| Physikalische Größe | |
|---|---|
| Name | spezifische Wärmekapazität |
| Formelzeichen | , , |
| Siehe auch: Wärmespeicherzahl |
Spezifische Wärmekapazität, auch spezifische Wärme, bezeichnet die auf die Masse bezogene Wärmekapazität und ist eine Stoffeigenschaft der Thermodynamik. Sie bemisst die Fähigkeit eines Stoffes, thermische Energie zu speichern.
Definition Bearbeiten
Definition der spezifischen Wärmekapazität Bearbeiten
Die spezifische Wärmekapazität eines Stoffes in einem bestimmten Zustand ist die Wärme, die einer Menge des Stoffes zugeführt oder entzogen wird, dividiert durch die zugehörige Erhöhung oder Absenkung der Temperatur und die Masse des Stoffes:
Dabei ist
- die Wärme, die dem Stoff zugeführt oder entzogen wird,
- die Masse des Stoffes,
- die Differenz von End- und Anfangstemperatur.
Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist im Internationalen Einheitensystem (SI):
Beispielsweise beträgt die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser etwa . Das bedeutet, dass man einem Kilogramm Wasser eine Wärme von 4,2 kJ zuführen muss, um es um 1 K zu erwärmen.
Im Allgemeinen ist die spezifische Wärmekapazität von Zustandsgrößen abhängig, insbesondere von der Temperatur. Daher gelten Werte für die spezifische Wärmekapazität nur für eine bestimmte Temperatur, häufig für 25 °C. Messungen der Temperaturabhängigkeit erfolgen z. B. durch dynamische Leistungs(differenz)kalorimetrie. Historisch haben solche Messungen, insbesondere bei tiefen Temperaturen, die Festkörperphysik wesentlich vorangebracht.
Bei einem Phasenübergang erster Ordnung ist die Wärmekapazität nicht definiert, Messwerte divergieren dort. Ein Sprung in zeigt dagegen einen Phasenübergang zweiter Ordnung an, bei dem sich die Anzahl der Freiheitsgrade im Material ändert.
Zudem ist die spezifische Wärmekapazität von der Prozessführung der Erwärmung bzw. Abkühlung abhängig, vor allem bei Gasen. Insbesondere wird zwischen der spezifischen Wärme bei konstantem Volumen und der bei konstantem Druck unterschieden. Bei konstantem Volumen kommt die gesamte Wärmezufuhr der Temperaturerhöhung zugute. Wenn sich das Gas jedoch ausdehnen kann, dann wird ein Teil der Wärme für die Verrichtung der Expansionsarbeit aufgewendet und fehlt damit für die Temperaturerhöhung.
Mittlere und wahre spezifische Wärmekapazität Bearbeiten
Die Formel der Einleitung gibt die mittlere spezifische Wärmekapazität für das Temperaturintervall an. Diese lässt sich
- für Temperaturbereiche, die zwischen und einer beliebigen Temperatur liegen, aus Tabellenwerken ablesen oder, falls sie dort nicht aufgeführt ist, aus ihnen durch Interpolation annähern;
- für Temperaturbereiche, die nicht bei beginnen, wie folgt berechnen:
Für genauere Betrachtungen ist zur wahren spezifischen Wärmekapazität bei der Temperatur überzugehen, d. h. zum Grenzfall beliebig kleiner Temperaturänderungen:
Werte für ausgewählte Materialien Bearbeiten
| Material | c in kJ/(kg·K) | Material | c in kJ/(kg·K) |
|---|---|---|---|
| Feststoffe | Gase (cp) | ||
| Eis (0 °C) | 2,06 | Wasserstoff | 14,3 |
| Holz | ≈1,7 | Helium | 5,19 |
| Gips | 1,09 | Methan | 2,16 |
| Aluminium | 0,9 | Wasserdampf (100 °C) | 2,08 |
| Glas | 0,67–0,84 | Butan | 1,66 |
| Eisen/ Gusseisen | 0,452/ 0,55 | Luft (trocken) | 1,01 |
| Kupfer | 0,382 | Kohlenstoffdioxid | 0,846 |
| Silber | 0,235 | Argon | 0,523 |
| Blei | 0,129 | Baustoffe | |
| Flüssigkeiten | Holzfaserdämmstoff, Zelluloseflocken | 2,1 | |
| Wasser | 4,18 | Polystyrol | 1,4 |
| Ethanol, Glycerin | 2,43 | Schamotte | ≈1 |
| Petroleum | 2,14 | Beton | 0,88 |
| Nitromethan | 1,74 | Mineralfaserdämmstoff | 0,8 |
| Quecksilber | 0,139 |
Beziehungen zu Wärmekapazität und molarer Wärmekapazität Bearbeiten
Unter „Freiheitsgrad“ bei idealen Gasen versteht man in diesem Zusammenhang jede Möglichkeit eines Moleküls, kinetische Energie aufzunehmen. Dementsprechend gibt es Freiheitsgrade der Translation, der Rotation, und der Schwingung.
