Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion, auch kurz erzeugende Funktion oder Erzeugendenfunktion genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle reelle Funktion. Jeder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen und jeder Zufallsvariable mit Werten in den natürlichen Zahlen kann eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion zugeordnet werden. Umgekehrt kann auch aus jeder wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder die Verteilung der Zufallsvariable eindeutig rekonstruiert werden.
Aufgrund dieser eindeutigen Zuordnung ermöglichen es wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen, gewisse Eigenschaften der Verteilungen und Operationen von Zufallsvariablen auf Eigenschaften und Operationen von Funktionen zu übertragen. So existiert beispielsweise eine Beziehung zwischen den Ableitungen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion und dem Erwartungswert, der Varianz und weiteren Momenten der Zufallsvariable. Ebenso entspricht der Addition von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen oder der Faltung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Multiplikation der entsprechenden wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen. Diese Vereinfachung wichtiger Operationen ermöglicht dann beispielsweise die Untersuchung von komplexen stochastischen Objekten wie dem Bienaymé-Galton-Watson-Prozess.
Definition Bearbeiten
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion lässt sich auf zwei Arten angeben: einerseits mittels einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, andererseits mittels der Verteilung einer Zufallsvariablen. Beide Arten sind äquivalent in dem Sinn, dass jede Wahrscheinlichkeitsverteilung als Verteilung einer Zufallsvariablen aufgefasst werden kann und jede Verteilung einer Zufallsvariable wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Bei beiden Definitionen ist gesetzt. Mit sei die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0 bezeichnet.
Für Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bearbeiten
Ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf mit Wahrscheinlichkeitsfunktion , so heißt die Funktion
definiert durch
die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von beziehungsweise von .
Für Zufallsvariablen Bearbeiten
Für eine Zufallsvariable mit Werten in ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
von beziehungsweise von definiert als
Somit ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable genau die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ihrer Verteilung. Alternativ lässt sich die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable auch über den Erwartungswert definieren als
Elementare Beispiele Bearbeiten
Gegeben sei eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable , also . Dann ist und . Rein formell fasst man als Zufallsvariable mit Werten in ganz auf und setzt dann für . Dann ist
Ist die Zufallsvariable binomialverteilt mit Parametern und , also , so ist für
und für . Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann
Dies folgt mittels des binomischen Lehrsatzes.
Eigenschaften Bearbeiten
Eigenschaften als Funktion Bearbeiten
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist eine Potenzreihe und hat einen Konvergenzradius von mindestens 1, sie konvergiert also für alle . Dies folgt daraus, dass alle Koeffizienten der Potenzreihe positiv sind und sich zu 1 aufsummieren. Daraus folgt dann für . Damit erben die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen auf dem untersuchten Intervall alle Eigenschaften der Potenzreihen: Sie sind stetig und auf dem Intervall unendlich oft differenzierbar.
Da jedes der Monome konvex und monoton wachsend ist und diese Eigenschaften abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen sind, ist auch die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion konvex und monoton wachsend.
Umkehrbarkeit Bearbeiten
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmt die Verteilung von eindeutig:
Es gilt dann nämlich nach der Taylor-Formel für alle
Dieser Zusammenhang zeigt, dass die Wahrscheinlichkeiten „erzeugt“ und die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion rekonstruiert werden kann.
Faltung und Summen von Zufallsvariablen Bearbeiten
Sind und unabhängige -wertige Zufallsvariablen, so gilt für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von
denn mit und sind auch und unabhängig. Das lässt sich direkt auf endliche Summen unabhängiger Zufallsvariabler verallgemeinern: Sind unabhängige -wertige Zufallsvariablen, dann gilt für
Daraus folgt dann direkt für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Faltung der Wahrscheinlichkeitsmaße
Beispiel
Seien unabhängige, Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen zum selben Parameter . Dann ist die Summe der Zufallsvariablen bekanntermaßen binomialverteilt zu den Parametern und , also . Mit den oben im Abschnitt Elementare Beispiele hergeleiteten wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen für die Bernoulli-Verteilung und die Binomialverteilung folgt
Momenterzeugung Bearbeiten
Für eine -wertige Zufallsvariable und ist
beziehungsweise
Dabei sind beide Seiten der beiden Gleichungen genau dann endlich, wenn endlich ist.
