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Zufälliges Maß Ein zufälliges Maß ist in der Maß und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Zufallsvariable deren Werte Maß

Zufälliges Maß

Ein zufälliges Maß ist in der Maß- und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Zufallsvariable, deren Werte Maße sind. Zufällige geometrische Strukturen, wie sie in der stochastischen Geometrie untersucht werden, können durch zufällige Maße modelliert werden. So kann ein Punktprozess, wie beispielsweise ein allgemeiner Poisson-Prozess, als zufälliges Zählmaß angesehen werden, das einer Menge die zufällige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet. In der Statistik treten zufällige Maße beispielsweise als empirische Verteilungen auf. Ebenso lassen sich viele Punktprozesse wie Binomial-Prozesse, Poisson-Prozesse und Cox-Prozesse als zufällige Maße definieren.

Definition Bearbeiten

Es seien der -dimensionale euklidische Raum mit der borelschen σ-Algebra und die Menge aller lokal endlichen Maße (Borel-Maße) auf . Weiter bezeichne die kleinste σ-Algebra auf , so dass alle Abbildungen , wobei eine beschränkte Borelmenge ist, messbar sind. Ein zufälliges Maß auf ist dann eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten im Messraum .

Ein zufälliges Maß ordnet also jedem Zufallsergebnis ein Maß auf zu, das auf beschränkten messbaren Mengen endliche Werte annimmt. Für jede beliebige Borelmenge ist

eine nichtnegative Zufallsvariable, genannt das zufällige Maß der Menge .

Bezeichnet den Erwartungswert von , dann ist durch die Abbildung

ein Maß auf gegeben, das Intensitätsmaß von genannt wird. Wenn wieder lokal-endlich ist, heißt integrierbar.

Beispiel Bearbeiten

Eine zufällige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufälliges Maß modelliert werden: Sind die Positionen von Punkten, aufgefasst als -wertige Zufallsvariable, dann wird durch

ein zufälliges Maß auf definiert. Hierbei bezeichnet das Diracmaß an der Stelle . Für eine Borelmenge ist dann die (zufällige) Anzahl der Punkte, die in der Menge liegen.

Literatur Bearbeiten

  • Olav Kallenberg: Random measures 4th edition, (revised printing of the 3rd edition 1983). Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1986, ISBN 0-12-394960-2.
  • Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications (= Wiley Series in Probability and Statistics). 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8, Kap. 7.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 24.
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Ein zufalliges Mass ist in der Mass und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Zufallsvariable deren Werte Masse sind Zufallige geometrische Strukturen wie sie in der stochastischen Geometrie untersucht werden konnen durch zufallige Masse modelliert werden So kann ein Punktprozess wie beispielsweise ein allgemeiner Poisson Prozess als zufalliges Zahlmass angesehen werden das einer Menge die zufallige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet In der Statistik treten zufallige Masse beispielsweise als empirische Verteilungen auf Ebenso lassen sich viele Punktprozesse wie Binomial Prozesse Poisson Prozesse und Cox Prozesse als zufallige Masse definieren Definition BearbeitenEs seien R d B d displaystyle mathbb R d mathcal B d nbsp der d displaystyle d nbsp dimensionale euklidische Raum mit der borelschen s Algebra und M displaystyle M nbsp die Menge aller lokal endlichen Masse Borel Masse m displaystyle mu nbsp auf R d B d displaystyle mathbb R d mathcal B d nbsp Weiter bezeichne M displaystyle mathcal M nbsp die kleinste s Algebra auf M displaystyle M nbsp so dass alle Abbildungen m m B displaystyle mu mapsto mu B nbsp wobei B displaystyle B nbsp eine beschrankte Borelmenge ist messbar sind Ein zufalliges Mass auf R d displaystyle mathbb R d nbsp ist dann eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp auf einem Wahrscheinlichkeitsraum W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp mit Werten im Messraum M M displaystyle M mathcal M nbsp Ein zufalliges Mass ordnet also jedem Zufallsergebnis w W displaystyle omega in Omega nbsp ein Mass X w displaystyle X omega nbsp auf R d displaystyle mathbb R d nbsp zu das auf beschrankten messbaren Mengen endliche Werte annimmt Fur jede beliebige Borelmenge A B d displaystyle A in mathcal B d nbsp ist X A W 0 w X w A displaystyle X A colon Omega to 0 infty omega mapsto X omega A nbsp eine nichtnegative Zufallsvariable genannt das zufallige Mass der Menge A displaystyle A nbsp Bezeichnet E X A displaystyle operatorname E X A nbsp den Erwartungswert von X A displaystyle X A nbsp dann ist durch die Abbildung E X B d 0 A E X A displaystyle operatorname E X colon mathcal B d to 0 infty A mapsto operatorname E X A nbsp ein Mass auf R d displaystyle mathbb R d nbsp gegeben das Intensitatsmass von X displaystyle X nbsp genannt wird Wenn E X displaystyle operatorname E X nbsp wieder lokal endlich ist heisst X displaystyle X nbsp integrierbar Beispiel BearbeitenEine zufallige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufalliges Mass modelliert werden Sind Z 1 Z 2 Z N displaystyle Z 1 Z 2 dots Z N nbsp die Positionen von N displaystyle N nbsp Punkten aufgefasst als R d displaystyle mathbb R d nbsp wertige Zufallsvariable dann wird durch X d Z 1 d Z 2 d Z N displaystyle X delta Z 1 delta Z 2 ldots delta Z N nbsp ein zufalliges Mass auf R d displaystyle mathbb R d nbsp definiert Hierbei bezeichnet d z displaystyle delta z nbsp das Diracmass an der Stelle z displaystyle z nbsp Fur eine Borelmenge A R d displaystyle A subset mathbb R d nbsp ist dann X A displaystyle X A nbsp die zufallige Anzahl der Punkte die in der Menge A displaystyle A nbsp liegen Literatur BearbeitenOlav Kallenberg Random measures 4th edition revised printing of the 3rd edition 1983 Akademie Verlag u a Berlin u a 1986 ISBN 0 12 394960 2 Dietrich Stoyan Wilfrid S Kendall Joseph Mecke Stochastic Geometry and Its Applications Wiley Series in Probability and Statistics 2 Auflage Wiley Chichester u a 1995 ISBN 0 471 95099 8 Kap 7 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Kap 24 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zufalliges Mass amp oldid 174005485