Erhöht sich die Temperatur eines Körpers um die Temperaturdifferenz , so wird dabei die Wärme
übergeben, vorausgesetzt, die Wärmekapazität des Körpers ist in diesem Temperaturintervall zumindest näherungsweise temperaturunabhängig. Es darf damit beim Erwärmen des Gases zu keiner signifikanten Veränderung der inneren Freiheitsgrade kommen, da dies eine Vergrößerung der isochoren Wärmekapazität zur Folge hätte. Grundsätzlich gilt: Je höher die Temperatur wird, desto größer wird auch die isochore Wärmekapazität, da bei höheren Temperaturen immer mehr Freiheitsgrade „auftauen“.
Im Gegensatz zur volumen- oder massebezogenen Wärmekapazität ist die (absolute) Wärmekapazität keine Stoffeigenschaft.
Handelt es sich um einen homogenen Körper, so kann man auch die massespezifische Wärmekapazität angeben:
Bezieht man die Wärmekapazität nicht auf die Masse des Stoffes, sondern auf seine Stoffmenge , so lautet obige Gleichung unter Verwendung der molaren Wärmekapazität (veraltet auch Molwärme genannt):
Zwischen der Wärmekapazität , der spezifischen Wärmekapazität und der molaren Wärmekapazität besteht der Zusammenhang
Nach Division durch die Stoffmenge wird daraus
mit der molaren Masse und analog bei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen
Am Beispiel Kupfer ergibt sich:
Wärmekapazität idealer Gase Bearbeiten
Aus den thermodynamischen Zustandsgleichungen des idealen Gases
und der Definition der Enthalpie:
folgt für die molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Volumen (isochor) und bei konstantem Druck (isobar):
mit der universellen Gaskonstante .
Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:
- – Druck
- – Volumen
- – Stoffmenge
- – absolute Temperatur
- – innere Energie
- – Enthalpie
Gegenüber der molaren Wärmekapazität bei konstantem Volumen fällt diejenige bei konstantem Druck größer aus, weil das Gas in diesem Fall beim Erwärmen expandiert und damit gegen den Außendruck Arbeit leistet. Der entsprechende Anteil der zugeführten Wärme kommt nicht der inneren Energie des Gases und damit auch nicht der Temperaturerhöhung zugute. Deshalb muss für eine bestimmte Temperaturerhöhung mehr Wärme zugeführt werden, der Quotient und damit die molare Wärmekapazität vergrößern sich.
Der Isentropenexponent ist definiert als:
Allgemeiner Fall Bearbeiten
In guter Näherung gilt:
mit der Gesamtzahl der energetischen Freiheitsgrade eines Moleküls mit den Anteilen
- für die translatorische kinetische Energie des Schwerpunkts
- für die Rotationsenergie (Erläuterung s. u.)
- für die innere Energie der Normalschwingungen der Atomkerne gegeneinander (jede Schwingung bringt einen zusätzlichen Freiheitsgrad für die kinetische Energie und einen für die potentielle Energie).
1-atomiges Gas Bearbeiten
Das einfachste Modellsystem betrachtet die Atome als Massenpunkte: von ihnen (Teilchenzahl) fliegen in einem Kasten mit Volumen frei umher und üben durch Stöße gegen die Wand einen Druck aus. Im zeitlichen Mittel ergibt sich nach der kinetischen Gastheorie für den Druck auf die Wand die Gleichung:
Darin ist die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens.
