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Punktprozess Ein ist ein spezieller stochastischer Prozess und somit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie

Punktprozess

Ein Punktprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess und somit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Anschaulich modellieren Punktprozesse die zufällige Verteilung von Punkten, im einfachsten Fall auf den positiven reellen Zahlen, im oder in allgemeineren Mengen. Bekanntestes Beispiel eines Punktprozesses ist der Poisson-Prozess, der auch Poisson-Punkt-Prozess genannt wird.

Definition Bearbeiten

Sei ein messbarer Raum. Ein Punktprozess ist ein Spezialfall eines zufälligen Maßes. Wir betrachten einen Raum , dessen Elemente s-endliche Zählmaße auf dem Raum sind. Dann ist die Zufallsvariable

ein Punktprozess.

Simpler Punktprozess Bearbeiten

Ein Punktprozess wird simple oder einfach genannt, falls jeder Punkt fast sicher distinkt ist.

Moment Maße Bearbeiten

Für einen Punktprozess lassen sich Maße für die Momente und faktoriellen Momente definieren.

n-tes Moment-Maß Bearbeiten

Das -te Moment-Maß für eine nicht-negative messbare Funktion ist definiert durch:

n-tes faktorielles Moment-Maß Bearbeiten

Betrachte des Maß ( bezeichnet das Diracmaß)

dann ist das -te faktorielle Moment-Maß für Borell-Mengen in definiert als

Das heißt für eine nicht-negative messbare Funktion :

Falls das n-te faktorielle Moment-Maß absolut stetig bezüglich eines Referenz-Maßes (üblicherweise das Lebesgue-Maß) ist, so nennt man die Radon-Nikodým Dichte

für alle Borell-Mengen in Korrelationsfunktion (auch multivariate Intensität).

Paar-Korrelationsfunktion Bearbeiten

Sei die Radon-Nikodým-Dichte eines absolut stetigen n-ten faktoriellen Moment-Maß. Dann lässt sich die Paar-Korrelationfunktion oder 2-Punkt Korrelationsfunktion wie folgt bilden

für zwei Punkte .

Definition auf den positiven Zahlen Bearbeiten

Eine Folge von Zufallsvariable heißt ein Punktprozess (auf ), wenn gilt:

  • Es ist
  • Die Folge ist fast sicher streng monoton wachsend, das heißt

Beispiele Bearbeiten

Ein einfaches Beispiel für einen Punktprozess erhält man, wenn man eine unabhängig identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen , die fast sicher echt positive Werte annehmen, betrachtet. Definiert man dann

so ist die Folge der monoton wachsend, somit handelt es sich um einen Punktprozess.

Poisson-Punktprozess Bearbeiten

Hawkes-Prozess Bearbeiten

Ein Hawkes-Prozess ist ein einfacher Punktprozess, der einen Punktprozess modelliert, bei dem das Auftreten eines Ereignisses, einen positiven Einfluss (d. h. erhöhen) auf die Intensität für zukünftige Ereignisse hat.

Die bedingte Intensität folgende Form hat

wobei ein Integralkern ist, der den positiven Einfluss vergangener Ereignisse auf die jetzige Intensität modelliert. Dabei ist entweder der zu erwartende, vorhersagbare, oder deterministische Teil der Intensität. sind Stoppzeiten des i-ten Ereignisses.

Determinantale Punktprozesse Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Campbellsche Formel Bearbeiten

Die Campbellsche Formel beschreibt eine wichtige Eigenschaft eines Punktprozesses zu seiner Intensität . Für alle -integrierbaren Funktionen gilt

Echte Punktprozesse Bearbeiten

Man unterscheidet zwischen echten und unechten Punktprozessen. Ein Punktprozess wird dann echt genannt, wenn ein Zufallsvariable mit Werten in und Zufallsvariablen existieren, so dass fast sicher gilt

Es lässt sich zeigen, dass es für jeden Poisson Punktprozesse einen echten Punktprozess gibt, der die gleiche Verteilung auf demselben Raum besitzt.

Erläuterung Bearbeiten

Ein Punktprozess auf modelliert die zufällige Verteilung von Punkten auf den positiven Zahlen. Dabei besagt der erste Teil der Definition, dass der erste Punkt der Nullpunkt sein soll. Der zweite Teil besagt, dass die Punkte mit einer Ordnung versehen sind, also schon der Größe nach sortiert sind.

Im obigen Beispiel werden die Zufallsvariablen über über ihre Zuwächse definiert. Dabei entsprechen die Verteilungen der Zuwächse, hier im Beispiel , im allgemeinen Fall , der Verteilung des Abstandes der Punkte. So sind beispielsweise beim Poisson-Prozess die Abstände zwischen zwei Punkten exponentialverteilt.

