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Formel von Wald Die oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung mit deren Hilfe der Erwartungswert von

Formel von Wald

Die Formel von Wald oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung, mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen.

Formulierung Bearbeiten

Es sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und eine -wertige Zufallsvariable mit , die von der Folge unabhängig ist. Dann gilt

Beweis Bearbeiten

Weil unabhängig von der Folge ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von :

also

Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich

Sind die alle wertig, so kann der Beweis auch elementar über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen.

Verallgemeinerung auf Stoppzeiten Bearbeiten

Es sei nun eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung adaptiert ist, das heißt für alle ist -messbar. Wenn von unabhängig ist für alle und eine integrierbare Stoppzeit bezüglich ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:

Verwandte Konzepte Bearbeiten

Ähnliche Aussagen über die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der Blackwell-Girshick-Gleichung treffen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Abraham Wald: On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics Nr. 15, Bd. 3, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
  2. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.
  3. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.
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Die Formel von Wald oder Waldsche Identitat ist in der Stochastik eine Gleichung mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufalligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beweis 3 Verallgemeinerung auf Stoppzeiten 4 Verwandte Konzepte 5 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenEs sei X n n 1 displaystyle X n n geq 1 nbsp eine Folge unabhangiger identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen und T displaystyle T nbsp eine N displaystyle mathbb N nbsp wertige Zufallsvariable mit E T lt displaystyle operatorname E T lt infty nbsp die von der Folge X n displaystyle X n nbsp unabhangig ist Dann gilt 2 E k 1 T X k E T E X 1 displaystyle operatorname E left sum k 1 T X k right operatorname E T operatorname E X 1 nbsp Beweis BearbeitenWeil T displaystyle T nbsp unabhangig von der Folge X n displaystyle X n nbsp ist folgt durch Bedingen auf den Wert von T displaystyle T nbsp E k 1 T X k T n E k 1 n X k k 1 n E X k n E X 1 displaystyle operatorname E left sum k 1 T X k Big T n right operatorname E left sum k 1 n X k right sum k 1 n operatorname E X k n operatorname E X 1 nbsp also E k 1 T X k T T E X 1 displaystyle operatorname E left sum k 1 T X k Big T right T operatorname E X 1 nbsp Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhalt man schliesslich E k 1 T X k E E k 1 T X k T E T E X 1 E T E X 1 displaystyle operatorname E left sum k 1 T X k right operatorname E left operatorname E left sum k 1 T X k Big T right right operatorname E T operatorname E X 1 operatorname E T operatorname E X 1 nbsp Sind die X i displaystyle X i nbsp alle N 0 displaystyle mathbb N 0 nbsp wertig so kann der Beweis auch elementar uber wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen mittels der Kettenregel erfolgen Verallgemeinerung auf Stoppzeiten BearbeitenEs sei nun X n n 1 displaystyle X n n geq 1 nbsp eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen die an eine Filtrierung F n n displaystyle mathcal F n n nbsp adaptiert ist das heisst fur alle n displaystyle n nbsp ist X n displaystyle X n nbsp F n displaystyle mathcal F n nbsp messbar Wenn X n 1 displaystyle X n 1 nbsp von F n displaystyle mathcal F n nbsp unabhangig ist fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp und T displaystyle T nbsp eine integrierbare Stoppzeit bezuglich F n n displaystyle mathcal F n n nbsp ist so gilt ebenfalls die Formel von Wald 3 E k 1 T X k E T E X 1 displaystyle operatorname E left sum k 1 T X k right operatorname E T operatorname E X 1 nbsp Verwandte Konzepte BearbeitenAhnliche Aussagen uber die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der Blackwell Girshick Gleichung treffen Einzelnachweise Bearbeiten Abraham Wald On Cumulative Sums of Random Variables In The Annals of Mathematical Statistics Nr 15 Bd 3 S 283 296 doi 10 1214 aoms 1177731235 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Berlin Heidelberg 2005 ISBN 3 540 21676 6 S 287 Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie 5 Auflage De Gruyter Lehrbuch Berlin 2002 ISBN 3 11 017236 4 Kapitel 17 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formel von Wald amp oldid 189230537