Für die gesamte kinetische Energie aller Teilchen ergibt sich durch Vergleich mit der Zustandsgleichung des idealen Gases:
Dieses Ergebnis folgt auch aus dem Gleichverteilungssatz der statistischen Mechanik, nach dem jedes Teilchen in jedem seiner Freiheitsgrade der Bewegung im Durchschnitt die Energie besitzt; mit den drei Freiheitsgraden des einatomigen Gases ergibt sich
mit
- der Boltzmann-Konstante und
- der Avogadro-Konstante .
Der Massenpunkt hat Freiheitsgrade, entsprechend den drei Raumdimensionen. Zwar kann ein einzelnes Atom auch rotieren in dem Sinn, dass es in seinen angeregten Zuständen höheren Drehimpuls hat als im Grundzustand. Diese Zustände entsprechen elektronischen Anregungen und haben Anregungsenergien, die aufgrund der Kleinheit des Massenträgheitsmoments wegen der Drehimpulsquantelung bei mindestens einigen eV liegen, also weit höher als die typische thermische Energie , sodass im thermischen Gleichgewicht keine Anregung erfolgen kann .
Identifiziert man die thermodynamische innere Energie mit der gesamten kinetischen Energie, so folgt die kalorische Zustandsgleichung des einatomigen idealen Gases:
Daraus folgt:
Größerer Temperaturbereich Bearbeiten
Diese Werte stimmen mit Messungen an Edelgasen und an Quecksilberdampf hervorragend überein, wenn die Temperatur bzw. der Druck genügend weit über dem Verflüssigungspunkt liegt. Die erste Messung erfolgte im Jahr 1876 an dünnem Quecksilberdampf bei etwa 300 °C. Der über die Schallgeschwindigkeit bestimmte Isentropenexponent bestätigte erstmals, dass freie Atome sich über einen großen Temperaturbereich wie Massenpunkte verhalten.
2-atomiges Gas Bearbeiten
Das einfachste Modell für ein zweiatomiges Gas ist eine starre Hantel . Sie hat Freiheitsgrade für Translationsbewegungen des Schwerpunkts und Freiheitsgrade für Rotationen um die beiden Achsen senkrecht zur Hantelachse; die (im makroskopischen mechanischen Modell gegebene) Möglichkeit der Rotation um die Hantelachse wird nicht mitgezählt, da beide Atomkerne auf der Rotationsachse liegen. Daher besitzen sie – wie beim einatomigen Gas – um diese Achse kein Massenträgheitsmoment und damit auch keine Rotationsenergie.
Mit den o. g. Freiheitsgraden folgt aus dem Gleichverteilungssatz:
Daraus folgt:
Hierzu passen Messwerte für Sauerstoff, Stickstoff, Wasserstoff etc. unter Normalbedingungen hervorragend.
Bei sehr niedrigen Temperaturen Bearbeiten
Bei sehr kaltem Wasserstoff wird eine Abnahme der Molwärme bis auf beobachtet, was dem Verhalten eines einzelnen Massenpunkts entspricht. Dies wird erklärt durch den quantenphysikalischen Effekt, dass die Rotationsenergie nur diskrete Werte mit bestimmten Abständen annehmen kann (Energiestufen, Quantelung). Bei tiefen Temperaturen kann die Größenordnung der Energien, die typischerweise bei Stößen zwischen den Molekülen ausgetauscht werden (näherungsweise gegeben durch die thermische Energie ), unter die niedrigste Stufe der Rotationsenergie sinken:
In diesem Fall können durch die thermischen Stöße keine Rotationen mehr angeregt werden, die Rotationsfreiheitsgrade „frieren ein“, weshalb zweiatomige Gase bei tiefen Temperaturen modellmäßig wie einatomige Gase behandelt werden können:
Dieser Effekt ist am deutlichsten ausgeprägt bei Wasserstoff, der bis zu sehr tiefen Temperaturen gasförmig bleibt und dessen Moleküle das kleinste Trägheitsmoment und damit auch die geringste Rotationsenergie haben ().
Bei hohen Temperaturen Bearbeiten
Bei höheren Temperaturen steigen die Molwärmen
Das wird erklärt durch das allmähliche „Auftauen“ der Freiheitsgrade für die Schwingung der beiden Atome gegeneinander, d. h., das Modell der starren Hantel gilt bei hohen Temperaturen nicht mehr:
Bei sehr hohen Temperaturen steigen die Molwärmen noch weiter.
