Determinantal point process Ein determinantal point process deutsch determinantaler Punktprozess oder kurz DPP ist ein P

Determinantal point process

Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen -Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning und der Physik an.

In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften und man erhält in vielen Situation den gleichen Prozess, unabhängig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen zu diesem Phänomen sind noch nicht geklärt und Bestandteil moderner mathematischer Forschung.

Definition Bearbeiten

Sei ein lokalkompakter polnischer Raum und ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators .

Ein simpler Punktprozess ist ein determinantal point process, falls seine -Punkt-Korrelationsfunktion existiert und für jedes gilt

Erläuterungen Bearbeiten

Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch positiv sein.

Seien disjunkt, dann gilt

Pfaffian point processes Bearbeiten

Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren -Punkt-Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind:

wobei ein antisymmetrischer Kernel ist:

und .

Beispiele Bearbeiten

Beispiele aus der statistischen Mechanik Bearbeiten

Der Fermion process und der Boson process.

Theorie der Zufallsmatrizen Bearbeiten

Die empirischen Spektralmaße von einer großen Klasse von unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) zu determinantal point processes mit folgenden Kernen:

wobei die Airy-Funktion bezeichnet.

Universalität Bearbeiten

Die , und -Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.

Literatur Bearbeiten

Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.

Einzelnachweise Bearbeiten

Alex Kulesza, Ben Taskar: Determinantal Point Processes for Machine Learning. Now Publisher Inc, 2012, ISBN 978-1-60198-628-3 (englisch).

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 03:13 am

Ein determinantal point process deutsch determinantaler Punktprozess oder kurz DPP ist ein Punktprozess dessen n displaystyle n Punkt Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen in der Kombinatorik sowie im Machine Learning 1 und der Physik an In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche sogenannte universelle Eigenschaften und man erhalt in vielen Situation den gleichen Prozess unabhangig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung Viele Fragen zu diesem Phanomen sind noch nicht geklart und Bestandteil moderner mathematischer Forschung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Erlauterungen 2 Pfaffian point processes 3 Beispiele 3 1 Beispiele aus der statistischen Mechanik 3 2 Theorie der Zufallsmatrizen 4 Universalitat 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei Z displaystyle mathrm Z nbsp ein lokalkompakter polnischer Raum und K x y displaystyle K x y nbsp ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators K L 2 Z m L 2 Z m displaystyle K L 2 mathrm Z mu to L 2 mathrm Z mu nbsp Ein simpler Punktprozess z displaystyle zeta nbsp ist ein determinantal point process falls seine n displaystyle n nbsp Punkt Korrelationsfunktion r n displaystyle rho n nbsp existiert und fur jedes n 1 displaystyle n geq 1 nbsp gilt r n d x 1 d x n det K x i x j 1 i j n 1 i n m d x i displaystyle rho n mathrm d x 1 dots mathrm d x n operatorname det K x i x j 1 leq i j leq n prod limits 1 leq i leq n mu mathrm d x i nbsp Erlauterungen Bearbeiten Da Korrelationsfunktionen positiv sind muss zwingend auch K x y displaystyle K x y nbsp positiv sein Seien M 1 M n Z displaystyle M 1 dots M n subset mathrm Z nbsp disjunkt dann gilt E z M 1 z M n M 1 M n det K x i x j 1 i j n m d x 1 m d x n displaystyle mathbb E zeta M 1 cdots zeta M n int M 1 times cdots times M n operatorname det K x i x j 1 leq i j leq n mu mathrm d x 1 cdots mu mathrm d x n nbsp Pfaffian point processes BearbeitenVerallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes deren n displaystyle n nbsp Punkt Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind r n d x 1 d x n Pf K x i x j 1 i j n 1 i n m d x i displaystyle rho n mathrm d x 1 dots mathrm d x n operatorname Pf K x i x j 1 leq i j leq n prod limits 1 leq i leq n mu mathrm d x i nbsp wobei K x y displaystyle K x y nbsp ein 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp antisymmetrischer Kernel ist K x y K 11 x y K 12 x y K 21 x y K 22 x y displaystyle K x y begin pmatrix K 11 x y amp K 12 x y K 21 x y amp K 22 x y end pmatrix nbsp und K x y t K y x displaystyle K x y t K y x nbsp Beispiele BearbeitenBeispiele aus der statistischen Mechanik Bearbeiten Der Fermion process und der Boson process Theorie der Zufallsmatrizen Bearbeiten Die empirischen Spektralmasse von einer grossen Klasse von unitaren Matrizen konvergieren unter entsprechender Skalierung zu determinantal point processes mit folgenden Kernen Sine2 Prozess K S i n e x y sin p x y p x y displaystyle operatorname K Sine x y frac sin pi x y pi x y nbsp Airy2 Prozess Hauptartikel Airy Prozess K A i r y x y Ai x Ai y Ai x Ai y x y displaystyle operatorname K Airy x y frac operatorname Ai x operatorname Ai y operatorname Ai x operatorname Ai y x y nbsp wobei Ai displaystyle operatorname Ai nbsp die Airy Funktion bezeichnet Universalitat BearbeitenDie Sine b displaystyle operatorname Sine beta nbsp Airy b displaystyle operatorname Airy beta nbsp und Bessel b displaystyle operatorname Bessel beta nbsp Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer grossen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen Literatur BearbeitenGreg W Anderson Alice Guionnet Ofer Zeitouni An Introduction to Random Matrices Cambridge University Press 2009 Einzelnachweise Bearbeiten Alex Kulesza Ben Taskar Determinantal Point Processes for Machine Learning Now Publisher Inc 2012 ISBN 978 1 60198 628 3 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Determinantal point process amp oldid 234045844