Die Stochastische Geometrie beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von zufälligen geometrischen Strukturen, wie Punkten oder Liniensegmenten oder komplizierteren Mengen im Raum oder der Ebene. Wichtige Grundlagen sind zufällige Mengen, insbesondere zufällige abgeschlossene Mengen, Punktprozesse und zufällige Maße.
Eine wichtige Anwendung liegt in der stereologischen Gewinnung von Aussagen über räumliche Strukturen durch die statistische Analyse von linearen und ebenen Schnitten.
Verschiedene Modelle der statistischen Mechanik (insbesondere werden hier Gittermodelle in zwei Dimensionen betrachtet) wie die Perkolationstheorie ergeben ebenfalls zufällige geometrische Strukturen, die mathematisch streng mit der Methode der Schramm-Löwner-Evolution behandelt werden können.
Punktprozesse Bearbeiten
Zufällige abgeschlossene Menge Bearbeiten
Boolesches Modell Bearbeiten
Boolesche Modelle sind einfache Beispiele für zufällige geschlossene Mengen. Es handelt sich dabei um ein Keim-Korn-Modell.
Sei ein homogener Poisson-Punktprozess auf mit Intensität . Sei eine zufällige kompakte Menge genannt typisches Korn, die unabhängig von ist und es gelte für alle kompakten Mengen
wobei und das -dimensionale Lebesguemaß bezeichnet.
Sei eine Folge von iid zufälligen kompakten Mengen auf genannt Körner, welche die gleiche Verteilung wie haben und unabhängig von und sind. Das boolesche Modell ist definiert als
wobei Keime genannt werden.
Keim-Korn-Modell Bearbeiten
Betrachtet man ein boolesches Modell und ersetzt den Poisson-Punktprozess durch einen allgemeinen Punktprozess, dann spricht man von einem Keim-Korn-Modell. Man betrachtet dabei einen markierten Punktprozess mit und kompakten Mengen , die Terminologie ist analog wie im booleschen Modell.
Literatur Bearbeiten
- Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8 (Wiley series in probability and statistics).
- O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall und M. N. M. van Lieshout (Hrsg.): Stochastic Geometry. Likelihood and Computation. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 1998, ISBN 0-8493-0396-6 (Monographs on statistics and applied probability 80).
Einzelnachweis Bearbeiten
- Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. Hrsg.: John Wiley & Sons Ltd. ISBN 0-471-95099-8.