Der zugehörige Zählprozess Bearbeiten

Jedem Punktprozess auf lässt sich durch

ein Zählprozess zuordnen ( bezeichnet hier die charakteristische Funktion auf der Menge ). Anschaulich läuft der Zählprozess von Nullpunkt aus mit gleichbleibender Geschwindigkeit die positiven Zahlen ab und zählt, wie viele Punkt er bis zum Zeitpunkt schon angetroffen hat. Zählprozess und Punktprozess beleuchten hier zwei Aspekte derselben Idee. In ihrer Formalisierung unterscheiden sie sich jedoch deutlich, wie sich schon an ihrer Indexmenge zeigt.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 358, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 278–279, doi:10.1007/b137972.
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Ein Punktprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess und somit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie einem Teilgebiet der Mathematik Anschaulich modellieren Punktprozesse die zufallige Verteilung von Punkten im einfachsten Fall auf den positiven reellen Zahlen im R n displaystyle mathbb R n oder in allgemeineren Mengen Bekanntestes Beispiel eines Punktprozesses ist der Poisson Prozess der auch Poisson Punkt Prozess genannt wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Simpler Punktprozess 2 Moment Masse 2 1 n tes Moment Mass 2 2 n tes faktorielles Moment Mass 2 3 Paar Korrelationsfunktion 3 Definition auf den positiven Zahlen 4 Beispiele 4 1 Poisson Punktprozess 4 2 Hawkes Prozess 4 3 Determinantale Punktprozesse 5 Eigenschaften 5 1 Campbellsche Formel 5 2 Echte Punktprozesse 6 Erlauterung 7 Der zugehorige Zahlprozess 8 Weblinks 9 LiteraturDefinition BearbeitenSei X X displaystyle mathbb X mathcal X nbsp ein messbarer Raum Ein Punktprozess ist ein Spezialfall eines zufalligen Masses Wir betrachten einen Raum M displaystyle mathrm M nbsp dessen Elemente s endliche Zahlmasse auf dem Raum X displaystyle mathbb X nbsp sind Dann ist die Zufallsvariable 3 W F M M displaystyle xi colon Omega mathcal F to mathrm M mathcal M nbsp ein Punktprozess Simpler Punktprozess Bearbeiten Ein Punktprozess wird simple oder einfach genannt falls jeder Punkt fast sicher distinkt ist Moment Masse BearbeitenFur einen Punktprozess 3 displaystyle xi nbsp lassen sich Masse fur die Momente und faktoriellen Momente definieren n tes Moment Mass Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp te Moment Mass M n displaystyle M n nbsp fur eine nicht negative messbare Funktion f R n R displaystyle f mathbb R n to mathbb R nbsp ist definiert durch E x 1 x n 3 f x 1 x n R n f x 1 x n M n d x 1 d x n displaystyle mathbb E left sum x 1 dots x n in xi f x 1 dots x n right int textbf R n f x 1 dots x n M n dx 1 dots dx n nbsp n tes faktorielles Moment Mass Bearbeiten Betrachte des Mass d displaystyle delta nbsp bezeichnet das Diracmass N n x 1 x n 3 d x 1 x n displaystyle N n sum limits x 1 neq cdots neq x n in xi delta x 1 neq cdots neq x n nbsp dann ist das n displaystyle n nbsp te faktorielle Moment Mass M n displaystyle M n nbsp fur Borell Mengen A i displaystyle A i nbsp in z displaystyle zeta nbsp definiert als M n A 1 A n E N n A 1 A n displaystyle M n A 1 times cdots times A n mathbb E N n A 1 times cdots times A n nbsp Das heisst fur eine nicht negative messbare Funktion f R n R displaystyle f mathbb R n to mathbb R nbsp E x 1 x n 3 f x 1 x n R n f x 1 x n M n d x 1 d x n displaystyle mathbb E left sum x 1 neq cdots neq x n in xi f x 1 ldots x n right int textbf R n f x 1 ldots x n M n dx 1 ldots dx n nbsp Falls das n te faktorielle Moment Mass absolut stetig bezuglich eines Referenz Masses l n displaystyle lambda n nbsp ublicherweise das Lebesgue Mass ist so nennt man die Radon Nikodym Dichte M n A 1 A n A 1 A n r n x 1 x n d l x 1 d l x n displaystyle M n A 1 times cdots times A n int A 1 times dots times A n rho n x 1 ldots x n mathrm d lambda x 1 cdots mathrm d lambda x n nbsp fur alle Borell Mengen A i displaystyle A i nbsp in z displaystyle zeta nbsp Korrelationsfunktion auch multivariate Intensitat Paar Korrelationsfunktion Bearbeiten Sei r n displaystyle rho n nbsp die Radon Nikodym Dichte eines absolut stetigen n ten faktoriellen Moment Mass Dann lasst sich die Paar Korrelationfunktion oder 2 Punkt Korrelationsfunktion wie folgt bilden ϑ x 1 x 2 r 2 x 1 x 2 r 1 x 1 r 1 x 2 displaystyle vartheta x 1 x 2 frac rho 2 x 1 x 2 rho 1 x 1 rho 1 x 2 nbsp fur zwei Punkte x 1 x 2 R displaystyle x 1 x 2 in mathbb R nbsp Definition auf den positiven Zahlen BearbeitenEine Folge von Zufallsvariable X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp heisst ein Punktprozess auf R displaystyle mathbb R nbsp wenn gilt Es ist X 0 0 