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Fundamentalgleichung Die der Thermodynamik auch Fundamentalrelation oder Gibbssche nach Josiah Willard Gibbs ist Ausgang

Fundamentalgleichung

Die Fundamentalgleichung der Thermodynamik (auch Fundamentalrelation oder Gibbssche Fundamentalgleichung nach Josiah Willard Gibbs) ist Ausgangspunkt der formalen Thermodynamik. Sie drückt die Zustandsgröße innere Energie U eines thermodynamischen Systems im Gleichgewichtszustand als Funktion von allen extensiven Größen aus. Sie ist eine der charakteristischen Funktionen des Systems.

In nichtmagnetischen Einstoffsystemen vereinfachen sich die natürlichen Variablen zu Entropie S, Volumen V und Stoffmenge n:

Analog gilt dies auch für nichtmagnetische Mehrstoffsysteme mit k verschiedenen Stoffen:

Äquivalent kann die Funktion auch angegeben werden in der Form

Beide Funktionen beinhalten jeweils die gesamte thermodynamische Information des betrachteten Systems. Die mathematische Struktur der Thermodynamik ist damit festgelegt. Weitere, vor allem physikalische, Inhalte werden durch den Anschluss an die Hauptsätze gefunden.

Häufig wird auch eine differentielle Schreibweise verwendet:

Mit den Definitionen für die Temperatur T, den Druck p und das chemische Potential  folgt:

Unter der Voraussetzung einer konstanten Stoffmenge () vereinfacht sich dies weiter zu:

Hieraus geht hervor, dass die Zustandsgleichungen im Prinzip die ersten Ableitungen der Fundamentalgleichung sind.

Aus mathematischen Sätzen über differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen können Beziehungen der zweiten Ableitungen gefunden werden: die Maxwell-Beziehungen. Aus den zweiten Ableitungen können auch die experimentell wichtigen Antwortkoeffizienten hergeleitet werden, wie z. B. Kompressibilität, spezifische Wärmekapazität und Wärmeausdehnungskoeffizient.

Die Legendre-Transformation der Fundamentalrelation führt auf die thermodynamischen Potentiale: freie Energie, Enthalpie und Gibbs-Energie.

Literatur Bearbeiten

  • P. W. Atkins: Physikalische Chemie. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2021, ISBN 978-3527345502.
  • H. B. Callen: Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. 2nd edition, John Wiley & Sons, New York / Chichester / Brisbane / Toronto / Singapore 1985, ISBN 978-0471862567.
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Die Fundamentalgleichung der Thermodynamik auch Fundamentalrelation oder Gibbssche Fundamentalgleichung nach Josiah Willard Gibbs ist Ausgangspunkt der formalen Thermodynamik Sie druckt die Zustandsgrosse innere Energie U eines thermodynamischen Systems im Gleichgewichtszustand als Funktion von allen extensiven Grossen X i displaystyle X i aus Sie ist eine der charakteristischen Funktionen des Systems U U X i displaystyle U U X i In nichtmagnetischen Einstoffsystemen vereinfachen sich die naturlichen Variablen zu Entropie S Volumen V und Stoffmenge n U U S V n displaystyle U U S V n Analog gilt dies auch fur nichtmagnetische Mehrstoffsysteme mit k verschiedenen Stoffen U U S V n 1 n k displaystyle U U S V n 1 dots n k Aquivalent kann die Funktion auch angegeben werden in der Form S S U V n 1 n k displaystyle Leftrightarrow S S U V n 1 dots n k Beide Funktionen beinhalten jeweils die gesamte thermodynamische Information des betrachteten Systems Die mathematische Struktur der Thermodynamik ist damit festgelegt Weitere vor allem physikalische Inhalte werden durch den Anschluss an die Hauptsatze gefunden Haufig wird auch eine differentielle Schreibweise verwendet d U U S V n i d S U V S n i d V i 1 k U n i V S d n i displaystyle mathrm d U left frac partial U partial S right V n i cdot mathrm d S left frac partial U partial V right S n i cdot mathrm d V sum i 1 k left frac partial U partial n i right V S cdot mathrm d n i Mit den Definitionen fur die Temperatur T den Druck p und das chemische Potential m displaystyle mu folgt d U T d S p d V m d n displaystyle mathrm d U T cdot mathrm d S p cdot mathrm d V mu cdot mathrm d n Unter der Voraussetzung einer konstanten Stoffmenge d n 0 displaystyle mathrm d n 0 vereinfacht sich dies weiter zu d U T d S p d V displaystyle mathrm d U T cdot mathrm d S p cdot mathrm d V Hieraus geht hervor dass die Zustandsgleichungen im Prinzip die ersten Ableitungen der Fundamentalgleichung sind Aus mathematischen Satzen uber differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen konnen Beziehungen der zweiten Ableitungen gefunden werden die Maxwell Beziehungen Aus den zweiten Ableitungen konnen auch die experimentell wichtigen Antwortkoeffizienten hergeleitet werden wie z B Kompressibilitat spezifische Warmekapazitat und Warmeausdehnungskoeffizient Die Legendre Transformation der Fundamentalrelation fuhrt auf die thermodynamischen Potentiale freie Energie Enthalpie und Gibbs Energie Literatur BearbeitenP W Atkins Physikalische Chemie 6 Auflage Wiley VCH Weinheim 2021 ISBN 978 3527345502 H B Callen Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics 2nd edition John Wiley amp Sons New York Chichester Brisbane Toronto Singapore 1985 ISBN 978 0471862567 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fundamentalgleichung amp oldid 239377697