Als charakteristische Funktion bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle komplexwertige Funktion die einem endlichen Mass oder spezieller einem Wahrscheinlichkeitsmass auf den reellen Zahlen beziehungsweise der Verteilung einer Zufallsvariable zugeordnet wird Dabei wird das endliche Mass eindeutig durch seine charakteristische Funktion bestimmt und umgekehrt die Zuordnung ist also bijektiv Wesentlicher Nutzen von charakteristischen Funktionen liegt darin dass viele schwerer greifbare Eigenschaften des endlichen Masses sich als Eigenschaft der charakteristischen Funktion wiederfinden und dort als Eigenschaft einer Funktion leichter zuganglich sind So reduziert sich beispielsweise die Faltung von Wahrscheinlichkeitsmassen auf die Multiplikation der entsprechenden charakteristischen Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Elementare Beispiele 3 Eigenschaften als Funktion 3 1 Existenz 3 2 Beschranktheit 3 3 Symmetrie 3 4 Gleichmassige Stetigkeit 3 5 Charakterisierung 3 5 1 Satz von Bochner 4 Weitere Eigenschaften 4 1 Lineare Transformation 4 2 Umkehrbarkeit 4 3 Momenterzeugung 4 4 Faltungsformel fur Dichten 4 5 Charakteristische Funktion von zufalligen Summen 5 Eindeutigkeitssatz 6 Beispiele 7 Allgemeinere Definitionen 7 1 Definition fur mehrdimensionale Zufallsvariablen 7 2 Definition fur nukleare Raume 7 3 Fur zufallige Masse 8 Beziehung zu anderen erzeugenden Funktionen 9 Einzelnachweise 10 Literatur 11 WeblinksDefinition BearbeitenGegeben sei ein endliches Mass m displaystyle mu nbsp auf R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp Dann heisst die komplexwertige Funktion f m R C displaystyle varphi mu colon mathbb R to mathbb C nbsp definiert durch f m t R exp i t x m d x displaystyle varphi mu t int mathbb R exp mathrm i tx mu mathrm d x nbsp die charakteristische Funktion von m displaystyle mu nbsp Ist m P displaystyle mu P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass so folgt die Definition analog Ist speziell eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp mit Verteilung P X displaystyle P X nbsp gegeben so ist die charakteristische Funktion gegeben durch f X t E exp i t X displaystyle varphi X t operatorname mathbb E exp mathrm i tX nbsp mit dem Erwartungswert E displaystyle mathbb E nbsp Damit ergeben sich als wichtige Sonderfalle Besitzt P X displaystyle P X nbsp eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezuglich des Riemann Integrals f X x displaystyle f X x nbsp so ist die charakteristische Funktion gegeben alsf X t f X x exp i t x d x displaystyle varphi X t int infty infty f X x exp mathrm i tx mathrm d x nbsp dd Besitzt P X displaystyle P X nbsp eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p X displaystyle p X nbsp so ist die charakteristische Funktion gegeben alsf X t k 1 exp i t x k p X x k displaystyle varphi X t sum k 1 infty exp mathrm i tx k p X x k nbsp dd In beiden Fallen ist die charakteristische Funktion die stetige bzw diskrete Fourier Transformierte der Dichte bzw Wahrscheinlichkeitsfunktion Als Schatzfunktion der charakteristische Funktion auf einer Stichprobe x 1 x N displaystyle x 1 dots x N nbsp dient die empirische charakteristische Funktion f X t 1 N i 1 N exp i t x i displaystyle hat varphi X t frac 1 N sum i 1 N exp mathrm i tx i nbsp Elementare Beispiele BearbeitenIst X displaystyle X nbsp Poisson verteilt so besitzt P X displaystyle P X nbsp die Wahrscheinlichkeitsfunktion p l k l k k e l fur k N displaystyle p lambda k frac lambda k k mathrm e lambda quad text fur quad k in mathbb N nbsp Mit der oben aufgefuhrten Darstellung fur die charakteristische Funktion mittels Wahrscheinlichkeitsfunktionen ergibt sich dann f X t k 0 exp i t k l k k e l e l k 0 l e i t k k e l e i t 1 displaystyle varphi X t sum k 0 infty exp mathrm i tk frac lambda k k mathrm e lambda mathrm e lambda sum k 0 infty frac left lambda e it right k k mathrm e lambda e it 1 nbsp Ist Y displaystyle Y nbsp exponentialverteilt zum Parameter l