3-atomiges Gas Bearbeiten
Translations- und Rotationsbewegungen bringen je drei Freiheitsgrade:
sofern nicht alle Kerne auf einer Linie liegen (dann gibt es nur zwei Rotationsfreiheitsgrade, Erläuterung s. o. bei zweiatomigem Gas).
Bei größeren Molekülen sind auch Teile der Schwingungsfreiheitsgrade schon bei Normalbedingungen angeregt:
Dadurch steigen die Molwärmen höher als bei den 2-atomigen Gasen:
weshalb der Isentropenexponent weiter fällt:
Für Moleküle mit mehr als drei Atomen gelten analoge Überlegungen, wobei die Zahl der Schwingungsbewegungen stark zunimmt, da jetzt auch Torsionsschwingungen, Bewegungen von Fragmenten relativ zueinander, etc. auftreten.
Wärmekapazität von Festkörpern Bearbeiten
Beobachtungen Bearbeiten
Die molare Wärme von Festkörpern erreicht nach dem empirisch gefundenen Dulong-Petit-Gesetz bei genügend hohen Temperaturen näherungsweise den gleichen Wert:
Zu niedrigen Temperaturen hin nimmt die spezifische Wärme ab, wobei die Form dieser Abhängigkeit für alle Festkörper sehr ähnlich ist, wenn die Temperatur geeignet skaliert wird. Bei sehr tiefer Temperatur nähert die spezifische Wärme sich dem Wert Null, dabei ähnelt der Verlauf für Nichtleiter der Funktion , für Metalle der Funktion . Bei ferromagnetischen Materialien wie z. B. Eisen liefert die Änderung der Magnetisierung einen Beitrag zur Wärmekapazität.
Modellsystem Massenpunkte Bearbeiten
Das einfachste Modellsystem des Festkörpers besteht aus Massenpunkten, die durch elastische Kräfte an ihre Ruhelage gebunden sind und unabhängig voneinander in jeweils drei Richtungen des Raumes schwingen können. Da jede Schwingung zwei Freiheitsgrade beisteuert, ist die Gesamtzahl der Freiheitsgrade und die nach dem Gleichverteilungssatz vorhergesagte molare Wärmekapazität
was mit der Regel von Dulong-Petit übereinstimmt.
Einstein-Modell Bearbeiten
Die Abnahme zu tieferen Temperaturen hin zeigt das Einfrieren der Schwingungen. Albert Einstein nahm 1907 an, dass die Schwingungen aller Teilchen dieselbe Frequenz haben und ihre Energie sich nur stufenweise um jeweils ändern kann ( ist die Planck-Konstante).
Debye-Modell Bearbeiten
| Metall | Debye- Temperatur |
|---|---|
| Eisen | 464 K |
| Aluminium | 426 K |
| Magnesium | 406 K |
| Kupfer | 345 K |
| Zinn | 195 K |
| Blei | 96 K |
Peter Debye verfeinerte das Modell 1912 dahingehend, dass er statt von unabhängigen, individuellen Schwingungen der einzelnen Atome von den elastischen Schwingungen des ganzen Körpers ausging. Bei hoher Temperatur sind sie nach dem Gleichverteilungssatz alle angeregt und ergeben die spezifische Wärme in Übereinstimmung mit dem Wert . Sie haben aber je nach Wellenlänge verschiedene Frequenzen, sodass ihre Energiestufen unterschiedlich weit auseinanderliegen und sich daher der Effekt des Einfrierens über einen weiteren Temperaturbereich verteilt. Nach diesem Debye-Modell wird die molare Wärmekapazität in Abhängigkeit von der Temperatur bestimmt:
Die Debye-Temperatur als einzige vom Material abhängige Größe gibt den Wert an, mit dem die Temperatur zu skalieren ist, um eine für alle Stoffe einheitliche Kurve zu erhalten: Etwa bei der Temperatur ist die molare Wärme auf die Hälfte ihres vollen Werts abgefallen.
