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Binomial Prozess Als e bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozess

Binomial-Prozess

Als Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Binomial-Prozesse sind den Poisson-Prozessen ähnlich, jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson-verteilt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine ganze Zahl und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Messraum sowie unabhängig, identisch und gemäß verteilte Zufallsvariablen . Es gilt also für alle . Des Weiteren bezeichne das Dirac-Maß auf dem Punkt , also

für .

Dann heißt das durch

definierte zufällige Maß auf ein Binomial-Prozess.

Bemerkung Bearbeiten

Für jede messbare Menge gilt per Definition

Hierbei bezeichnet die Mächtigkeit der Menge , also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der Zufallsvariablen Werte in der Menge annehmen. Somit ist für jede messbare Menge die Zufallsvariable immer binomialverteilt mit Parametern und , es gilt also

Eigenschaften Bearbeiten

Zugehöriger Sprungprozess Bearbeiten

Im reellen Fall, also für ist der zum Punktprozess gehörende Sprungprozess gegeben durch

Er gibt an, wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich annehmen.

Laplace-Transformierte Bearbeiten

Die Laplace-Transformation eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

für alle messbaren positiven Funktionen .

Intensitätsmaß Bearbeiten

Das Intensitätsmaß eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen durch eine Zufallsvariable ersetzt.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Binomial Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie Binomial Prozesse sind den Poisson Prozessen ahnlich jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson verteilt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Eigenschaften 3 1 Zugehoriger Sprungprozess 3 2 Laplace Transformierte 3 3 Intensitatsmass 4 Verallgemeinerungen 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine ganze Zahl n displaystyle n nbsp und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P displaystyle P nbsp auf einem Messraum X B displaystyle X mathcal B nbsp sowie n displaystyle n nbsp unabhangig identisch und gemass P displaystyle P nbsp verteilte Zufallsvariablen X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n nbsp Es gilt also X i P displaystyle X i sim P nbsp fur alle i displaystyle i nbsp Des Weiteren bezeichne d x displaystyle delta x nbsp das Dirac Mass auf dem Punkt x displaystyle x nbsp also d x A 1 falls x A 0 sonst displaystyle delta x A begin cases 1 amp text falls x in A 0 amp text sonst end cases nbsp fur A B displaystyle A in mathcal B nbsp Dann heisst das durch z i 1 n d X i displaystyle zeta sum i 1 n delta X i nbsp definierte zufallige Mass z displaystyle zeta nbsp auf X B displaystyle X mathcal B nbsp ein Binomial Prozess Bemerkung BearbeitenFur jede messbare Menge A displaystyle A nbsp gilt per Definition z A i X i A displaystyle zeta A i mid X i in A nbsp Hierbei bezeichnet M displaystyle M nbsp die Machtigkeit der Menge M displaystyle M nbsp also die Anzahl ihrer Elemente Der Prozess zahlt somit wie viele der n displaystyle n nbsp Zufallsvariablen Werte in der Menge A displaystyle A nbsp annehmen Somit ist fur jede messbare Menge A displaystyle A nbsp die Zufallsvariable z A displaystyle zeta A nbsp immer binomialverteilt mit Parametern n displaystyle n nbsp und P A displaystyle P A nbsp es gilt also z A Bin n P A displaystyle zeta A sim operatorname Bin n P A nbsp Eigenschaften BearbeitenZugehoriger Sprungprozess Bearbeiten Im reellen Fall also fur X B R B R displaystyle X mathcal B mathbb R mathcal B mathbb R nbsp ist der zum Punktprozess gehorende Sprungprozess gegeben durch X t z t i X i t displaystyle X t zeta infty t i mid X i leq t nbsp Er gibt an wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich t displaystyle t nbsp annehmen Laplace Transformierte Bearbeiten Die Laplace Transformation eines Binomial Prozesses ist gegeben durch L P n f exp f x P d x n displaystyle mathcal L P n f left int exp f x mathrm P dx right n nbsp fur alle messbaren positiven Funktionen f displaystyle f nbsp Intensitatsmass Bearbeiten Das Intensitatsmass E z displaystyle operatorname E zeta nbsp eines Binomial Prozesses z displaystyle zeta nbsp ist gegeben durch E z n P displaystyle operatorname E zeta nP nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine Verallgemeinerung der Binomial Prozesse sind gemischte Binomial Prozesse Dabei wird die bei Binomial Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen n displaystyle n nbsp durch eine Zufallsvariable ersetzt Literatur BearbeitenOlav Kallenberg Random Measures Theory and Applications Springer Switzerland 2017 doi 10 1007 978 3 319 41598 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Binomial Prozess amp oldid 192820869