Damit lassen sich insbesondere der Erwartungswert und die Varianz einer -wertigen Zufallsvariablen aus ihrer wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ermitteln:
Die Betrachtung des linksseitigen Grenzwertes ist hier notwendig, da die Differenzierbarkeit von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzradius nicht notwendigerweise gegeben ist.
Beispiel
Sei eine binomialverteilte Zufallsvariable, also . Dann ist
Beide Ableitungen sind Polynome und können daher problemlos für ausgewertet werden, der linksseitige Grenzwert braucht also nicht betrachtet werden. Es ist
Damit folgt mit den obigen Ergebnissen
Lineare Transformation von Zufallsvariablen Bearbeiten
Lineare Transformationen der Zufallsvariable wirken wie folgt auf die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion:
Beispiel
Ist eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable, also , so ist für die Zufallsvariable zweipunktverteilt auf . Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann
Konvergenz Bearbeiten
Die punktweise Konvergenz der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion lässt sich direkt mit der Konvergenz in Verteilung in Beziehung setzen:
Die Aussage gilt ebenso für die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die schwache Konvergenz.
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von zufälligen Summen Bearbeiten
Mittels wahrscheinlichkeitserzeugender Funktionen lassen sich leicht Summen über eine zufällige Anzahl von Summanden berechnen. Sind unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in und eine weitere, von allen unabhängige Zufallsvariable mit demselben Wertebereich. Dann hat die Zufallsvariable
die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Diese Eigenschaft macht man sich zum Beispiel bei der Analyse des Galton-Watson-Prozesses zunutze. Nach den obigen Regeln für die Berechnung des Erwartungswertes gilt dann mit der Kettenregel
was der Formel von Wald entspricht.
Für die Varianz gilt dann
Dies ist genau die Blackwell-Girshick-Gleichung. Auch sie folgt mittels der obigen Regeln zur Bestimmung der Varianz und der Produktregel.
Multivariate wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten
Ist ein -dimensionaler Zufallsvektor mit Werten in , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von definiert als
mit .
Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Bearbeiten
Analog zum eindimensionalen Fall gilt
sowie
und
Beispiele Bearbeiten
In der Tabelle sind einige wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von gängigen diskreten Verteilungen aufgeführt. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die hier nicht aufgeführt sind, stehen in dem jeweiligen Artikel der Wahrscheinlichkeitsfunktion.
| Verteilung | Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion |
|---|---|
| Bernoulli-Verteilung | |
| Zweipunktverteilung | |
| Binomialverteilung | |
| Geometrische Verteilung | |
| Negative Binomialverteilung | |
| Diskrete Gleichverteilung auf | |
| Logarithmische Verteilung | |
| Poisson-Verteilung | |
| Verallgemeinerte Binomialverteilung | |
| Multivariate Verteilungen | |
| Multinomialverteilung |
Insbesondere ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Binomialverteilung gleich dem n-fachen Produkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Bernoulli-Verteilung, da die Binomialverteilung genau die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen ist. Dasselbe gilt für die geometrische Verteilung und die negative Binomialverteilung.
Zusammenhang mit weiteren erzeugenden Funktionen Bearbeiten
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion ist ein Spezialfall einer erzeugenden Funktion mit für . Außer der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion gibt es noch drei weitere erzeugende Funktionen in der Stochastik, die aber nicht nur für diskrete Verteilungen definiert werden. Die momenterzeugende Funktion ist definiert als . Demnach gilt Die charakteristische Funktion ist definiert als . Demnach gilt .
Außerdem gibt es noch die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion. Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet.
Literatur Bearbeiten
- Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 370 ff.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
- Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 108, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 79, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 111, doi:10.1515/9783110215274.
- ↑ Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 114, doi:10.1515/9783110215274.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 83, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.