Das Debye-Modell stimmt bei allen Temperaturen mit den Messungen an Festkörpern sehr gut überein. Es ergibt insbesondere auch in der Nähe des absoluten Nullpunkts richtig das Anwachsen der Wärmekapazität mit bei Nichtleitern, während das Einstein-Modell hier ein viel zu schwaches Anwachsen vorhersagt.
Modellsystem Elektronengas Bearbeiten
Um die lineare Abhängigkeit der Wärmekapazität von der Temperatur zu verstehen, die die elektrischen Leiter in der Nähe des absoluten Nullpunkts zeigen, kann man die Leitungselektronen als entartetes Fermigas auffassen. Mit Hilfe der Fermiverteilung und der Zustandsdichte eines freien Elektrons lässt sich daraus für niedrige Temperaturen die Temperaturabhängigkeit der Gesamtenergie und folglich auch die Wärmekapazität berechnen.
Das Ergebnis stimmt mit den Messwerten überein und ist weit geringer, als wenn man die Leitungselektronen als klassisches einatomiges ideales Gas (wie oben) betrachtete, das sich zusätzlich zu den Atomrümpfen im Festkörper befindet. Die Aufklärung dieser Diskrepanz von gilt als ein wesentlicher Fortschritt in der Festkörperphysik der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts.
Anwendung zur Wärmespeicherung in Wassertanks Bearbeiten
Tanks mit großen Mengen Wasser, mehrere 100 bis einige 1000 Liter mit geeigneter Wärmedämmung, werden für Heizungen als Wärmepufferspeicher genutzt, etwa wenn tagsüber durch Sonneneinstrahlung Solarthermie oder Photovoltaik-Energie bereitgestellt wird und eine Wärmepumpe bei höheren Lufttemperaturen effizienter arbeitet als nachts. Werden 1000 Liter Wasser von Raumtemperatur 20 °C auf 70 °C um 50 K erwärmt, so entspricht das 209 MJ bzw. 58 kWh eingespeicherter Wärmemenge, vergleichbar mit dem Verheizen von 6 Liter Heizöl.
Literatur Bearbeiten
- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle, Festkörper. Springer Lehrbuch 2005.
- G. R. Stewart: Measurement of low‐temperature specific heat. In: Review of Scientific Instruments. Band 54, Nr. 1, 1983, S. 1–11, doi:10.1063/1.1137207.
- Michael Tausch: Chemie SII, Stoff – Formel – Umwelt. C.C. Buchners Verlag, Bamberg 1993, ISBN 978-3-7661-6453-7.
- Gustav Kortüm: Einführung in die chemische Thermodynamik. Verlag Chemie, Basel 1981, ISBN 3-527-25881-7 (oder Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1981, ISBN 3-525-42310-1).
- Walter J. Moore, Dieter O. Hummel: Physikalische Chemie. Verlag de Gruyter, Berlin / New York 1986, ISBN 3-11-010979-4.
- David R. Lide: Handbook of Chemistry and Physics. 59. Ausgabe. CRC Press, Boca Raton 1978, ISBN 978-0-8493-0486-6, S. D-210, D-211.
- Callen: Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-86256-7.
Weblinks Bearbeiten
- (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive). In: eqi.ethz.ch. Eigenschaften-Quellen-Index, ETH Zürich, 16. Dezember 2008, abgerufen am 17. November 2020.
- (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive). In: eqi.ethz.ch. Eigenschaften-Quellen-Index, ETH Zürich, 16. Dezember 2008, abgerufen am 17. November 2020.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Günter Cerbe, Gernot Wilhelms: Technische Thermodynamik: Theoretische Grundlagen und praktische Anwendungen. München 2021, ISBN 978-3-446-46519-0, S. 79–84
- Die Wärmekapazität von Eis bei −10 °C wird auch mit 2,22 angegeben. Siehe: Anhang 1. (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven.) In: elearning.physik.uni-frankfurt.de.
- ↑ Michael Ramek: Quantenmechanik-Tutorial: Schwingungsmoden mehratomiger Moleküle. In: fptchlx02.tu-graz.ac.at. Institute of Physical and Theoretical Chemistry, abgerufen am 21. August 2023.
- Ludwig Boltzmann: Über die Natur der Gasmoleküle. In: Annalen der Physik. 1877, Bd. 236, S. 175–176.