Die stetige Gleichverteilung auch Rechteckverteilung kontinuierliche Gleichverteilung oder Uniformverteilung genannt ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Sie hat auf einem Intervall a b displaystyle a b eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte Dies ist gleichbedeutend damit dass alle Teilintervalle gleicher Lange dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen Dichtefunktion der Gleichverteilung fur a 4 b 8 displaystyle a 4 b 8 blau a 1 b 18 displaystyle a 1 b 18 grun und a 1 b 11 displaystyle a 1 b 11 rot Die Moglichkeit die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Wahrscheinlichkeiten 2 2 Erwartungswert und Median 2 3 Varianz 2 4 Standardabweichung und weitere Streumasse 2 5 Variationskoeffizient 2 6 Symmetrie 2 7 Schiefe 2 8 Wolbung und Exzess 2 9 Momente 2 10 Summe gleichverteilter Zufallsvariablen 2 11 Charakteristische Funktion 2 12 Momenterzeugende Funktion 3 Beziehung zu anderen Verteilungen 3 1 Beziehung zur Dreiecksverteilung 3 2 Beziehung zur Betaverteilung 3 3 Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung 3 4 Verallgemeinerung auf hohere Dimensionen 3 5 Diskreter Fall 4 Beispiel fur das Intervall 0 1 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenEine stetige Zufallsvariable X displaystyle X nbsp bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall a b displaystyle a b nbsp wenn Dichtefunktion f x displaystyle f x nbsp und Verteilungsfunktion F x displaystyle F x nbsp gegeben sind als f x 1 b a a x b 0 sonst 1 12 s 2 rect x m 12 s 2 displaystyle f x begin cases frac 1 b a amp a leq x leq b 0 amp text sonst end cases frac 1 sqrt 12 sigma 2 cdot text rect left frac x mu sqrt 12 sigma 2 right nbsp nbsp F x 0 x a x a b a a lt x lt b 1 x b displaystyle F x begin cases 0 amp x leq a frac x a b a amp a lt x lt b 1 amp x geq b end cases nbsp nbsp Als abkurzende Schreibweise fur die stetige Gleichverteilung wird haufig U a b displaystyle mathcal U a b nbsp oder S G a b displaystyle mathcal SG a b nbsp verwendet In einigen Formeln sieht man auch Gleich a b displaystyle text Gleich a b nbsp oder uniform a b displaystyle text uniform a b nbsp als Bezeichnung fur die Verteilung Die stetige Gleichverteilung ist durch ihre ersten beiden zentralen Momente komplett beschrieben d h alle hoheren Momente sind aus Erwartungswert und Varianz berechenbar Eigenschaften BearbeitenWahrscheinlichkeiten Bearbeiten Die Wahrscheinlichkeit dass eine auf a b displaystyle a b nbsp gleichverteilte Zufallsvariable X displaystyle X nbsp in einem Teilintervall c d a b displaystyle c d subseteq a b nbsp liegt ist gleich dem Verhaltnis der Intervalllangen P c X d F d F c d c b a displaystyle P c leq X leq d F d F c frac d c b a nbsp Erwartungswert und Median Bearbeiten Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls a b displaystyle a b nbsp E X x f x d x 1 b a a b x 1 d x 1 2 b 2 a 2 b a a b 2 displaystyle operatorname E X int limits infty infty xf x dx frac 1 b a int limits a b x cdot 1 dx frac 1 2 frac b 2 a 2 b a frac a b 2 nbsp Median X F 1 1 2 a b 2 displaystyle operatorname Median X F 1 tfrac 1 2 frac a b 2 nbsp Varianz Bearbeiten Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist Var X E X 2 E X 2 1 b a a b x 2 1 d x a b 2 2 1 3 b 3 a 3 b a a b 2 2 1 12 4 b 2 4 a b 4 a 2 3 a 2 6 a b 3 b 2 1 12 b a 2 displaystyle begin aligned operatorname Var X amp operatorname E X 2 left operatorname E X right 2 frac 1 b a int limits a b x 2 cdot 1 dx left frac a b 2 right 2 frac 1 3 frac b 3 a 3 b a left frac a b 2 right 2 amp frac 1 12 left 4b 2 4ab 4a 2 3a 2 6ab 3b 2 right frac 1 12 b a 2 end aligned nbsp Standardabweichung und weitere Streumasse Bearbeiten Aus der Varianz erhalt man die Standardabweichung s X b a 2 12 b a 2 3 0 289 b a displaystyle sigma X sqrt frac b a 2 12 frac b a 2 sqrt 3 approx 0 289 b a nbsp Die mittlere absolute Abweichung betragt b a 4 displaystyle b a 4 nbsp und der Interquartilsabstand b a 2 displaystyle b a 2 nbsp ist genau doppelt so gross Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft Variationskoeffizient Bearbeiten Fur den Variationskoeffizienten ergibt sich VarK X 1 3 b a a b displaystyle operatorname VarK X frac 1 sqrt 3 frac b a a b nbsp Symmetrie Bearbeiten Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um