displaystyle X 0 0 nbsp Die Folge ist fast sicher streng monoton wachsend das heisst X 0 lt X 1 lt X 2 lt displaystyle X 0 lt X 1 lt X 2 lt dots nbsp Beispiele BearbeitenEin einfaches Beispiel fur einen Punktprozess erhalt man wenn man eine unabhangig identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen Y k k N displaystyle Y k k in mathbb N nbsp die fast sicher echt positive Werte annehmen betrachtet Definiert man dann X 0 0 displaystyle X 0 0 nbsp und X n i 1 n Y i displaystyle X n sum i 1 n Y i nbsp so ist die Folge der X n displaystyle X n nbsp monoton wachsend somit handelt es sich um einen Punktprozess Poisson Punktprozess Bearbeiten Hauptartikel Poisson Prozess Hawkes Prozess Bearbeiten Ein Hawkes Prozess H t displaystyle H t nbsp ist ein einfacher Punktprozess der einen Punktprozess modelliert bei dem das Auftreten eines Ereignisses einen positiven Einfluss d h erhohen auf die Intensitat fur zukunftige Ereignisse hat Die bedingte Intensitat l t displaystyle lambda t nbsp folgende Form hatl t m t t n t s d H s m t k T k lt t n t T k displaystyle begin array ll lambda t amp mu t int infty t nu t s dH s amp mu t sum limits k T k lt t nu t T k end array nbsp wobei n R R displaystyle nu mathbb R rightarrow mathbb R nbsp ein Integralkern ist der den positiven Einfluss vergangener Ereignisse T i displaystyle T i nbsp auf die jetzige Intensitat l t displaystyle lambda t nbsp modelliert Dabei ist m t displaystyle mu t nbsp entweder der zu erwartende vorhersagbare oder deterministische Teil der Intensitat T i T i lt T i 1 R displaystyle T i T i lt T i 1 in mathbb R nbsp sind Stoppzeiten des i ten Ereignisses Determinantale Punktprozesse Bearbeiten Hauptartikel Determinantal point processEigenschaften BearbeitenCampbellsche Formel Bearbeiten Die Campbellsche Formel beschreibt eine wichtige Eigenschaft eines Punktprozesses 3 displaystyle xi nbsp zu seiner Intensitat g displaystyle gamma nbsp Fur alle g displaystyle gamma nbsp integrierbaren Funktionen f x displaystyle f x nbsp gilt E f x 3 d x f x g d x displaystyle mathbb E left int f x xi mathrm d x right int f x gamma mathrm d x nbsp Echte Punktprozesse Bearbeiten Man unterscheidet zwischen echten und unechten Punktprozessen Ein Punktprozess 3 displaystyle xi nbsp wird dann echt genannt wenn ein Zufallsvariable M displaystyle M nbsp mit Werten in N 0 displaystyle mathbb N 0 cup infty nbsp und Zufallsvariablen X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp existieren so dass fast sicher gilt 3 B n 1 M d X i B B X displaystyle xi B sum limits n 1 M delta X i B quad forall B in mathcal X nbsp Es lasst sich zeigen dass es fur jeden Poisson Punktprozesse einen echten Punktprozess gibt der die gleiche Verteilung auf demselben Raum besitzt Erlauterung BearbeitenEin Punktprozess auf R displaystyle mathbb R nbsp modelliert die zufallige Verteilung von Punkten auf den positiven Zahlen Dabei besagt der erste Teil der Definition dass der erste Punkt der Nullpunkt sein soll Der zweite Teil besagt dass die Punkte mit einer Ordnung versehen sind also schon der Grosse nach sortiert sind Im obigen Beispiel werden die Zufallsvariablen uber X n displaystyle X n nbsp uber ihre Zuwachse definiert Dabei entsprechen die Verteilungen der Zuwachse hier im Beispiel X n 1 X n Y n displaystyle X n 1 X n Y n nbsp im allgemeinen Fall X n 1 X n displaystyle X n 1 X n nbsp der Verteilung des Abstandes der Punkte So sind beispielsweise beim Poisson Prozess die Abstande zwischen zwei Punkten exponentialverteilt Der zugehorige Zahlprozess BearbeitenJedem Punktprozess auf R displaystyle mathbb R nbsp lasst sich durch N t i 1 1 X i t displaystyle N t sum i 1 infty mathbf 1 X i leq t nbsp ein Zahlprozess zuordnen 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp bezeichnet hier die charakteristische Funktion auf der Menge A displaystyle A nbsp Anschaulich lauft der Zahlprozess von Nullpunkt aus mit gleichbleibender Geschwindigkeit die positiven Zahlen ab und zahlt wie viele Punkt er bis zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp schon angetroffen hat Zahlprozess und Punktprozess beleuchten hier zwei Aspekte derselben Idee In ihrer Formalisierung unterscheiden sie sich jedoch deutlich wie sich schon an ihrer Indexmenge zeigt Weblinks BearbeitenYu K Belyaev Stochastic point process In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Stover Christopher Point Process In MathWorld englisch Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 358 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 S 278 279 doi 10 1007 b137972 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Punktprozess amp oldid 227649472