displaystyle lambda nbsp so besitzt P Y displaystyle P Y nbsp die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f l x l e l x x 0 0 x lt 0 displaystyle f lambda x begin cases displaystyle lambda mathrm e lambda x amp x geq 0 0 amp x lt 0 end cases nbsp Damit ergibt sich f Y t 0 e i t x l e l x d x l 0 e x i t l d x l l i t displaystyle varphi Y t int 0 infty e mathrm i tx lambda mathrm e lambda x mathrm d x lambda int 0 infty e x mathrm i t lambda mathrm d x frac lambda lambda mathrm i t nbsp Weitere Beispiele fur charakteristische Funktionen sind weiter unten im Artikel tabelliert oder befinden sich direkt im Artikel uber die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eigenschaften als Funktion Bearbeiten nbsp Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariablen die auf 1 1 stetig gleichverteilt ist Im Allgemeinen sind charakteristische Funktionen jedoch nicht reell wertig Existenz Bearbeiten Die charakteristische Funktion existiert fur beliebige endliche Masse und somit auch Wahrscheinlichkeitsmasse bzw Verteilungen von Zufallsvariablen da wegen e i t x 1 displaystyle left e mathrm i tx right 1 nbsp das Integral stets existiert Beschranktheit Bearbeiten Jede charakteristische Funktion ist immer beschrankt es gilt fur eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp dass f X t f X 0 1 displaystyle left varphi X t right leq varphi X 0 1 nbsp Im allgemeinen Fall eines endlichen Masses m displaystyle mu nbsp auf R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp gilt f m t f m 0 m R displaystyle left varphi mu t right leq varphi mu 0 mu mathbb R nbsp Symmetrie Bearbeiten Die charakteristische Funktion f X displaystyle varphi X nbsp ist genau dann reellwertig wenn die Zufallsvariable X displaystyle X nbsp symmetrisch ist Des Weiteren ist f X displaystyle varphi X nbsp stets hermitesch das heisst es gilt f X t f X t displaystyle varphi X t overline varphi X t nbsp Gleichmassige Stetigkeit Bearbeiten f X displaystyle varphi X nbsp ist eine gleichmassig stetige Funktion Charakterisierung Bearbeiten Interessant ist insbesondere wann eine Funktion f R C displaystyle f colon mathbb R to mathbb C nbsp die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmasses ist Eine hinreichende Bedingung liefert der Satz von Polya nach George Polya Ist eine Funktion f R 0 1 displaystyle f colon mathbb R to 0 1 nbsp konvex auf 0 displaystyle 0 infty nbsp sowie stetig und geradeund gilt ausserdem f 0 1 displaystyle f 0 1 nbsp so ist sie die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmasses Eine notwendige und hinreichende Bedingung liefert der Satz von Bochner nach Salomon Bochner Satz von Bochner Bearbeiten Eine stetige Funktion f R n C displaystyle f colon mathbb R n to mathbb C nbsp ist genau dann die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmasses auf R n displaystyle mathbb R n nbsp wenn f displaystyle f nbsp eine positiv semidefinite Funktion ist und f 0 1 displaystyle f 0 1 nbsp gilt Weitere Eigenschaften BearbeitenLineare Transformation Bearbeiten f a X b t e i t b f X a t displaystyle varphi aX b t e mathrm i tb varphi X at nbsp fur alle a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp Umkehrbarkeit Bearbeiten Ist f X displaystyle varphi X nbsp integrierbar dann lasst sich die Wahrscheinlichkeitsdichte von X displaystyle X nbsp rekonstruieren als f X x 1 2 p e i t x f X t d t displaystyle f X x frac 1 2 pi int limits infty infty e mathrm i tx varphi X t mathrm d t nbsp Momenterzeugung Bearbeiten E X k f X k 0 i k displaystyle mathbb E X k frac varphi X k 0 mathrm i k nbsp fur alle naturlichen k N displaystyle k in mathbb N nbsp falls E X k lt displaystyle mathbb E X k lt infty nbsp In dieser Eigenschaft ist die charakteristische Funktion ahnlich zur momenterzeugenden Funktion Insbesondere ergeben sich die Spezialfalle E X f X 0 i displaystyle mathbb E X frac varphi X 0 mathrm i nbsp E X 2 f X 0 displaystyle mathbb E X 2 varphi X 0 nbsp Wenn fur eine naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N nbsp der Erwartungswert E X n displaystyle mathbb E X n nbsp endlich ist dann ist f X displaystyle varphi X nbsp n displaystyle n nbsp mal stetig differenzierbar und in eine Taylor Reihe um 0 displaystyle 0 nbsp entwickelbar f X t k 0 n f X k 0 k t k R n 1 t k 0 n i t k k E X k R n 1 t displaystyle varphi X t sum limits k 0 n frac varphi X k 0 k t k R n 1 t sum limits k 0 n frac mathrm i t k k mathbb E X k R n 1 t nbsp Ein wichtiger Spezialfall ist die Entwicklung einer Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp mit E X 0 displaystyle mathbb E X 0 nbsp und Var X 1 displaystyle operatorname Var X 1 nbsp f X t 1 1 2 t 2 R 3 t mit lim t 0 R 3 t t 2 0 displaystyle varphi X t 1 frac 1 2 t 2 R 3 t quad text mit quad lim limits t rightarrow 0 frac R 3 t t 2 0 nbsp Faltungsformel fur Dichten Bearbeiten Bei unabhangigen Zufallsvariablen X 1 displaystyle X 1 nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp gilt fur die charakteristische Funktion der Summe Y X 1 X 2 displaystyle Y X 1 X 2 nbsp f Y t f X 1 t f X 2 t displaystyle varphi Y t varphi X 1 t varphi X 2 t nbsp denn wegen der Unabhangigkeit gilt f Y t E e i t X 1 X 2 E e i t X 1 e i t X 2 E e i t X 1 E e i t X 2 f X 1 t f X 2 t displaystyle varphi Y t mathbb E left e mathrm i t X 1 X 2 right mathbb E left e mathrm i tX 1 e mathrm i tX 2 right mathbb E left e mathrm i tX 1 right mathbb E left e mathrm i tX 2 right varphi X 1 t varphi X 2 t nbsp Charakteristische Funktion von zufalligen Summen Bearbeiten Sind X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp unabhangig identisch verteilte Zufallsvariablen und N displaystyle N nbsp eine N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp wertige Zufallsvariable die von allen X i displaystyle X i nbsp unabhangig ist so lasst sich die charakteristische Funktion der Zufallsvariable S i 1 N X i displaystyle S sum i 1 N X i nbsp als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion m N t displaystyle m N t nbsp von N displaystyle N nbsp und der charakteristischen Funktion von X 1 displaystyle X 1 nbsp darstellen f S t m N f X 1 t displaystyle varphi S t m N varphi X 1 t nbsp Eindeutigkeitssatz BearbeitenEs gilt der folgende Eindeutigkeitssatz Wenn X displaystyle X nbsp Y displaystyle Y nbsp Zufallsvariablen sind und f X t f Y t displaystyle varphi X t varphi Y t nbsp fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp gilt dann ist X d Y displaystyle X overset d Y nbsp d h X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp haben die gleiche Verteilungsfunktion Folglich kann damit die Faltung einiger Verteilungen leicht bestimmt werden Aus dem Eindeutigkeitssatz lasst sich der Stetigkeitssatz von Levy folgern Wenn X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp eine Folge von Zufallsvariablen ist dann gilt X n d X displaystyle X n stackrel d rightarrow X nbsp Konvergenz in Verteilung genau dann wenn lim n f X n t f X t displaystyle lim limits n rightarrow infty varphi X n t varphi X t nbsp fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp gilt Diese Eigenschaft kann bei zentralen Grenzwertsatzen ausgenutzt werden Beispiele BearbeitenVerteilung Charakteristische Funktion f X t displaystyle varphi X t nbsp Diskrete VerteilungenBinomialverteilung X Bin n p displaystyle X sim operatorname Bin n p nbsp f X t p e i t 1 p n displaystyle varphi X t left pe mathrm i t 1 p right n nbsp Poisson Verteilung X Poi l displaystyle X sim operatorname Poi lambda nbsp f X t e l e i t 1 displaystyle varphi X t e lambda left e mathrm i t 1 right nbsp Negative Binomialverteilung X NegBin r p displaystyle X sim operatorname NegBin r p nbsp f X t 1 p e i t 1 p r displaystyle varphi X t left frac 1 pe mathrm i t 1 p right r nbsp Absolutstetige VerteilungenX N 0 1 displaystyle X sim N 0 1 nbsp standardnormalverteilt f X t e t 2 2 displaystyle varphi X t e frac t 2 2 nbsp X N m s 2 displaystyle X sim N mu sigma 2 nbsp normalverteilt f X t e i t m 1 2 s 2 t 2 displaystyle