a b 2 displaystyle frac a b 2 nbsp Schiefe Bearbeiten Die Schiefe lasst sich darstellen als v X 0 displaystyle operatorname v X 0 nbsp Wolbung und Exzess Bearbeiten Die Wolbung b 2 displaystyle beta 2 nbsp und der Exzess g 2 b 2 3 displaystyle gamma 2 beta 2 3 nbsp lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als b 2 9 5 1 8 displaystyle beta 2 tfrac 9 5 1 8 nbsp bzw g 2 6 5 1 2 displaystyle gamma 2 tfrac 6 5 1 2 nbsp Momente Bearbeiten k displaystyle k nbsp tes Moment m k 1 k 1 i 0 k a i b k i 1 k 1 i 0 k m 3 s 2 i m 3 s 2 k i displaystyle m k frac 1 k 1 sum i 0 k a i b k i frac 1 k 1 sum i 0 k left mu sqrt 3 sigma 2 right i left mu sqrt 3 sigma 2 right k i nbsp k displaystyle k nbsp tes zentrales Moment m k b a k 2 k k 1 k gerade 0 k ungerade 3 k s k k 1 k gerade 0 k ungerade displaystyle mu k begin cases frac b a k 2 k k 1 amp text k gerade 0 amp text k ungerade end cases begin cases frac sqrt 3 k sigma k k 1 amp text k gerade 0 amp text k ungerade end cases nbsp Summe gleichverteilter Zufallsvariablen Bearbeiten nbsp Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U 0 1 Die Summe zweier unabhangiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt falls die Breite der beiden Trager identisch ist Unterscheiden sich die Tragerbreiten so ergibt sich eine trapezformige Verteilung Genauer Zwei Zufallsvariablen seien unabhangig und stetig gleichverteilt die eine auf dem Intervall a b displaystyle a b nbsp die andere auf dem Intervall c d displaystyle c d nbsp Sei a min d c b a displaystyle alpha min d c b a nbsp und b max d c b a displaystyle beta max d c b a nbsp Dann hat ihre Summe die folgende Trapezverteilung f R R x 0 x a c b d x a b a c a b x a c a c a 1 b x a c a a c b b d a b x a b x a c b b d displaystyle f colon mathbb R to mathbb R x longmapsto begin cases 0 amp x not in a c b d frac x alpha beta frac a c alpha beta amp x in a c a c alpha frac 1 beta amp x in a c alpha a c beta frac b d alpha beta frac x alpha beta amp x in a c beta b d end cases nbsp Die Summe von unabhangigen gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall 0 1 ist eine Irwin Hall Verteilung sie nahert sich der Normalverteilung an Zentraler Grenzwertsatz Eine zuweilen verwendete Methode Zwolferregel zur approximativen Erzeugung standard normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so man summiert 12 unabhangige auf dem Intervall 0 1 gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 das liefert die richtigen Momente da die Varianz einer U 0 1 verteilten Zufallsvariablen 1 12 ist und sie den Erwartungswert 1 2 besitzt Charakteristische Funktion Bearbeiten Die charakteristische Funktion hat die Form ϕ X t 1 b a i t e i t b e i t a exp i b a 2 t sin b a 2 t b a 2 t displaystyle phi X t frac 1 b a it left e itb e ita right exp left i frac b a 2 t right frac sin left frac b a 2 t right frac b a 2 t nbsp wobei i displaystyle i nbsp die imaginare Einheit darstellt Momenterzeugende Funktion Bearbeiten Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist m X s e b s e a s b a s s 0 1 s 0 displaystyle m X s begin cases frac displaystyle e bs e as displaystyle b a s amp s neq 0 1 amp s 0 end cases nbsp und speziell fur a 0 displaystyle a 0 nbsp und b 1 displaystyle b 1 nbsp m X s 1 s e s 1 displaystyle m X s frac 1 s e s 1 nbsp Beziehung zu anderen Verteilungen BearbeitenBeziehung zur Dreiecksverteilung Bearbeiten Die Summe von zwei unabhangigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung Beziehung zur Betaverteilung Bearbeiten Sind X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsc X n nbsp unabhangige auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp stetig gleichverteilte Zufallsvariable dann haben die Ordnungsstatistiken X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dotsc X n nbsp eine Betaverteilung Genauer gilt X k B k n k 1 displaystyle X k sim B k n k 1 nbsp fur k 1 n displaystyle k 1 dotsc n nbsp Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung Bearbeiten Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen uberfuhren Wenn X displaystyle X nbsp eine gleichverteilte Zufallsvariable ist dann genugt beispielsweise Y 1 l ln X displaystyle Y tfrac 1 lambda ln X nbsp der Exponentialverteilung mit dem Parameter l displaystyle