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Satz von Bochner Minlos Der benannt nach Salomon Bochner und Robert Adolfowitsch Minlos macht eine Aussage über den Zusa

Satz von Bochner-Minlos

Der Satz von Bochner-Minlos, benannt nach Salomon Bochner und Robert Adolfowitsch Minlos, macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen und charakteristischen Funktionen auf nuklearen Räumen. Nach Aussage des Satzes existiert eine Eins-zu-eins-Verbindung zwischen beiden Konzepten, d. h. man kann zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß eine charakteristische Funktion berechnen, und umgekehrt erhält man aus jeder charakteristischen Funktion ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß. Beide Objekte sind durch eine Fouriertransformation miteinander verknüpft.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bochner über charakteristische Funktionen auf .

Aussage des Satzes Bearbeiten

Für jede charakteristische Funktion auf einem reellen nuklearen Raum existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß , so dass

ist. Umgekehrt ist die Fouriertransformierte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf immer eine charakteristische Funktion auf .

Hier sind der starke Dualraum von und die duale Paarung.

Beispiel Bearbeiten

Betrachtet man im eindimensionalen Fall die Gaußfunktion

als charakteristische Funktion, so ist das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß das Maß mit gaußscher Dichte

Dieses Ergebnis lässt sich für den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern. Der Schwartzraum ist ein Beispiel für einen (unendlichdimensionalen) nuklearen Raum. Dort kann man die charakteristische Funktion

definieren. Nach Aussage des Satzes gibt es dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum der temperierten Distributionen mit den oben genannten Eigenschaften. Dieses Maß wird in der White Noise Analysis als White-Noise-Maß bezeichnet.

Einzelnachweis Bearbeiten

  1. Obata, Nobuaki: White Noise Calculus and Fock Space, Springer, 1994, ISBN 978-3-540-57985-4, Abschnitt 1.5.

Weblinks Bearbeiten

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Der Satz von Bochner Minlos benannt nach Salomon Bochner und Robert Adolfowitsch Minlos macht eine Aussage uber den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmassen und charakteristischen Funktionen auf nuklearen Raumen Nach Aussage des Satzes existiert eine Eins zu eins Verbindung zwischen beiden Konzepten d h man kann zu jedem Wahrscheinlichkeitsmass eine charakteristische Funktion berechnen und umgekehrt erhalt man aus jeder charakteristischen Funktion ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmass Beide Objekte sind durch eine Fouriertransformation miteinander verknupft Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bochner uber charakteristische Funktionen auf R d displaystyle mathbb R d Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Beispiel 3 Einzelnachweis 4 WeblinksAussage des Satzes BearbeitenFur jede charakteristische Funktion f E C displaystyle varphi E rightarrow mathbb C nbsp auf einem reellen nuklearen Raum E displaystyle E nbsp existiert ein Wahrscheinlichkeitsmass n displaystyle nu nbsp so dass f 3 E exp i 3 x d n x 3 E displaystyle varphi xi int E prime exp i langle xi x rangle d nu x quad xi in E nbsp ist Umgekehrt ist die Fouriertransformierte eines Wahrscheinlichkeitsmasses n displaystyle nu nbsp auf E displaystyle E prime nbsp immer eine charakteristische Funktion auf E displaystyle E nbsp 1 Hier sind E displaystyle E prime nbsp der starke Dualraum von E displaystyle E nbsp und 3 x displaystyle langle xi x rangle nbsp die duale Paarung Beispiel BearbeitenBetrachtet man im eindimensionalen Fall die Gaussfunktion x exp 1 2 x 2 displaystyle x mapsto exp left frac 1 2 x 2 right nbsp als charakteristische Funktion so ist das zugehorige Wahrscheinlichkeitsmass n displaystyle nu nbsp das Mass mit gaussscher Dichte d n y exp 1 2 y 2 d y displaystyle d nu y exp left frac 1 2 y 2 right dy nbsp Dieses Ergebnis lasst sich fur den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern Der Schwartzraum S R displaystyle S mathbb R nbsp ist ein Beispiel fur einen unendlichdimensionalen nuklearen Raum Dort kann man die charakteristische Funktion f S R R f 3 exp 1 2 3 3 displaystyle varphi S mathbb R rightarrow mathbb R varphi xi exp left frac 1 2 langle xi xi rangle right nbsp definieren Nach Aussage des Satzes gibt es dann ein Wahrscheinlichkeitsmass m displaystyle mu nbsp auf dem Raum der temperierten Distributionen mit den oben genannten Eigenschaften Dieses Mass wird in der White Noise Analysis als White Noise Mass bezeichnet Einzelnachweis Bearbeiten Obata Nobuaki White Noise Calculus and Fock Space Springer 1994 ISBN 978 3 540 57985 4 Abschnitt 1 5 Weblinks BearbeitenJordan Bell The Bochner Minlos theorem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bochner Minlos amp oldid 194153933