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Stetigkeitssatz von Lévy Der teils auch nur kurz Stetigkeitssatz 1 genannt ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Wahrs

Stetigkeitssatz von Lévy

Der Stetigkeitssatz von Lévy, teils auch nur kurz Stetigkeitssatz genannt, ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er stellt eine Verbindung zwischen der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und der punktweisen Konvergenz der entsprechenden charakteristischen Funktionen her. Anwendung findet der Satz beispielsweise als Hilfsmittel bei dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes. Er ist nach Paul Lévy benannt.

Vorbemerkung Bearbeiten

Der Stetigkeitssatz existiert in mehreren Varianten:

  • Teils wird er nur für Wahrscheinlichkeitsmaße in formuliert, teils für Wahrscheinlichkeitsmaße in .
  • Teils wird der schwache Grenzwert der Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen und die entsprechende charakteristischen Funktionen als existent vorausgesetzt. Diese Formulierungen werden in diesem Artikel als spezielle Formulierung bezeichnet. Die allgemeinen Formulierungen zeigen dann die Existenz eines Grenzwertes und der charakteristischen Funktion.

Eindimensionaler Fall Bearbeiten

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße auf und die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall Bearbeiten

Es ist äquivalent:

Allgemeiner Fall Bearbeiten

Es ist äquivalent:

  • Die Folge konvergiert schwach
  • Die Folge konvergiert punktweise gegen eine in 0 stetige Funktion

Dann ist die Funktion die charakteristische Funktion des schwachen Grenzwertes von . Das heißt, es gilt

und .

Höherdimensionaler Fall Bearbeiten

Gegeben seien Wahrscheinlichkeitsmaße auf und die entsprechenden charakteristischen Funktionen.

Spezieller Fall Bearbeiten

Analog zum eindimensionalen Fall ist äquivalent:

  • Die Folge konvergiert schwach gegen
  • Die Folge konvergiert punktweise gegen .

Allgemeiner Fall Bearbeiten

Eine Funktion

heißt partiell stetig in , wenn für alle die Funktionen

stetig in sind.

Der Stetigkeitssatz lautet nun:

  • Konvergieren die punktweise gegen eine in 0 partiell stetige Funktion , so ist diese Funktion die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes und es gilt
  • Konvergiert umgekehrt schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß , so konvergieren die charakteristischen Funktionen auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen .

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 404.
  2. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 404.
  3. Kusolitsch: Maß und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 306.
  4. Meintrup Schäffler: Stochastik. 2005, S. 184.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie 2013, S. 316.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Stetigkeitssatz von Levy teils auch nur kurz Stetigkeitssatz 1 genannt ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Er stellt eine Verbindung zwischen der schwachen Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmassen und der punktweisen Konvergenz der entsprechenden charakteristischen Funktionen her Anwendung findet der Satz beispielsweise als Hilfsmittel bei dem Beweis des zentralen Grenzwertsatzes Er ist nach Paul Levy benannt Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkung 2 Eindimensionaler Fall 2 1 Spezieller Fall 2 2 Allgemeiner Fall 3 Hoherdimensionaler Fall 3 1 Spezieller Fall 3 2 Allgemeiner Fall 4 Literatur 5 EinzelnachweiseVorbemerkung BearbeitenDer Stetigkeitssatz existiert in mehreren Varianten Teils wird er nur fur Wahrscheinlichkeitsmasse in R displaystyle mathbb R nbsp formuliert teils fur Wahrscheinlichkeitsmasse in R d displaystyle mathbb R d nbsp Teils wird der schwache Grenzwert der Folge von Wahrscheinlichkeitsmassen und die entsprechende charakteristischen Funktionen als existent vorausgesetzt Diese Formulierungen werden in diesem Artikel als spezielle Formulierung bezeichnet Die allgemeinen Formulierungen zeigen dann die Existenz eines Grenzwertes und der charakteristischen Funktion Eindimensionaler Fall BearbeitenGegeben seien Wahrscheinlichkeitsmasse P P 1 P 2 P 3 displaystyle P P 1 P 2 P 3 dots nbsp auf R B R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R nbsp und F F 1 F 2 F 3 displaystyle Phi Phi 1 Phi 2 Phi 3 dots nbsp die entsprechenden charakteristischen Funktionen Spezieller Fall Bearbeiten Es ist aquivalent 2 Die Folge P n n N displaystyle P n n in mathbb N nbsp konvergiert schwach gegen P displaystyle P nbsp Die Folge F n n N displaystyle Phi n n in mathbb N nbsp konvergiert punktweise gegen F displaystyle Phi nbsp Allgemeiner Fall Bearbeiten Es ist aquivalent 3 Die Folge P n n N displaystyle P n n in mathbb N nbsp konvergiert schwach Die Folge F n n N displaystyle Phi n n in mathbb N nbsp konvergiert punktweise gegen eine in 0 stetige Funktion f displaystyle f nbsp Dann ist die Funktion f displaystyle f nbsp die charakteristische Funktion des schwachen Grenzwertes von P n n N displaystyle P n n in mathbb N nbsp Das heisst es gilt w lim n P n Q displaystyle w text lim n to infty P n Q nbsp und F Q f displaystyle Phi Q f nbsp Hoherdimensionaler Fall BearbeitenGegeben seien Wahrscheinlichkeitsmasse P P 1 P 2 P 3 displaystyle P P 1 P 2 P 3 dots nbsp auf R d B R d displaystyle mathbb R d mathcal B mathbb R d nbsp und F F 1 F 2 F 3 displaystyle Phi Phi 1 Phi 2 Phi 3 dots nbsp die entsprechenden charakteristischen Funktionen Spezieller Fall Bearbeiten Analog zum eindimensionalen Fall ist aquivalent 4 Die Folge P n n N displaystyle P n n in mathbb N nbsp konvergiert schwach gegen P displaystyle P nbsp Die Folge F n n N displaystyle Phi n n in mathbb N nbsp konvergiert punktweise gegen F displaystyle Phi nbsp Allgemeiner Fall Bearbeiten Eine Funktion f R d R displaystyle f mathbb R d to mathbb R nbsp heisst partiell stetig in x displaystyle x nbsp wenn fur alle j 1 d displaystyle j 1 dots d nbsp die Funktionen y j f x 1 x j 1 y j x j 1 x d displaystyle y j mapsto f x 1 dots x j 1 y j x j 1 dots x d nbsp stetig in y j x j displaystyle y j x j nbsp sind Der Stetigkeitssatz lautet nun 5 Konvergieren die F n displaystyle Phi n nbsp punktweise gegen eine in 0 partiell stetige Funktion f displaystyle f nbsp so ist diese Funktion die charakteristische Funktion f F Q displaystyle f Phi Q nbsp eines Wahrscheinlichkeitsmasses Q displaystyle Q nbsp und es giltw lim n P n Q displaystyle w text lim n to infty P n Q nbsp Konvergiert umgekehrt P n n N displaystyle P n n in mathbb N nbsp schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp so konvergieren die charakteristischen Funktionen auf kompakten Mengen gleichmassig gegen F P displaystyle Phi P nbsp Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Einzelnachweise Bearbeiten Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 404 Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 404 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 306 Meintrup Schaffler Stochastik 2005 S 184 Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 316 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stetigkeitssatz von Levy amp oldid 236995420