lambda nbsp Verallgemeinerung auf hohere Dimensionen Bearbeiten Die stetige Gleichverteilung lasst sich vom Intervall a b displaystyle a b nbsp auf beliebige messbare Teilmengen W displaystyle Omega nbsp des R n displaystyle mathbb R n nbsp mit Lebesgue Mass 0 lt l n W lt displaystyle 0 lt lambda n Omega lt infty nbsp verallgemeinern Man setzt dann U W A A 1 l n W d x l n A l n W displaystyle mathcal U Omega A int A frac 1 lambda n Omega dx frac lambda n A lambda n Omega nbsp fur messbare A W displaystyle A subseteq Omega nbsp Diskreter Fall Bearbeiten Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert dann heisst sie diskrete Gleichverteilung Beispiel fur das Intervall 0 1 BearbeitenHaufig wird a 0 displaystyle a 0 nbsp und b 1 displaystyle b 1 nbsp angenommen also X U 0 1 displaystyle X sim mathcal U 0 1 nbsp betrachtet Dann ist die Dichtefunktion f displaystyle f nbsp auf dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp konstant gleich 1 und fur die Verteilungsfunktion gilt dort F x x displaystyle F x x nbsp Der Erwartungswert betragt dementsprechend E X 1 2 displaystyle E X tfrac 1 2 nbsp die Varianz Var X 1 12 displaystyle operatorname Var X tfrac 1 12 nbsp und die Standardabweichung s X 1 12 1 6 3 0 29 displaystyle sigma X sqrt tfrac 1 12 tfrac 1 6 sqrt 3 approx 0 29 nbsp wobei die letztgenannten beiden Werte auch fur beliebige Intervalle a a 1 displaystyle a a 1 nbsp der Lange 1 gelten Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen Ist X displaystyle X nbsp eine U 0 1 displaystyle mathcal U 0 1 nbsp verteilte Zufallsvariable dann ist Y b a X a displaystyle Y b a X a nbsp U a b displaystyle mathcal U a b nbsp verteilt Siehe auch BearbeitenDiskrete GleichverteilungLiteratur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 S 155 156 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Diskrete univariate Verteilungen Diskrete univariate Verteilungen fur endliche Mengen Benford Bernoulli beta binomial binomial Dirac diskret uniform empirisch hypergeometrisch kategorial negativ hypergeometrisch Rademacher verallgemeinert binomial Zipf Zipf Mandelbrot ZweipunktDiskrete univariate Verteilungen fur unendliche Mengen Boltzmann Conway Maxwell Poisson discrete Phase Type erweitert negativ binomial Gauss Kuzmin gemischt Poisson geometrisch logarithmisch negativ binomial parabolisch fraktal Poisson Skellam verallgemeinert Poisson Yule Simon ZetaKontinuierliche univariate Verteilungen Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall Beta Cantor Kumaraswamy raised Cosine Dreieck Trapez U quadratisch stetig uniform Wigner HalbkreisKontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall Beta prime Bose Einstein Burr Chi Chi Quadrat Coxian Erlang Exponential Extremwert F Fermi Dirac Folded normal Frechet Gamma Gamma Gamma verallgemeinert invers Gauss halblogistisch halbnormal Hartman Watson Hotellings T Quadrat hyper exponentiale hypoexponential invers Chi Quadrat scale invers Chi Quadrat Invers Normal Invers Gamma Kolmogorow Verteilung Levy log normal log logistisch Maxwell Boltzmann Maxwell Speed Nakagami nichtzentriert Chi Quadrat Pareto Phase Type Rayleigh relativistisch Breit Wigner Rice Rosin Rammler shifted Gompertz truncated normal Type 2 Gumbel Weibull Wilks LambdaKontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschranktem Intervall Cauchy Extremwert exponential Power Fishers z Fisher Tippett Gumbel generalized hyperbolic Hyperbolic secant Landau Laplace alpha stabil logistisch normal Gauss normal invers Gauss sch Skew normal Studentsche t Type 1 Gumbel Variance Gamma VoigtMultivariate Verteilungen Diskrete multivariate Verteilungen Dirichlet compound multinomial Ewens gemischt Multinomial multinomial multivariat hypergeometrisch multivariat Poisson negativmultinomial Polya Eggenberger polyhypergeometrischKontinuierliche multivariate Verteilungen Dirichlet GEM generalized Dirichlet multivariat normal multivariat Student normalskaliert invers Gamma Normal Gamma Poisson DirichletMultivariate Matrixverteilungen Invers Wishart Matrix Beta Matrix Gamma Matrix invers Beta Matrix invers Gamma Matrix Normal Matrix Student t Normal invers Wishart Normal Wishart Wishart Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stetige Gleichverteilung amp oldid 234792094
