Die Irwin Hall Verteilung nach Joseph Oscar Irwin 1 und Philip Hall 2 benannt ist die Verteilung der Summe von voneinander unabhangigen im Intervall 0 1 displaystyle 0 1 gleichverteilten Zufallsvariablen Die Dichtefunktion der Irwin Hall Verteilung fur n displaystyle n Summanden ist f n x 1 2 n 1 k 0 n 1 k n k x k n 1 sgn x k displaystyle f n x frac 1 2 n 1 sum k 0 n 1 k binom n k x k n 1 operatorname sgn x k Tabelle der Verteilungsdichten BearbeitenDiese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhangigen Zufallsvariablen die gleichverteilt im Intervall 0 1 sind Sie haben den Namen Irwin Hall Verteilung Die Bilder zeigen wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks in eine Glockenkurve andert selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert Die Verteilung nahert sich immer mehr einer Normalverteilung Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz Verteilungsdichte Bildf 1 x 0 x lt 0 1 0 x 1 0 x gt 1 displaystyle f 1 x begin cases 0 amp x lt 0 1 amp 0 leq x leq 1 0 amp x gt 1 end cases nbsp nbsp f 2 x 0 x lt 0 x 0 x 1 2 x 1 x 2 0 x gt 2 displaystyle f 2 x begin cases 0 amp x lt 0 x amp 0 leq x leq 1 2 x amp 1 leq x leq 2 0 amp x gt 2 end cases nbsp nbsp f 3 x 0 x lt 0 x 2 2 0 x 1 x 2 3 x 3 2 1 x 2 3 x 2 2 2 x 3 0 x gt 3 displaystyle f 3 x begin cases 0 amp x lt 0 frac x 2 2 amp 0 leq x leq 1 x 2 3x frac 3 2 amp 1 leq x leq 2 frac 3 x 2 2 amp 2 leq x leq 3 0 amp x gt 3 end cases nbsp nbsp f 4 x 0 x lt 0 x 3 6 0 x 1 x 3 2 2 x 2 2 x 2 3 1 x 2 x 3 2 4 x 2 10 x 22 3 2 x 3 4 x 3 6 3 x 4 0 x gt 4 displaystyle f 4 x begin cases 0 amp x lt 0 frac x 3 6 amp 0 leq x leq 1 frac x 3 2 2x 2 2x frac 2 3 amp 1 leq x leq 2 frac x 3 2 4x 2 10x frac 22 3 amp 2 leq x leq 3 frac 4 x 3 6 amp 3 leq x leq 4 0 amp x gt 4 end cases nbsp nbsp f 5 x 0 x lt 0 x 4 24 0 x 1 5 20 x 30 x 2 20 x 3 4 x 4 24 1 x 2 155 300 x 210 x 2 60 x 3 6 x 4 24 2 x 3 655 780 x 330 x 2 60 x 3 4 x 4 24 3 x 4 5 x 4 24 4 x 5 0 x gt 5 displaystyle f 5 x begin cases 0 amp x lt 0 frac x 4 24 amp 0 leq x leq 1 frac 5 20x 30x 2 20x 3 4x 4 24 amp 1 leq x leq 2 frac 155 300x 210x 2 60x 3 6x 4 24 amp 2 leq x leq 3 frac 655 780x 330x 2 60x 3 4x 4 24 amp 3 leq x leq 4 frac 5 x 4 24 amp 4 leq x leq 5 0 amp x gt 5 end cases nbsp nbsp f 6 x 0 x lt 0 x 5 120 0 x 1 6 30 x 60 x 2 60 x 3 30 x 4 5 x 5 120 1 x 2 237 585 x 570 x 2 270 x 3 60 x 4 5 x 5 60 2 x 3 2193 3465 x 2130 x 2 630 x 3 90 x 4 5 x 5 60 3 x 4 10974 12270 x 5340 x 2 1140 x 3 120 x 4 5 x 5 120 4 x 5 6 x 5 120 5 x 6 0 x gt 6 displaystyle f 6 x begin cases 0 amp x lt 0 frac x 5 120 amp 0 leq x leq 1 frac 6 30x 60x 2 60x 3 30x 4 5x 5 120 amp 1 leq x leq 2 frac 237 585x 570x 2 270x 3 60x 4 5x 5 60 amp 2 leq x leq 3 frac 2193 3465x 2130x 2 630x 3 90x 4 5x 5 60 amp 3 leq x leq 4 frac 10974 12270x 5340x 2 1140x 3 120x 4 5x 5 120 amp 4 leq x leq 5 frac 6 x 5 120 amp 5 leq x leq 6 0 amp x gt 6 end cases nbsp nbsp Herleitung BearbeitenDie Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist f 1 x 0 wenn x 0 1 wenn x 0 1 0 wenn x gt 1 displaystyle f 1 x begin cases 0 amp text wenn x leq 0 1 amp text wenn x in 0 1 0 amp text wenn x gt 1 text end cases nbsp Es sei f k x 0 wenn x 0 f k 1 x wenn x 0 1 f k j x wenn x j 1 j f k k x wenn x k 1 k 0 wenn x gt k displaystyle f k x begin cases 0 amp text wenn x leq 0 f k 1 x amp text wenn x in 0 1 cdots f k j x amp text wenn x in j 1 j cdots f k k x amp text wenn x in k 1 k 0 amp text wenn x gt k end cases nbsp die Verteilungsdichte der Summe von k displaystyle k nbsp standardgleichverteilten Zufallsvariablen Es bezeichnet also f k j x displaystyle f k j x nbsp die Verteilungsdichte der Summe von k displaystyle k nbsp standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall j 1 j displaystyle j 1 j nbsp Im Folgenden bezeichne Z k displaystyle Z k nbsp eine Zufallsvariable die gemass f k displaystyle f k nbsp verteilt ist Gemass der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmassen ergibt sich Folgendes Fur x j 1 j displaystyle x in j 1 j nbsp ist f k 1 j t f k t x f 1 x d x 0 1 f k t x 1 d x Substitution y t x t 1 t f k y d y t 1 j 1 f k j 1 y d y j 1 t f k j y d y displaystyle begin aligned f k 1 j t amp int infty infty f k t x cdot f 1 x dx amp int 0 1 f k t x cdot 1 dx amp amp text Substitution y t x amp int t 1 t f k y dy amp int t 1 j 1 f k j 1 y dy int j 1 t f k j y dy end aligned nbsp Das heisst der j displaystyle j nbsp te Zweig der Verteilungsdichte f k 1 displaystyle f k 1 nbsp ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von f k displaystyle f k nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Oscar Irwin On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments with Special Reference to Pearson s Type II In Biometrika Band 19 Nr 3 4 1927 S 225 239 doi 10 1093 biomet 19 3 4 225 JSTOR 2331960 Philip Hall The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1 All Such Values Being Equally Probable In Biometrika Band 19 Nr 3 4 1927 S 240 245 doi 10 1093 biomet 19 3 4 240 JSTOR 2331961 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Irwin Hall Verteilung amp oldid 227527058