varphi X t e mathrm i t mu frac 1 2 sigma 2 t 2 nbsp X U a b displaystyle X sim U a b nbsp gleichverteilt f X t e i b t e i a t i b a t displaystyle varphi X t frac e mathrm i bt e mathrm i at mathrm i b a t nbsp X C 0 1 displaystyle X sim C 0 1 nbsp Standard Cauchy verteilt f X t e t displaystyle varphi X t e t nbsp X G p b displaystyle X sim G p b nbsp gammaverteilt f X t b b i t p displaystyle varphi X t left frac b b mathrm i t right p nbsp Allgemeinere Definitionen BearbeitenDefinition fur mehrdimensionale Zufallsvariablen Bearbeiten Die charakteristische Funktion lasst sich auf ℓ displaystyle ell nbsp dimensionale reelle Zufallsvektoren X X 1 X ℓ displaystyle mathbf X X 1 dotsc X ell nbsp wie folgt erweitern f X t f X t 1 t l E e i t X E j 1 ℓ e i t j X j displaystyle varphi mathbf X t varphi mathbf X t 1 dots t l mathbb E e i langle t mathbf X rangle mathbb E left prod j 1 ell e it j X j right nbsp wobei t X j 1 ℓ t j X j displaystyle langle t mathbf X rangle sum limits j 1 ell t j X j nbsp das Standardskalarprodukt bezeichnet Definition fur nukleare Raume Bearbeiten Auch fur nukleare Raume existiert der Begriff der charakteristischen Funktion Die Funktion f N C displaystyle varphi N rightarrow mathbb C nbsp definiert auf dem nuklearen Raum N displaystyle N nbsp heisst charakteristische Funktion wenn folgende Eigenschaften gelten f displaystyle varphi nbsp ist stetig f displaystyle varphi nbsp ist positiv definit d h fur jede Wahl a 1 a n C 3 1 3 n N displaystyle alpha 1 ldots alpha n in mathbb C xi 1 ldots xi n in N nbsp ist j k 1 n a j a k f 3 j 3 k 0 displaystyle sum j k 1 n alpha j overline alpha k varphi xi j xi k geq 0 nbsp f displaystyle varphi nbsp ist normiert d h f 0 1 displaystyle varphi 0 1 nbsp In diesem Fall besagt der Satz von Bochner Minlos dass f displaystyle varphi nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf dem topologischen Dualraum N displaystyle N prime nbsp induziert Fur zufallige Masse Bearbeiten Die charakteristische Funktion lasst sich auch fur zufallige Masse definieren Sie ist dann jedoch ein Funktional ihre Argumente sind also Funktionen Ist X displaystyle X nbsp ein zufalliges Mass so ist die charakteristische Funktion gegeben als f X f E exp i f d X displaystyle varphi X f mathbb E left exp left i int f mathrm d X right right nbsp fur alle beschrankten messbaren reellwertigen Funktionen f displaystyle f nbsp mit kompaktem Trager Das zufallige Mass ist durch die Werte der charakteristischen Funktion an allen positiven stetigen Funktionen mit kompaktem Trager eindeutig bestimmt 1 Beziehung zu anderen erzeugenden Funktionen BearbeitenAusser den charakteristischen Funktionen spielen noch die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen und die momenterzeugenden Funktionen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp wertigen Zufallsvariable X displaystyle X nbsp ist definiert als m X t E t X displaystyle m X t mathbb E t X nbsp Demnach gilt der Zusammenhang m X e i t f X t displaystyle m X e it varphi X t nbsp Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als M X t E e t X displaystyle M X t mathbb E e tX nbsp Demnach gilt der Zusammenhang M i X t M X i t f X t displaystyle M iX t M X it varphi X t nbsp wenn die momenterzeugende Funktion existiert Im Gegensatz zur charakteristischen Funktion ist dies nicht immer der Fall Ausserdem gibt es noch die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet Einzelnachweise Bearbeiten Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 553 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Literatur BearbeitenEugene Lukacs Characteristic functions Griffin London 1960 2 erweiterte Auflage 1970 ISBN 0 85264 170 2 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8Weblinks BearbeitenN N Vakhania Characteristic function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Todd Rowland Characteristic Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Charakteristische Funktion Stochastik amp oldid 237201664
