropie aus der dabei umgesetzten Warmemenge Qrev berechnet werden die bei isobaren Vorgangen gleich der Anderung der molaren Enthalpie Hm ist D S m Q rev T D H m T displaystyle Delta S text m frac Q text rev T frac Delta H text m T nbsp 6 Damit erhalt man die Clausius Clapeyron Gleichung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Clapeyron Gleichung amp oldid 226192588